从“举例说明”到“模型证明”——乘法交换律、乘法结合律教学片段(教后感)

今天执教了《乘法交换律和乘法结合律》，昨天学习了《加法交换律和加法结合律》，没有按照教材设计接着学习“减法的性质”是由于乘法和加法这两个运算律的相似性极高，接着学更有益于学生类比迁移。本节课的教学重点放到了如何证明乘法的这两个运算定律成立上，其中“模型化证明”是本节课的难点。

课的伊始，和学生一起回顾了加法交换律和加法结合律的字母表达式和文字表述，紧接着提出问题：“乘法是加法的简便运算，本质也就是加法，那么乘法也有乘法交换律和乘法结合律吗？”学生都认为有。

一、证明乘法交换律

1.师：“大家都认为乘法有交换律，你能说说它的字母表达式吗？”

学生说，师板书：a×b=b×a。

师：这是大家根据加法交换律写出来的等式，它是一定是成立的吗？你们能想办法证明吗？

学生用例举法证明，通过计算出结果，证明两个因数交换位置，积不变。师根据学生说的板书。

指名5、6个学生并板书后，师提出问题：可以写完吗？生认为写不完。

2.师质疑：“既然写不完，你们怎么就知道不存在可以证明这个等式不成立的例子呢？”

学生陷入了沉思，课堂安静下来。

这时老师提出：“有没有办法，不通过计算就能说明这个问题呢？”师课件出示：

学生快速列出算式：4×6=24，6×4=24

师板书：4×6⚪6×4

师提出要求：不计算，你们能比较4×6和6×4的大小吗？为什么？

学生独立思考后进行小组交流，师指生汇报。

学生认为4×6和6×4相等，因为它们都表示这一堆小正方体的个数。

师进一步引导学生说出这两个算式的含义：有4行，每行6个，行数×每行数量；有6列，每列4个，列数×每列数量。

此时，有个学生总结：总数没变，只是计算的方法发生了变化，观察的角度变了。

3.进一步一般化

师：想象一下，（课件变化）这堆小正方体可以随意变化大小，有a列b行,

能不能证明a×b=b×a呢？为什么？

学生异口同声回答：可以，因为这个两个算式都在计算这堆小正方体的数量。

师引导学生回顾证明过程：首先我们用举例的方法，证明了乘法交换律成立，但是它不能列举出所有情况，因此我们利用计算小正方体数量的方法证明，我们把这种方法叫“模型法”。

至此，达成了本节课第一个小目标，利用“举例说明”和进阶了“模型证明”说明乘法交换律的成立。接着带学生对照字母表达式，一起说出了乘法交换律的文字表达。

二、乘法结合律

1.师：刚才大家说乘法也有结合律，那它字母表达式是什么样的呢？

生：a×b×c=a×（b×c）

师：有办法证明这个等式成立吗？

生任意说出 3 个数相乘，如 1×2×3，学生分别计算 1×2×3 和 1×（2×3），证明二者相等。再多举几个例子说明。

2.师：例子举了很多，还是存在一个问题……

生：不能举出所有的例子。

师：根据刚才我们的学习经验，你需要什么？生：一堆小正方体。

师：表示三个数相乘的小正方体应该长什么样呢？生：是立体的，有高度

师课件出示：

学生列式：6×4×3

师：我们要利用这个模型证明乘法结合律，还可以列出什么算式呢？

生：6×（4×3）

师：你们能不计算，说明这两个算式相等吗？

生能比较快速说明：6×4×3，6×4是在计算一层有多少个小正方体，3是有3层，6×4×3计算的是一共有多少个小正方体；6×（4×3），4×3是在计算竖着的一片有多少个小正方体，一共有这样的6片，6×（4×3）也在计算一共有多少个小正方体。因此，6×4×3=6×（4×3）。

3.一般化

师：我们要想证明所有像这样的例子都成立，该怎么利用这个模型呢？

生：用a、b、c表示。

师：同样假设这堆小正方体的长、宽、高可以任意变化，也就是在这个模型里（课件出示字母），你们能证明a×b×c等于a×（b×c）吗？

生生交流说明：a×b×c，a×b表示一层有多少个，c表示一共有c层，a×b×c计算的是一共有多少个小正方体；a×（b×c），b×c表示竖着的一片有多少个小正方体，a×（b×c）也是计算一共有多少个小正方体。这两个算式相等，是因为它们都在计算出来的都是这堆小正方体的个数，只是观察的角度不同。

接着，带领学生完善了乘法结合律的文字表达。

…………

【教后思】

1.无论是加法交换律、加法结合律还是乘法交换律、乘法结合律，教材在编排上都利用生活中的具体情境来建立模型。加法采用的是李叔叔骑行的情境，乘法采用的是植树的情境。说明“模型”的建立在运算律的教学中非常重要，教材的情境有利于学生体会数学在生活中的应用，感受数学的重要性，但我认为在“直观性”上面是有所欠缺的，学生需要阅读理解情境，提炼信息解决问题，对于课时教学没有达到简单明了的效果。

2.对于运算律的一般性证明，教材采用了不完全归纳法，学生通过举例计算的方法进行证明。在本节课中，我稍微做了一点提升，一是让学生体会到举例法可以说明问题，但也有弊端，就是不能说明所有情况；二是我们可以通过字母表达式，从意义上而不是通过计算来说明。尽管用字母表示数是五年级的学习内容，但学生的已有经验对于本节课的设计而言，难度不大。

3.教学实践证明，将乘法交换律和乘法结合律前移，降低了学生学习难度。学生类比迁移，很容易自己得出乘法交换律和乘法结合律，重点放到证明过程提升了学生的思维水平。

本节课课堂教学效果不错，学生积极性高，递进的问题和思考激发了学生学习的积极性，连平时不发言的学生也出乎意料地举手并且答对了问题。但是，真正的挑战是在实际应用中，需要通过足够的练习和针对性的训练达到灵活应用的目标。