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1.
单位有200 人，党员比例高于
，低于
，则
，所以党员人数为161 人；
，根据抽屉原理，要使最多的一年中入党青年最
少，那么其他9 年中，每年都应有16 个青年入党，此时最多的
一年中入党青年为
。
故正确答案为D。
注：本题命题不够严谨，根据选项可以判断出，本题实际待求量
为最多同一年入党青年职工数的最小值，故答案不是16 而是17。
2.根据问法“为保证······至少要······”，可判定本题为最不利构造型最
值问题。考虑最不利的情况是：三种颜色袜子的个数分别为3、
1、1，此时再多一只袜子即共有6 只袜子时，就能保证拿到两双
（每双颜色要相同）袜子。
故正确答案为B。
3.根据题干“至少有几人得满分”，求四道题都做对的至少为多少，
即求都满足的最少，可判定本题为多集合反向构造，解题方法为
“反向-求和-作差”。①反向：1-4 题做错的人数分别为
人、
、
人、
人；②求和：要让四
道题目都做对的人最少，就让这四道题做错的人不重复，为
人；③作差：得满分的人最少为
人。
故正确答案为A。
4.设该企业的利润为，则利润和产量的关系为：
，对函数求导，并令
其导数为0，即
，解得
或
，将这两个的值代
入原函数，可得
或
，由于
，因此当产量为1 时，
获得最大利润。
故正确答案为A。
5.
，预期利润至少为
。设最
多可降价元，根据题意可得：
，解得
，因此最多为20
元。
故正确答案为D。
6.
本题考查几何问题。根据图形一笔画的基本规律，当图中奇点个
数为0或2的时候可以一笔画完，其他情况需要的至少笔画数奇
点个数
。观察题目，图中一共有4 个奇点，分别是A、E、F、
C，则至少需要两笔完成。从任意奇点出发，需要重复走一段路，
走到另一个奇点，才能走完所有道路。观察可知，连接两个奇点
最短的距离是AE 或者CF，为100 米，最短路径的走法可以是
A→B→C→D→A→C→F→B→D→E，则总路程至少
米。
故正确答案为B。
7.设定制的笔记本总数为，则
，又因为
是3 的倍数，
且
是5 的倍数，只有
满足所有要求。要使分得笔记本最
多的老师与最少的老师相差尽可能大，则最多的要尽量多，最少
的尽量少。又因为“任意3 名老师分得的笔记本数量都不完全相
同”，即最多有2 名老师分得的笔记本数量相同，所以设最多的
可分得本，最少的可分得1 本，则按照分得笔记本的数量排名
列表梳理如下：
所以
，解得
。
故分得笔记本最多的老师比最少的老师最多多
本。
故正确答案为C。
8.抽屉原理，考虑最差的情况，抽出的卡片都是两张卡片编号相
连，即编号为1、2、4、5、7、8、10、11、13 的卡片各抽出4
张，共36 张，此时抽出任意一张就能保证一定有3 张卡片编号
相连，故最少抽出
张。
故正确答案为D。
9.由题意可知：及格率为
，则有
人不合格；
要使第十人得分最低，则其他人得分应尽量高，因此不及格的人
得分59 分，前九名的分数分别是100、99、98、97、96、95、
94、93、92 分，此十人成绩之和为
分，此时剩
下的10 人总分为
分；设第十名的成绩为，则剩下
的9 人成绩依次为
、
、
、······、
，则
，解
得
；因此成绩排名第十的人最低考了89 分。
故正确答案为B。
10.为了让参加考试的人“最多”，则尽可能在每一个分数段都有尽
可能多的人分数相同。从88~99 分，共有12 个整数分数可以重
复，同时又由于“任意5 人的得分不完全相同”，所以要求重复的
分数的人数最多为4 人。这样一共有48 人，再加上两个低于88
分的人，所以最多50 人。
故正确答案为C。
11.要保证一定有70 名找到工作的人专业相同，则每个专业应最
少让69 个人找到工作，而人力资源管理类本身只有50 人，则这
50 人都找到工作，则四类专业可就业的人数分别为69、69、69、
50，总和为257 人。此时再多1 人，则必然有一个专业达到70
人，因此所求最少人数为258 人。
