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高中物理培优讲义 曲线运动专题 ·第 3 讲

抛体运动

分解思想 ·七类模型 ·临界与极值

本讲由“知识重构—模型提炼—例题示范—专练检测—答案评分”五个环节组成。知识部分给出完整公式体系并逐式编号；例题 6 道，覆盖平抛、斜面约束、临界区间、类平抛、两体相遇、斜抛极值六类主干模型；专练 10 道按 A（巩固）、B（提升）、C（挑战）三级编排，共 100 分。全部题目为编者原创，答案与评分要点另起一页，便于课堂发放与自测。

排版说明：正文公式均为 Word 原生公式对象（可直接双击编辑），变量斜体、单位正体、矢量用箭头标记；公式统一右端编号，正文以“式（n）”引用。

一、考点定位与命题趋势

抛体运动是“化曲为直”思想的第一次完整落地：把二维曲线运动分解为两个一维直线运动，再用时间把两个方向“缝合”起来。高考对本讲的考查已从“套公式求射程”转向“多约束条件下的区间求解”与“真实情境建模”，因此培优的重点不在于记住更多公式，而在于把几何条件准确翻译成方程。

表 1　考点、作答表现与培优落点

命题趋势有三条清晰线索：其一，情境化——排球、飞镖、喷泉、无人机空投等真实场景替代抽象小球，读题即建模；其二，综合化——抛体与能量、电场、圆周运动拼接，要求跨模块调用；其三，图像化——用–、–等线性化图像反推物理量。三条线索共同指向一种能力：把文字与图形中的几何约束，转写为可解的方程。

表 2　本讲命题蓝图（分值、用时按专练部分统计）

二、知识体系重构

2.1　抛体运动的本质：匀变速曲线运动

以初速度抛出、抛出后只受重力作用的物体运动称为抛体运动。其加速度恒为重力加速度，大小不变、方向竖直向下，因此抛体运动是匀变速曲线运动，而不是“变加速运动”。这一判断带来两条直接推论：

第一，任意相等时间间隔内速度变化量相同，即

方向竖直向下。这意味着速度矢量的端点在做匀速直线运动，速度图（矢量图）可直接用于求极值。

第二，运动可沿任意两个互相垂直的方向分解，最常用的是“水平 + 竖直”。两个分运动独立进行，仅通过时间相互联系——这就是全部解题技巧的来源。

2.2　平抛运动的公式体系

取抛出点为原点，轴沿初速度方向水平向右，轴竖直向下（图 1）。水平方向不受力，做匀速直线运动；竖直方向初速度为零，做自由落体运动。

![图]（资产/image1.png）

图 1 平抛运动的分解：水平方向等间隔，竖直方向位移比 $1：3：5$，$P$ 点速度为 ${v}_{x}$ 与 ${v}_{y}$ 的合成

位移分量与轨迹：

式（4）即轨迹方程，说明平抛轨迹是顶点在抛出点、开口向下的抛物线（轴向下时开口朝下）。由此可得：飞行时间只由高度决定，与初速度无关，

速度分量与合速度：

设速度与水平方向的夹角为，位移（抛出点到该点的连线）与水平方向的夹角为，则

两式相除，得到平抛运动最重要的定量关系：

![图]（资产/image2.png）

图 2　速度偏角  与位移偏角  的关系：速度反向延长线恰好过水平位移中点 

式（10）还可翻译成一句几何语言：过轨迹上任意点作速度的反向延长线，它一定交水平轴于该点水平位移的中点（图 2 中的 ）。这条“中点推论”在判断落点、比较时间时极为好用，其证明只需把速度方向写成 ，再与直线方程联立。

2.3　斜抛运动

以初速度 、抛射角 （与水平方向）斜向上抛出，取抛出点为原点， 轴竖直向上：

竖直分速度为零时到达最高点，由对称性可得上升时间、飞行时间、射高与射程：

当  时射程最大，；同一射程一般对应两个互补的抛射角，这正是“打靶两解”的根源（见例 6）。消去  得斜抛轨迹方程：

由机械能守恒（或运动学合成）可得任意一点的速率只与高度有关：


图 3　 相同时三种抛射角的轨迹： 射程最大， 与  射程相等

斜抛的对称性值得单独强调：同一高度处速率相等、速度与水平方向的夹角相等；从抛出点到最高点与从最高点到等高点，时间相等。凡涉及“跨越高墙后落地”一类问题，把运动按最高点切成两段往往比整体列式更快。

