什么是数学语言? 初高中衔接-多逻辑量词的翻译

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李明：老师，上一节课我们学习了如何将单逻辑量词翻译为数学语言。你能再深入讲解下什么是数学语言吗？这对我们学习数学和解题有什么用处？

老师：李明，这个问题问到了根本。我们每天用的中文、英文、法文，都叫自然语言。自然语言很方便，但它天然有歧义，不适合做逻辑推理。

老师：我们举个简单例子。这一句话，至少能理解出 4 种意思，这里我就讲解其中两种。

老师：第一种理解，「爸爸背（第一声）着小明，和弟弟去看电影」。意思是小明在爸爸背上，弟弟不在，3 人去看电影。

老师：第 2 种理解，「爸爸背（第四声）着小明和弟弟，去看电影」。意思是爸爸去看电影，而小明和弟弟都没去。

老师：在数学漫长的历史中，数学家们逐渐意识到自然语言有歧义，于是开创了数学语言。中学阶段主要学习三种数学语言：

老师：第一种是代数语言，即用字母代表数字。

字母和数字、字母和字母之间的运算形成了代数式，例如 。

两个代数式相等，就形成了方程，例如 。

两个代数式不相等形成不等式，例如 。

函数：如果 y 是一个关于 x 的代数式，并且每个 x 只有一个 y 对应，就形成了函数，例如 。数列可以看作特殊函数。

整个中学的代数就学代数式、方程、不等式、和函数。

老师：第二种是几何语言。几何语言就是画张图，例如三角形、圆、四面体。因此几何语言也叫做图形语言。

中学几何包括平面几何、向量几何与立体几何。

老师：第三门数学语言是集合计数与概率语言，包括高一学习的集合语言，和高二高三学习的排列组合和概率。集合语言和逻辑学紧密挂钩，是近代数学的基石。

老师：最后，数学家发明坐标系，通过坐标系将代数语言和几何语言互相翻译，发挥各自的长处，于是有了解析几何。

这样我们就有了整个中学数学的知识体系：中学数学包括代数、几何、集合计数和概率，以及解析几何。

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老师：解题时，我们要尽可能把题目中的自然语言翻译成数学语言。要用好这招，学概念时就必须掌握严谨的数学语言，而不是用自然语言或者举例子来学习。

老师：例如我们学习偶数这个概念，「2，4，6，8 这样的数叫做偶数」是举例子，不是数学语言。

老师：如果停留在举例子的层次，当被问到 0 是不是偶数时，我们就不知道如何回答了。

正确的学习是用严谨的数学语言： 就是偶数的数学语言，其中 k 是整数。这样的话，，因此0是偶数，就没有模棱两可的余地了。

李明：老师，我明白了，整个中学阶段，我们其实就是在学习代数，几何，集合计数和概率这 3 门数学语言。解题时，应该先把题目中的自然语言翻译成数学语言。

老师：很棒，给你点赞！接着，还是老规矩，我们从一道例题入手，学习如何用集合语言翻译多逻辑量词。

已知 。若存在 ，使得 ，求实数  的取值范围。

老师：看到 2 个存在量词，分别修饰 ，李明，你打算用哪一种数学语言来翻译？

李明：老师，你说过集合论和逻辑学挂钩，因此是近代数学的基石，因此我猜集合语言。

老师：Excellent! 对于双逻辑量词，我们应该用集合语言，即函数的值域，来翻译：

设  的值域为 ,  的值域为 。

老师：存在  使得  等于 ，翻译为  和  的交集不是空集：

 翻译为：

老师：翻译工作完成，李明，接下来就交给你了：

李明：好的，老师。先看 ，这是一个初中学过的二次函数，在 0<x<1 时单调递增。

， 在  上递增。

李明：f(0) 的值为负 a，f(1) 的值为 1 减 a，因此值域 A 是负 a 到 1-a 的开区间。

李明：再来看 g(x)，这是初中学过的一次函数，在 0<x<1 时也单调递增。

 在  上递增。

李明：因此值域 B 是 1 到 2 的开区间。

李明：两个值域的交集为空集，意味着负 a 大于等于 2，或 1 减 a 小于等于 1。

李明：因此，两个值域交集为空时，a 小于等于负 2，或 a 大于等于 0。

李明：那么两个值域交集非空时， 的取值范围为负 2 到 0 的开区间。

完美！

为了检验你的学习成果，请完成这道习题：

详细答案我会放在评论区，欢迎大家讨论。