故正确答案为C。
12.假设分得最多的小朋友至少分到块，要保证100 块分完，则
有
，解得
，应为整数，则最少为15 块。
故正确答案为C。
13.因为B 市建设充电站的数量占总数的，C 市又比A 市多6 个，
D 市最少，所以四个城市充电站个数关系为：B、C 两市建设充
电站的数量较多，A 市第三多，D 市最少。要使C 市建设的充电
站尽量少，就要让其他市建设的充电站尽量多，其中
，
，D 尽量多且比A 少，所以D 最多为
。此时充
电站总个数
，解得
，
问至少，应向上取整，所以C 至少建设21 个充电站。
故正确答案为D。
14.最不利构造，每次从箱子中摸出3 颗玻璃珠，若摸出3 个玻
璃珠均为一种颜色，则共有3 种情况；若摸出3 个玻璃珠有两种
颜色，即有两个球颜色一样，另一个球与之不同，则共有
种情况；若摸出的3 个玻璃珠三种颜色都有，则有1 种情况。故
从中摸出3 个玻璃珠，颜色组合共计有3+6+1=10 种情况。考
虑最不利情况，在摸出的前10 种情况中，摸出的颜色组合均不
相同，则在第11 次无论摸出哪种颜色组合均可满足2 组玻璃珠
的颜色组合相同，故至少需要10+1=11 次。
故正确答案为A。
15.由“至少有一名女生至少相亲多少次”，可判定该题为最值问
题，则构造最不利的形式，假设每个女生相亲次数一样，则
61÷20=3······1，那么至少有一名女生相亲3+1=4 次。
故正确答案为B。
16.要求使用过全部四款手机软件的尽可能少，则应让没使用过
全部四款手机软件的人最多。根据题意，没有使用过甲软件的人
有
，没有使用过乙软件的人有
，没有使用
过丙软件的人有
，没有使用过丁软件的人有
。当没有使用过任意一种软件的人均不重复时，没使
用过全部四款手机软件的人最多。此时没有使用过全部四款手机
软件的人为
，则使用过全部四款手机软件
的人至少有
，即
人。
故正确答案为A。
17.假设有100 个奶粉品牌，每品牌抽检1 个，则符合要求的指
标总数
个。根据“符合三项及以上指标要求的奶粉品牌可以认定为合
格”，且要满足奶粉品牌的合格率尽量少，则应使不合格品牌符
合两项指标，使合格品牌符合的指标数尽可能多。因此给100
个品牌奶粉每个先分2 项合格指标，即分出
个合格指标，
还剩
个合格指标。
要使合格品牌符合的指标数尽可能多，最多可以同时符合五项指
标。根据各项指标抽检符合要求的比例中最低的是
，可得同
时符合五项指标要求的品牌最多有
个。即又分出
个合格指标，还剩
个合格指标。
除了这57 个五项合格的品牌，其余品牌最多可以同时符合四项
指标。合格指标
，即有4 个品牌同时符合四项指标，
总共还余1个合格指标。则还可以有1个品牌同时符合三项指标。
综上所述，有57 个品牌符合五项指标要求、4 个品牌符合四项
指标要求、1 个品牌符合三项指标要求，此时合格数最少，合格
率为
。
故正确答案为C。
18.根据“两处栅栏损坏，有3 个农场的牛混在一起”可知，只能是
相邻的甲乙丙或者相邻的乙丙丁混在一起。甲乙丙的和为：
，乙丙丁的和为：
，因为题目所求为
辨认牛的数量尽可能的多，所以应是乙丙丁3 个农场的牛混在一
起；当剩余最后一头牛时，有两个农场的牛已返回，此牛不需再
分辨，则最多要分辨
头。
故正确答案为A。
19.本题为抽屉原理问题，结果应为最不利情形所抽张数加上1。
2013 年是平年，共365 天，31 天的月份有7 个，30 天的月份
有4 个，则至少需要抽出
张。
故正确答案为C。
20.根据条件，每答对1 题得8 分，答错1 题扣10 分，由于每人
都答过题，因此要想每人得分为正数，则每人答对的题目数量一
定大于答错的数量，即每个人答对的题目数比答错的至少多1
道。三个人答对的总数比答错的总数至少多3 道，由于一共12
题，要求得分之和最少，只可能为答对8 题，答错4 题。
分。
故正确答案为D。
21.设第三名得分为x 分，要使x 最少，则其他人得分应尽量多，
根据题意，第一、二名得分至多为120、119，第四、五名得分
至多为
、
，则，
，解得
。
故正确答案为B。
22.
