跟风武汉9月习题之万有引力

很少发万有引力类的习题，正好凑着跟风武汉试题这个机会，凑够个习题发一下。之前发过几个，反正就是零散。别人都在发难题，我就发点简单的吧。 开普勒面积定律与周期定律是天体力学的基础，具有十分重要的意义。面积定律指出行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积，反映行星在椭圆轨道上的速率变化，对于常见考题掌握这两个定律可以很快得分、

题目1

如图所示，某卫星绕地球做椭圆运动，其中  是椭圆的长轴，  是椭圆的短轴，为地心.已知  、  和椭圆  段曲线所围的面积占椭圆面积的 , 则卫星沿顺时针方向从  点 运动到  点与从  点运动到  点所用时间之比为

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解析 根据开普勒第二定律可知，卫星单位时间扫过的面积是定值，则易知  与  的面积之比即为时间之比，令椭圆总面积为  与  的面积分别  于是

化简

题目2

2025年11月5日，神舟二十号返回舱从空间站分离，开启返回地球的旅程，在返回地球的过程中有一段时间其运动轨迹是椭圆，绕行方向如图所示，地球位于椭圆的焦点  上。假设每隔  时间记录一次返回舱的位置，记录点如图所示，已知  为椭圆轨道的中心， 、  分别为椭圆的长轴和短轴，  的距离为 ,  的距离为 , 且满足 , 椭圆的面积公式为 , 则返回舱从  运动到  的最短时间为

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解析

题目3

空间两质点的质量分别为  和 , 彼此以万有引力相互作用.开始时两质点静止，相距 , 在引力作用下彼此接近并相碰，试求两质点从开始运动到相碰所经历的时间.

解析

当两质点绕某点做匀速圆周运动，则其周期大小为 

然后如下图变化，直至变成一条直线，此时长轴即为 , 半周期即可相遇，则根据开普勒第三定律  所以