2.4　类平抛运动

若物体所受合力  恒定，且与初速度方向垂直，则其运动规律与平抛完全同构，只需把  替换为等效加速度 ：

中学阶段最常见的三种类平抛：带电粒子在平行板匀强电场中的偏转（）、光滑斜面上沿水平方向抛出的小球（）、以及光滑曲面内侧的水平抛出。判断标准只有一条：合力是否恒定且垂直于初速度；只要成立，平抛的全部结论可整体迁移。

2.5　三类几何约束的“角度翻译”

压轴题的难点往往不在物理，而在把“文字条件”翻译成“角度条件”。下表把常见约束一次性对齐，做题时先判断属于哪一种，再选公式，可以避免“落回斜面却用了速度角”这类高频错误。

表 3　常见约束的角度翻译与结论

三、七类核心模型与解题路径

模型 M1　三步定式：定坐标 → 分解 → 联立①定坐标：以抛出点为原点，水平为 、竖直为 ，标明正方向； ②分解：把已知量拆到两个方向上，未知量也拆，绝不直接对合运动列式； ③联立 ：两个方向共用同一个 ，这是唯一桥梁；解出  后其余量逐个击破。

模型 M2　两个角的正切关系核心式：，由此派生出“速度反向延长线过水平位移中点”。 用法：已知位移方向求速度方向（或反之）；已知高度与落点求初速度；判断两球是否会落在同一点。

模型 M3　斜面约束三型①落到斜面：位移沿斜面，用 ，； ②垂直撞击斜面：速度垂直斜面，用 ，； ③从斜面外抛向斜面：先写轨迹方程，再与斜面方程联立求交点，避免讨论角度。

模型 M4　临界与极值四类①过障型：轨迹恰好过障碍顶点，解出临界 ； ②区间型：两个独立边界各给一个不等式，取交集，注意“恰好”取等号是否可取； ③极值型：写出目标量关于自变量的函数（常用二次函数或 ），配方或判别式求极值； ④判别式型：把轨迹方程视为关于  的二次方程， 即有解（包络线）。

模型 M5　两体相对运动两体加速度相同（均为 ）时，以其中之一为参考系，另一体做匀速直线运动； “同时、同高、初速竖直分量为零”是两球始终等高的充分条件； 错开  释放时，竖直高度差按  累积，必不相遇。

模型 M6　图像与线性化轨迹图：– 为抛物线，开口方向由坐标轴取向决定； 线性化：，故 – 图为过原点的直线，斜率可反求 ； 同理 ，作 – 图同样得到直线。

模型 M7　等效重力场中的类平抛识别：合力恒定且垂直于初速度； 替换：所有平抛公式中 ，方向沿合力方向； 电场偏转中 ，判断是否打板只需比较  与 。

四、例题精讲

例 1　模型 M2｜平抛的角度关系｜8 分

从离地  的高台边缘，以初速度  水平抛出一小球，小球落地时速度方向与水平方向成 。取 ，不计空气阻力。求 、水平射程  及落地速度大小 。

答案，，

【解析】竖直方向为自由落体，由  得

落地时竖直分速度 。由速度方向与水平成  得

水平射程与落地速度分别为

【点评】三步顺序不可颠倒：先用高度定时间，再用角度定初速度，最后合成求末速度。若把“落地速度方向”误当作位移方向，将得到 ，进而算错 ，这是本题唯一的陷阱。

例 2　模型 M3｜落到斜面｜10 分

倾角  的斜面足够长。从斜面顶端  沿水平方向抛出小球，初速度 。取 ，，。求：(1) 小球落到斜面上所需时间；(2) 落点到  的距离；(3) 落点速度与水平方向夹角的正切。


