这篇文章本来想十一期间码出来的，结果一直拖到了现在。上篇文章讲了数学竞赛的一些规划层面的内容，这篇想讲一讲我从高中到现在的十年里对数学学习的一些认知和体会。本篇文章的受众比上一篇更广，课内和竞赛都有所涉及，主要想分享一些我个人比较认同的数学学习模式以及我对于应试解题的一些认知。

本文的核心观点：（学知识层面）学得越慢，学得越快；（做题层面）会得越少，会得越多。

学得越慢，学得越快

让我们从上海谈起。和我交流过的同行和家长大多知道，我离开上海是受不了这里不太正确的主流节奏，升学压力和外部环境让学生很难有时间（也很难意识到自己应该）去沉淀，我的一些想法在这里只能是空谈。还是从经典案例谈起，暑假我看到好几个”学完“高中数学的八年级学生写出并且没有化简，由此引发了一些思考。

什么原因？表层来看，其实可以说是少了一个提示，说不定就会好一些，但更本质的是在学习的初期没有真正记住对数这个概念从何而来——毕竟他不可能不会，而这本就是一回事，根号是解二项高次方程引入的符号，而log是解指数方程引入的符号。

为什么没记住？因为对数那一讲的课时安排下，讲课方法是快速引入对数的定义，通过基本公式熟悉一下对数，然后把时间花在各种计算上。根号对于学生来说已经像加减乘除一样熟悉了，但对数却不尽然。在此基础上，少了一个提示的情况下，学生就没有去想一个对数出现在指数上意味着什么。

为什么是这种安排？因为要快，要120小时讲完高中数学，因为应试不等人。我讲过这种课，只能评价为镣铐舞，必须要舍弃一些教学想法，不然完不成进度。

所以，看似学得快了，实则不然，真想达到学会了的程度还得再花时间，所以学得不快。而如果把节奏慢下来，多花点时间把底层的东西搞透，大概需要1.5倍的时间（不考虑刷题层面的事），但带来的学习效果却很可能比同样的课程学两轮效果好。

慢下来，才能深。学生看懂答案并非难事，重要的是点出来一个答案到底在说什么，问题是如何被解决的，图快的情况下这往往做不到。 最近给低年级小朋友讲绝对值，非常经典的一类题目是求形如的最小值，转化成几何问题解决起来并不难，但我会花时间解释到底在干什么：这其实是考虑局部的想法，把整个问题拆分成一些小问题。后面讲到多边形内角和时，还会再次callback这里。如果高中再讲同样的题，我会带着学生画图像，从几何的角度说明为什么最小值一定在中间取到。

再举一个数竞的例子：许多学生对Lucas定理的认知是解决组合数模素数余数的利器，然后不管它的证明。我自己对学生的说法是：这个证明对解决组合数问题确实基本没用，但证明本身比较值得学习。这就像费马小定理的证明基本不会帮助解决指数幂同余的问题，但整体处理的思想却广为应用。第28届CMO的第5题要求学生知道有什么更好的表达式，其中是组合数模2的最小非负剩余。我翻了数之谜的评论区，在诸多评论中并未见到有说这是Lucas定理证明的：事实上把n的二进制表示写出来后，按Lucas定理证明的写法重写，表达式是显然的。当然，没想到这一层也可以通过观察或者试小情况知道有因式分解，但这本来是一个基础知识题。

会得越少，会得越多

我对于各种学习阶段的学生都会说的一句话是：学知识，需要知道它都能做什么，用在哪里；做题目，是识别出来它在考什么，需要什么，把知识和题目连起来，题就做完了。方法技巧像是建材，有些时候需要它们去搭桥完成连接，但想知道该在哪里搭桥则需要对知识的掌握足够扎实。以我之见，这个言论适用于几乎所有CMO3，6以下难度的正常问题。

很多学生喜欢高级方法，喜欢二级结论，我对此并不反对，但前提是这个学生的基础已经比较不错了，但事实往往并非如此。高级方法和二级结论会给学生以幻觉：我会的东西很多，能做的事情很多，但实则不然。真正把一个知识/一类题目搞懂，需要的是知道自己会的东西有多少。会得越少才应该越开心，这代表看到这类题只可能是想某几件事，例如看到带绝对值的不等式，想三角不等式或者去掉绝对值基本够用，高级一些则是max,min的表达式（用的少），所以一上来就知道应该用什么东西，至于怎么用，这是经验层面的事情。

一个我很喜欢的例子是求和。高中竞赛范围内，哪些和能求？等差、等比、等差×等比、多项式×等比、裂项。本质是向乘法靠拢，或者对式子作整体处理。当我们知道我们只会这么多，面对一个求和计算的时候就知道了一定是几种方法之一；面对一个涉及计算求和的构造时就知道了一定要构造以上几种形式。在这个观点下，208年北大夏令营第7题的构造就非常自然了——只有这样的东西才能去验证满足条件。

关于中学数学学习的一点建议

需要指出的是，本文具有脱离实际的成分，正如我前文所说，上海的现象是基于升学压力和外部环境引起的焦虑，所以也不太会存在我说的这种教学，即使有也可能没学生听（打个广告，计划明年暑假开一个线上课，所有的教学设计来自我自己），所以这些建议仅仅是从学会数学的角度出发给出的。

1.学知识层面——连通的体系：例如初高中数学要能回答清楚数有哪些、运算有哪些、函数有哪些、为什么要研究或引入xx，xx和xx具有哪种相似性，等等。

2.学方法技巧层面——充分的认知：能解决什么问题，本质是什么东西。例如配对，能解决复杂求和或者求积问题，本质上是把不等的东西变得相等，转为乘法()或者幂运算(威尔逊定理)

3.做题/看答案层面——宏观的总结：在搞懂题目本身的基础上，抽象出题目的解题模式，每一步是在做什么事情。总结出的东西可能是思想，例如看到一个题目是等比数列求和，第一步叫做对原式作整体的处理，得到新式，和原式较为相似，第二部叫做对相似的式子做代数变形，得到好的结果，这两件事在许多代数题中都会出现。总结出的东西也可能是套路或固定流程，例如计算复杂指数幂同余问题，不断找周期；例如方程只有一个根的问题，讨论次数/判别式/增根，那么所有这类题都是”一道题“。总之，尝试通过少量题的训练集来应对大量题的测试集。

以上。临近CMO还是略忙，下一篇文或许就是CMO题目相关了。