如图所示若沿AB 建造观光栈道，则需建造河面栈道AB 段100m，
共需要铺设费用
万元；若沿AO→OB 铺设栈道，则
需建造河面栈道AO 段80m 和陆地栈道OB 段
，共
需要铺设费用
万元。通过所给条件对比分析，
最少铺设费用为12.5 万元（沿AB 段建造）。
故正确答案为A。
备注：如若讨论陆地与河面栈道的转折点：在OB 段上取任意点
C，设
。沿AC→CB 铺设栈道，则需建造河面栈道
AC 段
和陆地栈道CB 段
，共需要铺设费用
万元。取特值分析x 和y 的增减关系，
取值如表：
由特值分析可知，x 取值越大，费用y 越小。故
时（即C 点
与B 点重合），y 可取得最小值12.5。
23.设每个大箱子所装字典数量为，则每个小箱子所装数量为
。根据题意，
，解得
。共1080 本字典，只
用大箱子进行分装，至少需要
个。
故正确答案为B。
24.根据两集合容斥原理公式：
，即
两
种课程都选
两种课程都不选。要想两种课程都选的学生最
少，则两种课程都不选的学生应最少，最少为0 人，代入公式
两种课程都选
，则两种课程都选
人，即两种课程都选的至少有267 人。
故正确答案为C。
25.共有
家商铺，则可得甲未检查的商铺有20 家，乙未检查的
商铺有30 家，丙未检查的商铺有40 家。要求三人同时都检查过
的商铺最少，则就应要三人未同时检查的商铺最多。当且仅当这
20，30，40 家都没有重复时（即三者没有任何交集的情况下），
三人未同时检查的商铺最多，为
家。故三人同时都
检查过的商铺至少有
家。
故正确答案为B。
26.
方法一：整体考虑，乙对甲威胁最大，甲乙共可以分
张
选票，当甲乙均得到20 张选票时，甲仍然保证不了能当选，必
须再得到剩下的1 张才能当选，所以还需要
张选票。
方法二：还剩下
张票。乙对甲威胁最大，甲如果
要确保当选，则考虑最差情况，剩下的票只由甲、乙分配，则甲
至少要再拿
张选票才能保证当选。
故正确答案为D。
27.根据题意，报名情况数共有：当只报名一种课程时，有
；
当报名两种课程时，有
（“1”为同时报名A、B 课程时的
情况）；当报名三种课程时，共有ACD 和BCD 这2 种情况；故
共有
情况数。为使人数最多的组人数最少，则应让其
他十组人数尽可能多，设人数最多的组最少有人，其余各组亦
均为人，
，
，若
，此时总人数
，剩下
的1 个人只能给人数最多的那个组，故人数最多的组人数最少为
10 人。（其中C、D 为另外两项专技能课程）
故正确答案为D。
28.设满50 元减10 元、满100 元减30 元的电子优惠券分别为、
万张，根据“共核销优惠券15.6 万张”和“通过核销优惠券方式减
免租金219 万元”可列等式：
万①；
万
②；联立方程组，解得
，
；要求实际支付金额最低，
当消费金额恰好达到可用优惠券金额时，实际支付最少，即满
50 元减10 元，实际最少支付
元，满100 元减30 元，
最少支付
元，故总实际支付最少金额
，在800～850 万元之间。
故正确答案为C。
29.想让“其中一个科室员工尽量多”，即需要该科室的男员工和女
员工都尽量多，而由于“女员工的人数都不多于男员工”，所以只
要让该科室的男员工尽量多，女员工相应配合即可。依题意，为
了让其余两个科室男员工人数尽量少，所以只给他们最低限额5
名，则最后一个科室可以有男员工18–5–5=8 名，相应的女员工
也为8 名，此时员工数最大，即16 名。
故正确答案为B。
【本题相关知识点】本题的关键是找到突破口“男员工数量决定
员工数量”。
30.每组信号中的数字可重复，且前两个数字必须为奇数，则只
能是1 或3，故有
种可能；后两个数字则可以是四个数字