图 4　从斜面顶端水平抛出：落点在斜面上，位移沿斜面，故位移偏角等于斜面倾角 

答案，，

【解析】(1) 落点在斜面上，位移方向沿斜面，因此位移偏角等于斜面倾角：

代入位移偏角公式 ：

(2) 水平位移 ，故落点到  的距离

(3) 落点竖直分速度 ，故

【点评】本题的关键是判断“用哪个角”。落回斜面时位移沿斜面，必须用位移角；若题目改为“垂直撞击斜面”，则速度垂直斜面，必须改用速度角（见 B1）。两型只差一个字，公式完全不同。

例 3　模型 M4｜临界区间｜12 分

排球运动员在距网水平距离 、离地高  处水平击球。网高 ，对方场区后界距网 。取 ，不计空气阻力。若要求球既过网又落在对方场区内，求击球速度  的取值范围。


图 5　排球过网的两个临界轨迹：实线恰好擦网，虚线恰好压线， 须同时满足两者

答案

【解析】过网条件：球到达网所在竖直面时，下落高度不能超过 。由  得

故 。

不出界条件：球落地时水平位移不超过 。由  得

两条件同时满足，取交集：

【点评】两个独立边界给出两个不等式，方向相反，取交集即可。等号分别对应“恰好擦网”与“恰好压线”，理论上可取；实际比赛中应留出余量，这也是命题时常把“恰好”作为临界点考查的原因。

例 4　模型 M7｜类平抛｜12 分

平行板长 ，板间距 ，两板间电压 。电子沿两板中线以  射入，取电子的比荷 。求：(1) 电子射出电场时的侧移量；(2) 射出时速度方向的偏转角；(3) 电子不打到极板所需的最小入射速度。


图 6　平行板中的类平抛：沿板方向匀速、垂直板方向匀加速，侧移  与偏转角 （纵向比例已放大）

答案，，

【解析】(1) 电子在板间受恒定电场力，加速度沿垂直板方向：

沿板方向匀速，飞行时间与侧移分别为

(2) 出射时垂直板方向的分速度 ，故

(3) 不打到极板的条件是 ，即

【点评】类平抛的全部工作只有一步：把  换成 。易错点有两个——一是把  的方向弄反（应沿电场力方向，与初速度垂直）；二是判断是否打板时用  而非 ，因为电子从中线射入，可用侧移只有半个板间距。

例 5　模型 M5｜两体相遇｜10 分

如图 7， 球从离地  的平台边缘以  水平抛出，同时  球在  正前方水平距离  处由静止自由下落，两球初始等高。取 。(1) 判断两球能否相碰，并求相遇位置；(2) 若  球比  球提前  释放，两球还能相碰吗？


图 7　 平抛、 自由下落：两者竖直方向运动完全相同，故始终等高

答案　能相碰，，相遇点离地 ；提前释放则不能相碰

【解析】(1) 水平方向上， 到达  所在竖直线所需时间

竖直方向上，两球初速度的竖直分量均为零、加速度均为 ，任意时刻下落高度相同，因而始终处于同一高度，必然相碰。下落高度

相遇点离地 。

(2) 以  为参考系， 的相对加速度为零，相对速度恒为 ，故  相对  做匀速直线运动。当  时， 比  少下落

即  从  的上方掠过，两球不能相碰。

【点评】“同时释放”才是等高的前提，这一点常被忽略。用相对运动处理两体问题，可以把“两个抛物线”变成“一条直线”，是培优阶段必须建立的视角。

例 6　模型 M1 + M4｜斜抛与打靶两解｜12 分

在水平地面上以  斜向上抛出一小球，抛射角为 ，取 ，不计空气阻力。(1) 当  时，求飞行时间 、射高  与射程 ；(2) 若要击中与抛出点等高、水平距离  处的目标， 应取何值？(3) 说明两解的物理差异。


图 8　同一射程的两条弹道：低伸弹道（）与高抛弹道（）互补

答案，，； 或 

【解析】(1) 由飞行时间、射高与射程公式

(2) 令射程等于 ：

解得  或 ，即

(3) 两解满足 。 对应低伸弹道：飞行时间短、落角小、轨迹扁平； 对应高抛弹道：飞行时间长、落角大、轨迹高耸。若目标前方有障碍，应选高抛；若要求快速到达，应选低伸。

