【真题】2016年数一考研真题详解!Cayley-Hamilton!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2016年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

unsetunset第1题unsetunset

若反常积分  收敛，则 ?

(A)  且 .

(B)  且 .

(C)  且 .

(D)  且 .

分  和  讨论即可，选 C。

unsetunset第2题unsetunset

已知函数

则  的一个原函数是 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

积分求出原函数，根据连续性得到两端任意常数之间的关系即可。选 D。

unsetunset第3题unsetunset

若  是微分方程  的两个解，则  ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

两个非齐次的特解作差可以得到齐次的解，代入即可求出 ；为了方便计算我们可以将  作为新的非齐次解代入求解 。当然直接代入  或者  来求解  也是可以的，就是计算量比较大。选 A。

unsetunset第4题unsetunset

已知函数

则 ?

(A)  是  的第一类间断点.

(B)  是  的第二类间断点.

(C)  在  处连续但不可导.

(D)  在  处可导.

选 D。过程如下：

unsetunset第5题unsetunset

设  是可逆矩阵，且  与  相似，则下列结论错误的是 ?

(A)  与  相似.

(B)  与  相似.

(C)  与  相似.

(D)  与  相似.

根据相似得到 ，然后逐个选项验证即可，选 C。

unsetunset第6题unsetunset

设二次型 ，则  在空间直角坐标下表示的二次曲面为 ?

(A) 单叶双曲面.

(B) 双叶双曲面.

(C) 椭球面.

(D) 柱面.

求出标准型即可，选 B。

unsetunset第7题unsetunset

设随机变量 ，记 ，则 ?

(A)  随着  的增加而增加.

(B)  随着  的增加而增加.

(C)  随着  的增加而减少.

(D)  随着  的增加而减少.

标准化，根据分布函数的单调性即可得到答案，选 B。

unsetunset第8题unsetunset

随机试验  有三种两两不相容的结果 ，且三种结果发生的概率均为 ，将试验  独立重复做  次， 表示  次试验中结果  发生的次数， 表示  次试验中结果  发生的次数，则  与  的相关系数为 ?

(A) .

(B) .

(C) .

(D) .

两个随机变量都服从二项分布，根据定义计算即可。选 A。

unsetunset第9题unsetunset

 ?

分子有变限积分，考虑洛必达。

unsetunset第10题unsetunset

向量场  的旋度  ?

套公式即可。

unsetunset第11题unsetunset

设函数  可微， 由方程  确定，则 

对方程全微分即可，注意 ，所以在实际计算的时候并不需要将  展开。

unsetunset第12题unsetunset

设函数 ，且 ，则  ?

考察使用泰勒求解高阶导数。

unsetunset第13题unsetunset

行列式

根据 15 年第 13 题的套路来做计算量是很大的，观察发现按照最后一行展开得到的都是对角阵，几乎 0 计算量。

unsetunset第14题unsetunset

设  为来自总体  的简单随机样本，样本均值 ，参数  的置信度为  的双侧置信区间的置信上限为 ，则  的置信度为  的双侧置信区间为 ?

出题人还是太善良了，就算不知道公式，只需要知道置信区间是关于均值对称的就能解决。

unsetunset第15题unsetunset

已知平面区域 ，计算二重积分 

极坐标代入计算即可，送分题。

unsetunset第16题unsetunset

设函数  满足方程 ，其中 $0

(1) 证明：反常积分  收敛；

(2) 若 ，求  的值.

第一问，求出特征根后发现两根都是负实数，因此对应的反常积分分别收敛，从而得证。

第二问，实在不会就强行解出两个任意常数代入计算，只要计算能力过关就不可能做不出来。

当然在考场上的高压环境下是很容易计算失误的，因此我们考虑根据微分方程带来的  和  的关系式来简化计算。这种方法在 2020 年还会再次使用到。

unsetunset第17题unsetunset

设函数  满足 ，且 ， 是从点  到点  的光滑曲线. 计算曲线积分

并求  的最小值.

根据题意求出  的表达式即可。

unsetunset第18题unsetunset

设有界区域  由平面  与三个坐标平面围成， 为  整个表面的外侧，计算曲面积分

直接运用高斯公式即可。

unsetunset第19题unsetunset

已知函数  可导，且 。设数列  满足 。证明：

(1) 级数  绝对收敛；

(2)  存在，且 。

第一问，压缩映像的直接考察，无难度。

第二问，根据级数与数列的关系即可，即  存在  收敛。对递推式取极限得到 ，构造辅助函数，结合零点定理和单调性即可说明  的取值范围。

unsetunset第20题unsetunset

设矩阵

当  为何值时，方程  无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程。

将增广矩阵化为行阶梯型得到  的分类点，依次讨论即可。

unsetunset第21题unsetunset

已知矩阵

(1) 求 ；

(2) 设 3 阶矩阵  满足 。记 ，将  分别表示为  的线性组合。

第一问，常规方法计算量过大，考虑使用  定理，利用零化多项式结合带余除法把高次幂向低次幂约化，从而极大简化计算量。这种方法在后续真题中我还会使用到，务必熟练掌握。

第二问，根据第一问得到的结论递推即可。

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设二维随机变量  在区域  上服从均匀分布，令

(1) 写出  的概率密度；

(2) 问  与  是否相互独立？并说明理由；

(3) 求  的分布函数 。

前两问较为基础，过程直接看图即可。

第三问，和 2008 年数一第 22 题类似，都是涉及到一个离散和一个连续。但是本题独特的地方在于  和  不独立，这就导致我们不能直接分离两个随机变量，增加分类讨论的难度。

unsetunset第23题unsetunset

设总体  的概率密度为

其中  为未知参数， 为来自总体  的简单随机样本，令 。

(1) 求  的概率密度；

(2) 确定 ，使得  为  的无偏估计。

第一问考察经典结论，在 2008 年数一第 7 题中讲解过，不再赘述。

第二问直接利用无偏估计的定义即可。

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