中的任意数，故有
种可能。因此这组信号共有
种
情况。为保证值最小，则其它信号应尽可能多，因此假设每种
信号传输次数都为，即
，解得
，最少3.9 次，则向
上取整为4 次。
故正确答案为C。
31.要使工会主席尽可能的多，考虑极端情况：第一年为第一位
工会主席的第四年任职，第十八年为最后一位工会主席的第一年
任职，中间十六年共有四位工会主席。于是共有
工会主
席。
故正确答案为B。
32.方法一：设丙还要得到x 张选票。由题意得，乙和丙票数最
接近，则考虑最糟糕的情况，剩余的100-50=50 票除了投给丙，
其他全投给乙，不投给甲，则有23+x＞17+50-x，解得x＞22，
故丙至少再得23 张选票就一定能当选。
方法二：前50 票中，丙比乙多23-17=6 票，则剩余50 票中先
补6 票给乙，使乙和丙票数相等，还剩50-6=44 票，此时丙只
要再得44÷2+1=23 票就一定能当选。
故正确答案为B。
33.假设共有100 位观众，每名观众有一张投票，在票上写出相
应作品的编号。则5 幅作品的总得票数
。
说明人均投票数为2.9 票。
要使投票有效率（即有效票占比）最高，则让有效票的人均投票
数尽可能靠近2.9 票，取为一人2 票；反之，无效票占比最低，
则无效票的人均投票数尽可能远离2.9 票，取为一人5 票。
设有效票观众人数为人，无效票观众人数为
人，则
，解得：
人，即有效率为
。
故正确答案为B。
34.要让分身到达二郎神的距离最短，两点之间连线最短，则应
使悟空的分身镜像与二郎神之间的距离最短，如图得到分身的镜
像，连线二郎神，距离最短为
米。
故正确答案为A。
35.根据“至少······都”可判定本题为多集合反向构造问题。
第一步反向：没有参加A 项目、B 项目、C 项目的人数分别为：
50-45=5 人、50-35=15 人、50-40=10 人。
第二步作和：没有参加A 项目、B 项目、C 项目的人数最多为：
5+15+10=30 人。
第三步作差：A 项目、B 项目、C 项目都参加的人数至少有
50-30=20 人。
故正确答案为B。
36.总时间为
，一个来回所需时间为
分钟，所
以还剩余
分钟来转移村民。
从村庄到高地，每辆卡车运两趟最少需要
，
因此剩余时间最多可让每辆卡车运两趟。剩下的村民需要2 辆卡
车运四趟，则需要4 辆卡车运两趟，即在原来的基础上再增加
辆。
故正确答案为B。
37.面积最大的草坪植树最少，则其余面积的草坪植树尽可能多，
又互不相同，则五个数接近构成一个等差数列。注意到：
，
据此构造2、3、4、5、6，加和为20，还余下1 棵只能种在面
积最大的草坪上。因此面积最大的草坪上至少要栽7 棵。
故正确答案为A。
38.
的人进入笔试，
的人被录取，则有
的人进
入笔试但被淘汰，为20 人，则
人，录取的人数为
人。32 人分为若干个小组，人数不同且每组至少2 人，
要使组数多，则每个小组的人数应尽可能少，有
，其中最后剩余的5 人不能单独一组，这
5 人也可分给其他组只要保证不出现人数相同即可，因此最多有
6 组。
故正确答案为D。
39.要使最低分最低，则其他人得分尽可能高。而最高为21 分，
且各不相同，则有分数依次为21、20、19、18、17、16、15、
，
，解得
。
故正确答案为D。
40.根据条件，该设备每件的进价为50 元，其他成本为10 元，
则每件设备的总成本
元。设该设备的原价为元，因打
九折销售12 件与原价出售销售10 件时获利相同，根据
可得：
，解得
。如果打
八折销售，则售价变为
元。1 万元最多可以买
件，则最多可以买83 件。
故正确答案为B。
