晴子数学精选-26秋第六周每日真题训练(4)

▎今日真题方法技巧

① 双解先全写：|a|=6 → a=±6；b²=4 → b=±2；再用 a＜b 筛组合，最后代式子——两个值都保留

② 原点位置题抓「绝对值=离原点距离」：|b|>|c|>|a|>0 且 AB=AC → 谁的绝对值大谁离原点远，画数轴定位

③ 「理想点」比例 1:4 → 两个理想点：P=(4×左端+1×右端)/5 或 (1×左端+4×右端)/5，加权平均直接算

④ 折叠的代数表达：M 沿 Q 折到 M′ ⇔ M′=2Q−M；「谁是谁的理想点」分三种情况，逐一解方程

一句话总结：绝对值=距离、比例点=加权平均、折叠=中点公式——数轴题的文字定义全部翻译成坐标运算。

▎今日真题方法技巧

① 中垂线 → DA=DB → ∠B=∠DAB；D 在直线 BC 上的位置分两种 → 画两种图分别解，得 37.5° 或 67.5°

② 糖水不等式证明就一步：作差 (b+c)/(a+c)−b/a=(a−b)c/[a(a+c)]，逐个说明三个因子为正

③ 应用拓展：三角形三边 b+c>a 恰好是「加糖合法」→ 对三条边各写一遍糖水不等式再相加

④ 「和谐式」M−N=1：通分求出 E=3(x+3)，代回得 M=3/(3−x)；「M 为整数」→ 3−x 取 ±1、±3，x=0、2、4、6

一句话总结：证明题的标尺是「作差看符号」；应用其结论时，先核对每个字母满足条件再套。

▎今日真题方法技巧

① 正多边形=外接圆+等腰三角形：连 OC、OD，∠COD=60° → 等边 → 开口宽=2a·sin60°，反解 a

② 反演变换核心一句话：OP·OP′=R²，圆内点映到圆外、圆上点不动、圆心没有像

③ 「Q 的运动路线」别算：由 MN²=NP·NQ 对照反演定义，Q 是 P 关于圆 N 的反演点 → 路线是弧，选 B

④ 最大值：把 M 到 l 的距离、h、a 全部代进反演比例，找「P 离 N 最远」的临界位置

一句话总结：新定义题的捷径是「对照定义」：反演的三条性质逐条用，能省掉全部硬算。

▎今日真题方法技巧

① 高斯函数 [x]：先把 f(x) 化简成分段形式，再按「整数区间」一段一段数值域——画数轴不画图

② 抽象函数解不等式：把两边凑成 f(同一结构)，再用单调性脱掉 f，变成普通不等式组

③ 对勾函数单调性证明：作差通分成 (x₁−x₂)(x₁x₂−a)/(x₁x₂)，按区间讨论符号——定义法模板

④ 「恒成立求 m 最大值」：分离参数 m≤最小值；「值域=值域」→ 方程在区间内有两解，端点方程+单调性

一句话总结：今天全是「函数工具箱」：分段看值域、单调脱 f、定义法证明、分离参数——期中解答题四大件。

▎今日真题方法技巧

① 「到直线距离为 1 的点在圆上」两侧都要算：两条平行线分别定圆心 (2,±2)，双圆别漏

② 弦长公式：(m+4)²/10 = r² − 半弦长²，先算半弦长再解 m=−6 或 −2

③ 过定点的两条切线：斜率 k₁、k₂ 是同一二次方程的两根，|k₁−k₂| 用韦达定理表达

④ |MN| = √(8(t+2)²+112)/7 ≥ 4√7/7，当且仅当 t=−2 取等——最值藏在根号里

一句话总结：切线对的套路：相切条件 Δ=0 → 韦达定理 → 截距差凑成完全平方。