西电开学考第5题·20种解法(中)

第 5 题。这道题的坑不在展开，在系数前面挂的是什么。
题目：(x²−x+1)^2026 = a₀ + a₁x + … + a₄₀₅₂x⁴⁰⁵²，求 2a₀ + 3a₁ + … + 4054·a₄₀₅₂。
答案：2028。
多数人第一反应是「求导再代 x=1」，方向没错，但先要看清：
系数 aₖ 前面挂的是 k+2，不是 k。
这一字之差，决定了你算的是 Σk·aₖ 还是 Σ(k+2)·aₖ。
中篇 9 种：
解法八 极限差分法 —— 用差商逼近导数
解法九 复数代入法 —— 用单位根把奇偶项分开
解法十 分拆两项法 —— 把权重拆开分别处理
解法十一 归纳递推法 —— 先算小 n，猜规律再证
解法十二 数学归纳法 —— 严格证明 S(n) = n+2
解法十三 母函数法 —— 把系数压成幂级数
解法十四 待定系数法 —— 设 S = αP′(1) + βP(1)，定 α β
解法十五 对称性法 —— 利用系数的对称关系
解法十六 多重展开法 —— 三条路交叉验证
另一句「求系数加权和」，可以被读成求导、可以被读成造辅助函数、也可以被读成两个单位根的幂和。