【习题研讨】135. 一道上海小升初中三元六次式的因式分解,附23道练习

【习题解答】初中：一道因式分解试题，里面也是一个三元六次式，按一个字母整理后分组，方法可以对照着看. 本文练习的第  题就是那道题.
【习题研讨】一个六次恒等式，用到 、、 这三个基本对称式. 本文练习的第  题，对应的就是那篇文章里讨论的恒等式.

今天再来看一道上海小升初中的一道选拔题，来自哈老师公众号 .  然后，后面附  道 AI 生成的练习，有些可以和旧题连起来做. 当然，这些题目确实都太难了，有些题目真的看看就好.

轮换对称式，我们先试根，取 , , ,  都有没有使得原式为  的情况，这题没有常见的一次因式.

先展开看看. 这里有一个可以省些计算的写法，记 ，，，则

第二式就是在第一式中，把  换成 . 这三个式子的两两乘积之和为 ，乘积为 .

第一式乘以 ，再减去第二式，含  和  的项恰好消去，得到

化简后，不妨选  为主元，按  的降幂排列：

中间两项提出  后，剩下 . 首尾两项也能分出这个因式，于是有

括号里继续分组：

因此

这里将 、 各提出一个负号，把答案写得对称一些.

下面再配  道练习，均在有理系数范围内分解，大致由易到难排列. 题目集中列出，参考答案附在后面.

以下各题均要求因式分解. 约定轮换求和为

例如 .

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

为缩短书写，统一记

轮换乘积  与轮换求和同理，例如

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

第  题.

以前还写过一些因式分解和整式变形的文章，也整理过练习，放在这里方便查找.

• 【习题集萃】因式分解拆添项练习题.
• 【习题研讨】七年级：因式分解 $x^4+y^4+(x+y)^4$.
• 【习题解析】$x^8+98x^4y^4+y^8$ 的因式分解.
• 【竞赛专题】利用因式分解判定大数为合数.
• 【习题集萃】余式定理和因式定理.
• 【竞赛专题】整式恒等变形一览.
• 【教学研讨】七上整式：初中常用整式恒等变形简介.

另外还转载过魏磊老师“老猫的教室”的一篇文章，配有练习和讲解视频：

• 【转载】8.6.1：对称式和轮换对称式.