【真题】2025年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率两天一更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2025年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

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已知函数 ，则 ?

(A)  是  的极值点，也是  的极值点

(B)  是  的极值点， 是曲线  的拐点

(C)  是  的极值点， 是曲线  的拐点

(D)  是曲线  的拐点，也是曲线  的拐点

研究的都是  这一点的局部性质，因此直接在  处使用泰勒拟合即可。，，这样一来答案显然选 B。

当然如果不会泰勒的话那就慢慢算，这就导致第一题计算量就比较大。

P.S. 写文字解析的时候我突然发现 f(x) 是偶函数，g(x) 是奇函数，所以只有 B 选项可能正确，秒了！

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已知级数: ; ，则 ?

(A)  与  均条件收敛

(B)  条件收敛， 绝对收敛

(C)  绝对收敛， 条件收敛

(D)  与  均绝对收敛

选 B。对于第一个级数，拆一个  出来等价即可；第二个级数直接泰勒。

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设函数  在区间  上可导，则 ?

(A) 当  存在时， 存在

(B) 当  存在时， 存在

(C) 当  存在时， 存在

(D) 当  存在时， 存在

选 D，多次考察的反例，在 2002 年数一第 8 题中首次考察；D 选项考察洛必达法则 。

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设函数  连续，则  ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

送分题，选 A。

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二次型  的正惯性指数为 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

送分题，选 B。由于我们只需要对角线的元素，所以甚至都不用做对称初等变换，只做行变换即可。

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设  是  维向量， 线性无关， 线性相关，且 ，在空间直角坐标系  中，关于  的方程组  的几何图形是 ?

(A) 过原点的一个平面

(B) 过原点的一条直线

(C) 不过原点的一个平面

(D) 不过原点的一条直线

选 D，解空间图像问题， 不一定是零向量，因此直线不过原点。

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设  阶矩阵  满足 ，给出下列四个结论:

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

其中正确的选项是 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 A。命题人依旧大放水。注意到 (1)和(2) 是等价的，(3)和(4)是等价的，所以排除 B 和 C；再取个特值 ， 即可排除 D，故选 A。

常规做法直接使用  不等式即可，反复讲过的重要不等式，不会的同学移步下文：有关矩阵秩的不等式，还不学会你就落后啦！

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设二维随机变量  服从正态分布 ，其中 ，若  为满足  的任意实数，则  的最大值为 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 C。除了根据二维正态分布得到  和  的边缘分布外，都是高中知识。

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设  是来自总体  的简单随机样本，令 ，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得  ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 C。考察泊松定理。

首次考察泊松定理，下面简单说明一下：对于二项分布 ，如果  很大， 很小，且  近似固定，则其概率可以用  分别近似，推导如下：

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设  为来自正态总体  的简单随机样本，记 ， 表示标准正态分布的上侧  分位数，假设检验问题： 的显著性水平为  的检验的拒绝域为 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

套公式即可，参数估计和假设检验部分公式很多，一定要回自己推导而不是死记硬背。

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 ?

通分后等价无穷小。

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已知函数

的傅里叶级数为 ， 为  的和函数，则  ?

热门考点傅里叶级数，本题考察狄利克雷收敛定理，对  做周期为  的奇延拓即可。

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已知函数 ，向量 ，则  ?

套公式即可。

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已知有向曲线  是沿抛物线  从点  到  的段，则曲线积分  ?

可以补线加格林解决，但是直接将曲线方程代入计算量也很小。

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设矩阵

若方程组  与  不同解，则  ?

显然  不满秩，从而推出  的值。

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设  为两个不同随机事件，且相互独立，已知 ，，则  中至少有一个发生的条件下， 中恰好有一个发生的概率为 ?

根据定义计算即可。

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计算

方法一：对分子分母同乘  后更好裂项，后续计算就没有难点了。

当然这种裂项方法是需要一定的代数变形能力的，如果想不到可以考虑先使用一次区间再现，然后再裂项，计算量比较大就不写了。

方法二：如果你说你就是不会裂项怎么办呢，也是有其他方法的，由于 ，所以我们自然想到做三角换元 ，从而得到组合积分法的经典例题。

对组合积分法不熟练的同学移步下文即可：你真的会用组合积分法吗？

点击文末的【阅读原文】有更多组合积分法的练习题！！！

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已知函数  在区间  内具有二阶导数，记 ，若  满足

且 ，求 。

简单计算题，计算量不算特别大，细心一点就行；化简得到一个欧拉方程，数一真题此前考过 2 次欧拉方程（2004 年和 2021 年），不算冷门考点。

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设函数  在区间  内可导，证明：导函数  在  内严格单调增加的充分必要条件是：对  内任意的 ，当 x_1<x_2<x_3 时，

数分典题，本质考察凹凸性相关结论的证明。分析味很浓的一道证明题，非数考研出这种题也太不友好了。

首先看必要性，必要性很好证明，观察结论为割线斜率形式，故考虑分两段分别使用拉格朗日中值定理即可。

再看充分性，如果此前没有接触过类似方法的话几乎是不可能想到的。由于满足递增关系的任意三点都有相邻两点割线斜率递增的结论，为了得到端点值的导数信息，我们需要取某个点作为动点进行逼近，故插点 ；分别让 ， 即可得到  和  的大小关系，从而证明出导函数的单调性。

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设  是由直线  绕直线 （ 为参数）旋转一周得到的曲面， 是  介于平面  与  之间部分的外侧，计算曲面积分

比较需要空间感的一道题。补面后使用高斯公式，三重积分部分直接转换为圆锥的体积；而补的面上的曲面积分转成一型来计算会更容易，因为补的面的方向余弦是平行于  的，所以转一型后可以直接代入曲面方程。

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设矩阵

已知  是  的特征多项式的重根。

(1) 求  的值。

(2) 求所有满足  的非零列向量 。

第一问送分，最直接的方法是直接求特征多项式。

当然由于  有重特征值 1，所以可以考虑构造  得到重特征值 0，那么就由  的特征值为全 0，从而根据矩阵  的迹一步得到  的值。

第二问，对两个等式反复变形代入能得到很多结论，这里只提供一种做法。最后算出来  可以是任意向量，欧亨利式结尾。

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投保人的损失事件发生时，保险公司赔付额  与投保人的损失额  的关系为

设损失事件发生时，投保人的损失额  的概率密度为

(1) 求  及 。

(2) 这种损失事件在一年内发生的次数记为 ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 ，假设  服从参数为  的泊松分布，在  的条件下， 服从二项分布 ，其中 ，求  的概率分布。

题干很长但都是废话，不像 26 年最后一题题干长但都是有效信息。

第一问，直接根据定义计算积分即可。

第二问，考察全概率公式，根据二项分布的实际意义，我们知道只有  才有意义，因此全概率公式的下限直接从  开始。

概率论的学习要注重类比，比如连续型和离散型的公式：

以上就是对于2025年数一真题的全部解答，比24年简单，但是难度依旧在线。选择题一上来第1题就是中档题，如果泰勒运用不熟练的话计算量偏大；但是选择题里的线代题目比往年都简单很多，比如第7题严重放水；第9题考察泊松分布，算是比较冷门的考点。填空题都很基础。大题第一题就不是很好处理，裂项和三角两种处理方法都需要掌握；第18题计算量偏大，但是套路明显不应丢分；第19题对非数同学太不友好了，充分性的证明没有接触过类似的方法几乎不可能在考场上想到；20题也是难度比较高的一道题，对解析几何和两类曲面积分都进行了考察；21题较为常规；22题第二问考察全概率公式，本套试卷共两处考察泊松分布，可见其重要性。