西电开学考第3题·11种解法(下)

接上篇。f(x) = e^x + 4x，g(x) = ln x + 2x，与两条曲线都相切的直线有几条？答案 1 条。
后 5 种解法：
解法七 数值验证 —— 三条互不依赖的求解路线，外加一条代回验算
解法八 凸凹性 —— f 凸、g 凹，公切线同时是 f 的下支撑线与 g 的上支撑线
解法九 换元 t = e^a —— 换元后方程更整齐，而且 t 有直接含义：t = k − 4
解法十 泰勒展开 —— 前两项就能看出 0 附近的走向，但它数不出零点
解法十一 反函数视角 —— 不用解方程，由斜率 k 直接反查两个切点
解法十是个反例，值得单独说：泰勒展开能让你「看见」零点在哪，但它证明不了只有一个。看得见和证得出，是两件事。
这道题最能说明一题多解的意义 —— 问法没变，数学的入口换了十一个。
系列共 14 题，按题号顺序更新，下一条是第 4 题。