【点评】“同一射程两解”是斜抛的标志性结论，其根源是  在  上不单调。凡遇到“求抛射角”得到两个答案，都应回答两个并说明差异，只写一个往往要扣分。

五、培优专练

共 10 题，满分 100 分，建议用时 60 min。A 组每题 8 分，B 组每题 12 分，C 组每题 10 分。取 ，不计空气阻力。答案与评分要点见第六部分。

A 组　基础巩固（32 分）

【本组定位】四题只问四个基本量——时间、射程、落地速度、连续相等时间内的位移差，全部由分解法直接得出，是后续一切模型的公共底座；若用时超过 12 min，或第 (4) 问仍要逐段计算，说明基本公式尚未形成条件反射，应先回到第二部分重做推导。

A1（8 分）

从  的高处以  水平抛出小球。求：(1) 飞行时间；(2) 水平射程；(3) 落地速度大小与方向；(4) 落地前最后  内的竖直位移。

A2（8 分）

一小球做平抛运动，轨迹经过点 （以抛出点为原点， 水平、 竖直向下）。求初速度  与小球经过  点时速度方向与水平方向夹角的正切。

A3（8 分）

从高  的桌面边缘水平抛出小球，落地点与桌边水平距离为 。求初速度 、落地速度大小及落地速度与水平方向夹角的正切。

A4（8 分）

一物体做平抛运动，第  内与第  内的竖直位移分别为  和 。(1) 由此验证竖直方向为匀变速直线运动，并求  与  的关系；(2) 若  末速度方向与水平方向夹角为 （），求  与抛出点高度。

60 min 限时训练安排（可直接用于课堂检测）第 1 段（12 min）　A 组四题，要求全部完成并自查单位与有效数字；出现计算失误即视为不合格。 第 2 段（28 min）　B 组四题，允许先画图再列式：每题都先写出“几何约束对应的方程”，再求解。 第 3 段（20 min）　C 组两题，允许只完成一题，但必须写出完整的函数表达式与极值（或判别式）条件。

B 组　能力提升（48 分）

【本组定位】在平抛之上各加一条几何约束：斜面（B1、B3）、竖直墙（B2）与另一运动的球（B4）。难点不在公式，而在把条件译成方程——“垂直撞击”即 ，“越墙”即两条临界轨迹，“相遇”即两球坐标相同；方程列对，本问大半分数已到手。

B1（12 分）

倾角  的斜面，底端为 。在  正上方高  处水平抛出小球，经  小球垂直撞击斜面（图 9）。求初速度  与高度 。


图 9　垂直撞击斜面：撞击点速度方向垂直于斜面，

B2（12 分）

高  的平台边缘水平抛出小球，距平台边缘水平距离  处有一高  的竖直墙。要求小球越墙后落地点距墙 ，求初速度  的范围（图 10）。


图 10　越墙问题：虚线为恰好擦过墙顶的临界轨迹

B3（12 分）

倾角  的光滑斜面上，一小球以  沿斜面上的水平线方向（即垂直于最大坡度线）抛出（图 11）。(1) 求小球在斜面上运动的等效加速度；(2) 写出小球在斜面内的轨迹方程；(3) 求  时小球在斜面上的位置及离抛出点的距离。


图 11　斜面上的类平抛：横向匀速、沿斜面向下匀加速，轨迹为抛物线

B4（12 分）

 球从高  处水平抛出，； 球在  正前方水平距离  处同时竖直上抛，初速度 。(1) 要使两球在空中相遇，求 ；(2) 求相遇点高度；(3) 说明相遇条件与  无关的原因。

C 组　压轴挑战（20 分）

【本组定位】两题是同一思想的两个入口：C1 把射程写成抛射角的函数，用积化和差求极值；C2 反过来固定落点、让抛射角变化，把“能否到达”化为关于  的二次方程是否有实根，用判别式得边界。前者“正向求最值”，后者“逆向扫参数”，这两条路径在高考压轴与竞赛中反复出现。

