高中数学666题第447题：点球大战

题目

点球大战规则：抽签决定先罚点球的球队，之后双方交替罚球。前五轮中，每队各派5名队员依次罚点球；若领先方的进球数与落后方的进球数的差值，超过落后方剩余罚点球的次数，则领先方提前获胜；否则，完成五轮时，进球数多的球队获胜。若完成五轮时双方进球数相同，则从第六轮开始进入"Sudden Death"阶段，即双方继续各派新队员罚点球，直到某一轮中一方罚进而另一方罚失时决出胜负。

某次高中足球联赛的淘汰赛中，甲、乙两队在常规时间和加时赛后以0:0战平，比赛进入点球大战。假设每名队员是否罚进相互独立。已知甲队前五轮5名队员罚进点球的概率依次为，，，，；乙队前五轮每名队员罚进点球的概率均为。甲队先罚。已知前三轮罚点球后，比分达3:3。 (1) 求第五轮时，甲队罚进点球就提前获胜的概率。 (2) 已知两队未进入第六轮"Sudden Death"阶段，且甲获胜。用X表示比赛中甲队罚进点球的个数，求X的分布列和数学期望。

来源

26-27福州市高三质检

what

#相互独立事件同时发生的概率 #随机变量的期望与分布列 #互斥事件 #条件概率 #点球大战

how：理解题意，设出事件，求出概率，注意条件概率。

solve

(1) 设，（）分别为甲队、乙队第名队员罚进点球。 设事件="比分达3:3之后，第五轮甲队罚进点球就提前获胜"。 则 ，，，所以 

(2) 由题知，设"两队未进入第六轮'Sudden Death'阶段，且甲获胜""比赛中甲队罚进点球的个数为4"，"比赛中甲队罚进点球的个数为5" 则 

所以 故 

则X的分布列为：

Point

① 概率题要进入情景，点球大战时，你就把自己想成甲队成员，踢一场点球大赛。

② 先设事件，将所求事件表示成已知概率的事件的运算，然后再根据概率公式进行求解。

③ 注意，"已知"、"在什么什么条件下"，这是条件概率的节奏。