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2025二轮复习大题规范练（五）
一、基础保分练
1．（2024·四川宜宾·三模）某地为调查年龄在35―50岁段人群每周的运动情况，从年龄在
35―50岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：
女性 男性
每周运动超过2小时 60 80
每周运动不超过2小时 40 20
(1)根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35―50岁段人群每周运动超过2小时与
性别有关？
(2)在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人．再从
这6人中随机抽取2人进行访谈，求这2人中至少有1人是女性的概率．
参考公式： ， ．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
2．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知抛物线C： 上一点M到其焦点的
距离为3，到y轴的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不过原点O的直线l： 与抛物线C交于A，B两点，且 ，求实数m
的值．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图1，在菱形 中，
，沿 将 向上折起得到棱锥
.如图2所示，设二面角 的平面角为 .(1)当 为何值时，三棱锥 和四棱锥 的体积之比为 ；
(2)当 时，求平面 与平面 所成角 的正弦值.
4．（2024·四川达州·二模）等差数列 的前 项和为 ，当 和5时， 取得
最大值．
(1)求 ；
(2)若 为等比数列， ，求 通项公式．
5．（2024·安徽·一模）在 中，角 的对边分别为 ，面积为S，且
.
(1)求B；
(2)若 ， ，D为 边的中点，求 的长.
6．（2024·广西·模拟预测）英国数学家泰勒发现了如下公式：
，以上公式成为泰勒公式．设 ， ，
根据以上信息，并结合所学的数学知识，解决如下问题．
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ；
(3)设 ，若 是 的极小值点，求实数 的取值范围．二、能力增分练
7．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的最大值与最小值.
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围；
(2)集合 ，若 ，求实数 的取值范围.
9．（2024·天津河西·二模）已知数列{a }的首项 ，且满足
n
，{a }的前 项和为 .
n
(1)证明数列 是等差数列，并求数列{a }的通项公式；
n
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)在数列{b }中， ， ，求数列{b }的通项公式及 .
n n
10．（2024·广东珠海·一模）如图，三棱柱 中，侧面 底面 ，
， ，点 是棱 的中点．(1)证明： ；
(2)求面 与面 夹角的正切值．
11．（2024·云南大理·模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）的一条渐近
线方程为 ，顶点到渐近线的距离为 ．
(1)求 的方程；
(2)设 为坐标原点，若直线 过点(0,2)，与 的左、右两支交于 ， 两点，且 的
面积为 ，求直线 的方程．
12．（2024·四川·一模）甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮
命中的概率为 ，乙每次投篮命中的概率为 ，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多
轮次的定点投篮活动，每轮次各投 个球，每投进一个球记 分，未投进记 分.
(1)求甲在一轮投篮结束后的得分不大于 的概率；
(2)记甲、乙每轮投篮得分之和为 .
①求 的分布列和数学期望；
②若 ，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续 轮次的投篮活动中，记“成
功轮次”为 ，当 为何值时， 恒成立？
三、拓展培优练13．（2024·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 ；求证： ；
(3)设 ， 是函数 的两个极值点，求证： .
14．（2024·江苏苏州·模拟预测）在 中，角 所对的边分别记作 已知
的周长为 ，且有 ．
(1)求 的面积；
(2)设 内心为 ，外心为O， ，求外接圆半径．
注：在 中，有 ，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的
半径．
15．（2024·江苏镇江·三模）已知正整数 为常数，且 ，无穷数列 的各项均为
正整数，其前 项和为 ，且对任意正整数 ， 恒成立.
(1)证明无穷数列 为等比数列，并求 ；
(2)若 ， ，求证： ；
(3)当 时，数列 中任意不同两项的和构成集合A.设集合
， 中元素的个数记为 ，求数列 的通项公式.
16．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）如图，四棱锥 的底面为平行四边形，
且 ， .(1)仅用无刻度直尺作出四棱锥 的高 ，写出作图过程并证明；
(2)若平面 平面 ，平面 平面 ，证明：四边形 是菱形.
17．（2024·贵州贵阳·二模）已知椭圆 的一个焦点是 .直线 与直线
关于直线 对称，且相交于椭圆 的上顶点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求 的值；
(3)设直线 分别与椭圆 另交于 两点，证明：直线 过定点.
18．（2024·山东淄博·二模）定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意
的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作 ．如果
余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作 ．
设集合 ．
(1)求 ；
(2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列{a }，并构造 ，
n
②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列{b }，并构 ．
n
请从①②中选择一个，若选择_____．
证明：数列 单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）．
注：若①②都作答，按第一个计分．
