西电开学考第5题·20种解法(下)

第 5 题。这道题的坑不在展开，在系数前面挂的是什么。
题目：(x²−x+1)^2026 = a₀ + a₁x + … + a₄₀₅₂x⁴⁰⁵²，求 2a₀ + 3a₁ + … + 4054·a₄₀₅₂。
答案：2028。
多数人第一反应是「求导再代 x=1」，方向没错，但先要看清：
系数 aₖ 前面挂的是 k+2，不是 k。
这一字之差，决定了你算的是 Σk·aₖ 还是 Σ(k+2)·aₖ。
下篇 4 种：
解法十七 系数递推法 —— 从 a₀ a₁ 推出全部
解法十八 换元降幂法 —— 把次数降下来再算
解法十九 小指数穷举法 —— 先暴力算小情形
解法二十 精确数值验证 —— 用有理数算，不用浮点
另一句「求系数加权和」，可以被读成求导、可以被读成造辅助函数、也可以被读成两个单位根的幂和。