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实战演练 01 抽象函数的性质
①抽象函数求值
②抽象函数的单调性与抽象不等式
③抽象函数的奇偶性
④抽象函数的对称性
⑤抽象函数的周期性
⑥抽象函数结合导数的应用
⑦抽象函数性质的综合应用
一、抽象函数的性质
1.周期性： ； ；
；（ 为常数）；
2.对称性：
对称轴： 或者 关于 对称；
对称中心： 或者 关于 对称；
3.如果 同时关于 对称，又关于 对称，则 的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
① 在 上是奇函数，且 单调递增 若解不等式 ，则有
；
在 上是奇函数，且 单调递减 若解不等式 ，则有
；
② 在 上是偶函数，且 在 单调递增 若解不等式 ，则有 （不
变号加绝对值）；在 上是偶函数，且 在 单调递减 若解不等式 ，则有 （变号
加绝对值）；
③ 关于 对称，且 单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于 对称，且 单调递减 若解不等式 ，则有
；
④ 关于 对称，且 在 单调递增 若解不等式 ，则有
（不变号加绝对值）；
关于 对称，且 在 单调递减 若解不等式 ，则有
（不变号加绝对值）；
二、抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数： ，则 ，
【一次函数模型】
模型1：若 ，则 ；
模型2：若 ，则 为奇函数；
模型3：若 则 ；
模型4：若 则 ；
【指数函数模型】
模型1：若 ，则 ；
模型2：若 ，则 ；
模型3：若 ，则 ；
模型4：若 ，则 ；
【对数函数模型】
模型1：若 ，则模型2：若 ，则
模型3：若 ，则
模型4：若 ，则
模型5：若 ，则
【幂函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
代入 则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若 ，则
模型2：若 ，则
【正切函数模型】
模型：若 ，则
模型3：若 ，则
①抽象函数求值
解题技法
抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令x=⋯ ,−2,−1,0,1,2⋯ 等特殊
值求抽象函数的函数值.
一、单选题
1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 的定义域为R， ， ，均满足
．若 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设函数 的定义域为 ，且 ，则 （ ）
A． B．0 C．4 D．
二、填空题
3．（2025高三·全国·专题练习）定义在 上的函数 满足 ，
，则 ， .
4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域为 ，且 ，
，则
5．（2025高三·全国·专题练习）已知定义域为 的函数 ，满足
，且 ， ，则 .
6．（2024·江苏·模拟预测）已知定义在 上的 满足 ，且对于任意的 ，有
，则 .
②抽象函数的单调性与抽象不等式
解题技法
（1）抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x 与x 的大小关
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系构造出一个大于（或小于）0的数.
（2）在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求
解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行；若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将
常数转化为函数值.
一、单选题
1．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数 在定义域 上是增函数，且
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集
为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·吉林通化·期中）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 单调递增，则
的解集为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
4．（2024·广东茂名·二模）已知函数 为 上的奇函数，且在R上单调递增.若 ，
则实数 的取值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
三、填空题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围
是 ．
6．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知偶函数 在区间 上是严格减函数.若 ，
则 的取值范围是 .
③抽象函数的奇偶性
解题技法
抽象函数中求特殊的函数值，讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值
法”进行求值和化简.
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的定义域为R，对于任意实数x，y满足
，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． 为奇函数 D．
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 为奇函数，则
（ ）
A． B．14 C． D．7
3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数 ， 满足 ，且
，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
4．（2025高三·全国·专题练习）函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则说法不正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为周期函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
二、多选题
5．（2024·河南·三模）定义在 上的函数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 单调递增
6．（2024高三·全国·专题练习）已知奇函数 与偶函数 的定义域、值域均为R，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
三、解答题
7．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）定义在 上的单调函数 满足 且对任意x，
都有 ．
(1)判断 的奇偶性，并说明理由；
(2)若 对任意 恒成立，求实数k的取值范围．
8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
， ， ，且 ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)判断 的奇偶性，并证明．
④抽象函数的对称性
解题技法
（1）若函数y=f (ax+b)为偶函数，则函数图象关于直线x=b对称；若函数y=f (ax+b)为奇函
数，则函数图象关于点(b,0)对称.
（2）若函数f (x)在定义域上的图象是一条连续不断的曲线，则：①函数f (x)的图象关于直线
x=a对称⇔ 导函数f ′(x)的图象关于点(a,0)对称；②函数f (x)的图象关于点(a,f (a))对称⇔ 导
函数f ′(x)的图象关于直线x=a对称.