C1（10 分）

倾角  的斜面足够长。从斜面底端  在斜面所在竖直面内以  斜向上抛出小球（图 12）。(1) 求小球能落到斜面上的最远距离  及对应的抛射角 ；(2) 证明最远距离满足下式：


图 12　斜面上抛的最大射程：抛射角  时射程最大

C2（10 分）

在竖直平面内，从地面同一点以相同的速率  沿各个方向抛出小球（图 13）。(1) 求小球所能到达区域的边界方程；(2) 判断坐标为  的  点能否被击中；(3) 求该边界的最高点及  处边界的高度。


图 13　包络线（安全抛物线）：所有轨迹的包络，边界之外任何点都不可达

六、参考答案与评分要点

以下答案中的评分建议以“关键步骤”为单位给出，便于按点赋分。同一结果的不同解法，只要物理依据正确、步骤完整，均应参照给分。

A 组

A1

答案，， 且与水平方向成 ，

(1) 。

(2) 。

(3) 落地时 ，故

即 ，速度方向斜向下。

(4) 最后  内竖直位移等于第  内位移：。

评分：每小问 2 分；第 (4) 问若用  的推广形式（）作答同样给分。

A2

答案，（）

由轨迹方程  得

小球到达  所用时间 ，，故 ，。

评分：轨迹方程 3 分， 2 分，时间 1 分，角度 2 分。

A3

答案，，

由  得 ，故

落地时 ，因此

评分：时间 3 分，初速度 2 分，末速度 2 分，角度 1 分。

A4

答案，，

(1) 第  内与第  内的竖直位移之差 ，恰等于 ，符合匀变速直线运动的判别式，说明竖直方向为匀加速直线运动。

(2)  末 ，由  得 ；抛出点高度 。

评分：(1) 3 分；(2) 5 分（ 2 分， 2 分，高度 1 分）。

B 组

B1

答案，

垂直撞击斜面，说明撞击点速度方向垂直于斜面。斜面倾角 ，故速度与水平方向的夹角 ，于是

撞击点坐标：，下落高度 。因落点在斜面上，其高度 ，故

评分：垂直条件与角度关系 4 分， 3 分， 3 分， 2 分。若误用位移角（）求解，本问不得分。

B2

答案，即约 

越墙条件：球到墙所在竖直面时下落不超过 ，由  得 ，故 ，即 。

落点条件：全程下落 ，，水平位移 。要求 ，即 。

取交集得 （约 ）。

评分：过墙不等式 4 分，落点区间 4 分，交集与结论 4 分。只写一个边界最多得 6 分。

B3

答案；；位置 ，距抛出点约 

(1) 小球受重力和斜面支持力，沿斜面向下的合力为 ，故

(2) 沿斜面向下方向做初速为零的匀加速运动，横向做匀速运动：

消去  得轨迹方程

即轨迹为抛物线，开口沿斜面向下。

(3)  时 ，，离抛出点距离 。

评分：(1) 3 分；(2) 4 分；(3) 5 分。若直接沿用平抛公式而不替换 ，(1)(2) 不得分。

B4

答案；相遇点高 ；相遇条件是两球在竖直方向的位移之和等于 ，与  无关

(1) 水平方向： 到达  所在竖直线需 。竖直方向： 下落 ， 上升 ，二者相遇须满足

(2) 相遇点高度 。

(3) 上式两端  相互抵消，说明两球在竖直方向的相对运动为匀速运动，重力对二者作用完全相同，故相遇条件  与  无关。

评分：(1) 5 分；(2) 3 分；(3) 4 分。

C 组

C1

答案，

(1) 建立沿斜面与垂直斜面的坐标：初速度分量  沿斜面向上、 垂直斜面向上；加速度分量  沿斜面向下、 垂直斜面向下。由垂直方向位移为零得

代入沿斜面方向的位移公式，整理得

(2) 利用积化和差 ，当 ，即  时取最大值：

代入 、 得 ，对应 。

评分：时间表达式 3 分，射程表达式 3 分，极值条件与结论 2 分，数值 2 分。

C2

答案； 点不可达；最高点 ， 处 

(1) 由斜抛轨迹方程 ，利用 ，整理为关于  的二次方程：