我在高中数学卷子上,用起了小学的办法

一道数列题，求第2026项。

看到这个数字，很容易开始想：是不是得先求出通项公式？总不能从头算两千多次吧。

我想先算算第三项。

题目里的递推关系，说的就是：每一个新数，都等于前一个数减去再前一个数。于是，a₃ = 2 − 1 = 1，a₄ = 1 − 2 = − 1。

继续往下算，草稿纸上出现了这样一串数：

1，2，1，－1，－2，－1，1，2……

等一下，怎么又回到1、2了？

每个新数都由前面的两个数决定。现在，a₇ = a₁ = 1，a₈ = a₂ = 2，连续两个数和开头一样，后面的计算当然也会原样重来。于是，这六个数会一直循环。由于 2026 = 6 × 337 + 4，第2026项就是这一轮的第四个数：

a_₂₀₂₆= a₄ = − 1.

原本还在想怎么求通项，算了几次减法，题目已经做完了。

回头看，最开始的那个念头其实很自然：暂时没想到办法，那就先算几个看看。

小时候遇到一道题，我们往往愿意这么试。拿几个数代进去，把可能的情况写下来，看看能不能发现点什么。那时未必知道这种尝试叫什么，只是觉得，动手算一算，也许就明白了。

到了高中，学过的公式和方法越来越多，有时反而会犹豫：凭直觉先代几个数，真的能帮我理解这道题吗？草稿纸上写了一排计算，却没有一套完整的思路，会不会是在浪费时间？

可刚才那道题，正是算出的几个数，让“求第2026项”变成了“找它在一轮中的位置”。如果一直等着先想出通项公式，再开始动笔，那这道题目就很难被迅速做出来。

有些思路，是尝试计算的过程中慢慢出现的。

我们常讲的数学实验法，就包含这样的过程：把题目的条件放到具体例子里，观察它怎样变化，再顺着观察到的东西往下想。那个“想代进去算算看”的念头，值得被认真对待。

当然，算几项就出现循环，是因为这个例子比较容易。换一道比较难的题目，或者完全陌生的情景类问题，可能你带入具体的值进去离真正做出题还差很远，但你对题目的理解已经往前走了一点，接下来也就有了具体的事情可以想。

这也是数学实验在一些题里格外好用的原因。比如复杂的排列组合题，十几个人的情况看不清，可以先换成三四个人，保留题目的安排规则，亲手列一遍。哪些情况容易重复，哪些限制会互相影响，常常要真的安排过，才看得出来。

遇到陌生的数列规则，可以像刚才一样算出前几项；面对抽象的函数条件，也可以试着找一个满足条件的具体函数，看看它是什么样子。这些尝试给了我们一个能看清、能动手的起点。

放在选择、填空题里，它有时还能很快帮上忙：一个符合题意的例子，就可能推翻某个选项；几次计算，也可能让原本藏着的关系显现出来，省去后面一长串运算。

学新知识的时候，也可以做实验

有时，我们不光是遇到难题可以举例子，在学新知识时，也可以举例子。一个公式能完整背出来，里面的量换一换，会出现什么结果，也可以很好的帮我们理解知识。

这个步骤，可以在学公式的时候就开始积累。先代入几个容易算的数，看看等式两边各在算什么，再试着改变其中的量。符号里的关系，会在具体的计算中变得清楚。有时，你还会遇到一个意外：算着算着，竟然出现了以前学过的结论。

用这个大家都会学到的公式举例：

sin (α + β)= sin α cos β + cos α sin β.

让两个角相等，也就是令 β = α，右边的两项就相同，于是得到 sin 2α = 2 sin α cos α。再让两个角互为余角，左边变成1，右边变成 sin ²α + cos ²α，又是一条熟悉的公式。

这时再看二倍角公式，你会知道，它就是和角公式里两个角相等的情况。而平方和等于1，也能从同一个公式中找到来路。以前分开记住的几条结论，就有了你能亲手推出来的联系。哪天忘了其中一条，也可以试着从还记得的那条出发，把它重新找回来。

构筑自己的知识体系，也可以从这样的尝试开始。 学到一个新公式，除了记住它，还可以留一点时间看看：取哪些简单的值容易理解它？换一种取法，会不会遇到旧知识？把试出来的联系记在旁边，再想清楚为什么能这样变。以后复习时，这些具体的尝试，就能帮你回想起公式之间的关系。

这样积累下来，一个知识点在你脑海里，会连着一些熟悉的例子，也连着其他知识。下一次题目出现类似的条件，你就多了一些可以调用的经验，知道哪些例子值得试，哪些变化可能有用。考场上那个看似突然冒出来的想法，有时就来自平时这些很小的尝试。

在最初动笔的时候，你不必已经知道自己会发现什么。也许先算两项，觉得有点意思，就再算两项；也许换一个数，原来没看懂的条件突然清楚了。带着一点好奇去试，本身就能帮助你理解题目。

第2026项看起来很远。这道题的转机，却出现在愿意先算第三项的时候。

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