一、多选题
1．（23-24高三下·山东·开学考试）函数 满足：对任意实数x,y都有 ，且当时， ，则（ ）
A． B． 关于 对称 C． D．
为减函数
2．（2024·河北·模拟预测）已知定义在 上的连续函数 满足 ，
， ，当 时， 恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 是偶函数
C． D． 的图象关于 对称
3．（2024·广东·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 ，且 ，
则（ ）
A． B． 无最小值
C． D． 的图象关于点 中心对称
4．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）若定义在 上的函数 满足 ，
且值域为 ，则以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 的图象关于 中心对称
5．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 的定义域为R， ，
，则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D．
二、单选题
6．（2024·河北·二模）已知函数 为奇函数，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
7．（2024·四川·三模）定义在R上的函数 与 的图象关于直线 对称，且函数
为奇函数，则函数 图象的对称中心是（ ）A． B． C． D．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域为R， 的图象关于直线 对称， 为
奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
⑤抽象函数的周期性
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）定义域为R的函数 满足 ，当 时，
，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数 的定义域为 ，且
， ，则 （ ）
A．2024 B． C． D．0
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的定义域为R， 的图象关于直线 对称， 为
奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义域为 的函数 满足 ，
，当 时， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
6．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 满足： ， ，则
下列说法正确的有（ ）A． 是周期函数
B．
C．
D． 图象的一个对称中心为
二、填空题
7．（2024高三·全国·专题练习）函数 满足 ，且 ，则 ．
8．（2024·安徽六安·模拟预测）若偶函数 对任意 都有 ，且当 时，
，则 ．
9．（2023·云南昆明·模拟预测）定义在 上的函数 满足： ，对任意 ，
，则 .
⑥抽象函数结合导数的应用
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数 的图象是一条连续不断的曲线， 是 的
导函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为 的偶函数 的导函数为 ，若
也为偶函数，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 为奇函数，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若的图象关于直线 对称， ，且 ，则（ ）
A． 为偶函数 B． 的图象关于点 对称
C． D．
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 及其导函数 ，且 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 是偶函数，
，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，
若 ， ，且 ，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． 为偶函数 B． 为奇函数
C．函数 是周期函数 D．
8．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数 及其导函数 的定义域为 ，若 为奇函数，
，且对任意 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
⑦抽象函数性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在 上的函数 是奇函数，对任意 都有 ，
当 时，则 等于（ ）
A．2 B． C．0 D．2．（2024·四川内江·三模）已知函数 的定义域为R，对任意实数x都有 成立，且函数
为偶函数， ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1012 D．2024
3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在 上的函数 满足 ， 为偶函数，
函数 的图象关于 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知定义在R上的函数 恒大于0，对 ， ，都有
，且 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． 是奇数 D． 有最小值
5．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
6．（2024·四川泸州·二模）已知 ， 都是定义在R上的函数，对任意x，y满足
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C．函数 的图象关于直线 对称 D．
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在 上的函数 满足 ， ， 为奇函
数，有下列结论：
①直线 为曲线 的对称轴；②点 为曲线 的对称中心；③函数 是周期函数；
④ ；⑤函数 是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023·福建宁德·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，对任意的 ，恒
有 ，则下列说法正确的个数是（ ）① ；② 必为奇函数；③ ；④若 ，则 .
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024·安徽芜湖·三模）已知函数 与 是定义在 上的函数，它们的导函数分别为 和
，且满足 ，且 ，则
（ ）
A．1012 B．2024 C． D．
10．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 .
若函数 与 均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 的周期为2 D．
二、多选题
11．（23-24高三上·福建福州·阶段练习）已知函数 是 上的偶函数，对于任意的 ，都有
成立，当 且 时，都有 则下列命题中，正确的为
（ ）
A．
B．直线 是函数 的图象的一条对称轴
C．函数 在 上为增函数
D．函数 在 上有四个零点
12．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数 满足 ， ，则（ ）
A． B．
C． 的定义域为R D． 的周期为4
13．（2024·新疆喀什·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则
下列说法正确的是（ ）
A． B． 有最大值
C． D．函数 是奇函数14．（2024·新疆·三模）已知 ， 都是定义在 上的函数，对任意实数x，y满足
， 且 ，则下列结论正确的是
A． B．
C． 为奇函数 D．
15．（2024·河南·一模）已知定义在 上的函数 ， ，其导函数分别为 ， ，
， ，且 ，则（ ）
A． 的图象关于点 中心对称 B．
C． D．
16．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数 及其导函数 的定义域为 ，若 为奇函数，
，且对任意 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·河北秦皇岛·二模）已知函数 满足：对 ，都有
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2024·安徽合肥·三模）已知函数 的定义域为 为 的导函数，且
， ，若 为偶函数，则下列一定成立的（ ）
A． B．
C． D．
