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曲线运动专题
一、 核心知识
✯1. 曲线运动的条件与特点
条件： 合外力方向与速度方向不共线（夹角θ：0
∘<θ<180
∘）。
特点： 速度方向时刻改变（沿轨迹切线方向），因此一定是变速运动（一定有加
速度）。
✯2. 运动的合成与分解
原则： 遵循平行四边形定则。
等时性： 合运动与分运动同时发生，时间相等。
独立性： 各分运动互不干扰。
两类典型模型：
小船渡河： 最短时间（船头垂直河岸）；最短位移（船头斜向上游，v 船>v水）。
关联速度（绳/杆模型）： 沿绳（或沿杆）方向的分速度相等。
✯3. 平抛运动
分解：
水平：匀速直线 (x = v0t, v x = v0)
竖直：自由落体 (y = 1
2 gt
2, v y =gt)
核心公式：
合速度：v =
❑√v0
2+(gt)
2，方向 tanθ =gt
v0 。
合位移：s= ❑√(v0t )
2+( 1
2 gt
2)
2，方向 tan α =gt
2v0。
重要推论： tanθ =2tan α（速度偏角的正切是位移偏角正切的2 倍）。
✯4. 圆周运动
物理量关系： v =ωr，ω= 2π
T ，an= v
2
r =ω
2r。
向心力（效果力）： Fn=m v
2
r =mω
2r。
常见模型：
水平面（圆锥摆、转弯）： Fn=mg tanθ。
竖直面（绳/杆模型）：
绳（最高点）：mg=m v
2
r ⇒vmin= ❑√gr。
杆（最高点）：vmin=0（支持力 F N =mg）。
二、 指点迷津
✯1. 误将“曲线运动”当作“变加速运动”： 曲线运动不一定是变加速运动。
举例： 平抛运动（匀变速曲线运动，加速度恒为g）。
举例： 匀速圆周运动（变加速曲线运动，加速度方向变）。
✯2. 混淆“合运动”与“分运动”： 求解实际运动（如小船实际航线）时，误将分运动速
度当作合速度。
纠正： 合速度是实际运动速度，分速度是人为分解的效果。
✯3. 忽视“绳/杆”速度分解的方向： 将速度随意分解。
原则： 必须分解合速度（实际运动方向），沿绳方向和垂直绳方向。
✯4. 平抛运动中搞混“角度”： 容易把位移夹角当速度夹角代入公式。
记忆： 斜面抛物体，若落在斜面上（位移沿斜面），用 tanθ = y
x ；若垂直撞斜面
（速度垂直斜面），用 tanθ = v0
v y
。
✯5. 竖直圆周运动“受力”分析错误： 认为向心力是特殊的力。
纠正： 向心力是效果，由外力提供（如绳的拉力、支持力、重力合力）。
✯6. 临界问题漏解： 圆周运动最高点，杆模型漏掉“支持力”情况；最低点漏掉“拉力”计
算。
三、 解题大招
大招一：平抛运动 —— “夹角速算”法
口诀： “速度夹角算角度，位移夹角算倍数；落到斜面用位移，垂直撞用速
度。”
技巧1： 利用 tanθv =2tanθs，已知一个角口算另一个角。
技巧2： 若平抛物体垂直打在斜面上（速度垂直斜面），则此时 v y = v0/ tanθ
（θ为斜面倾角）。
技巧3： 若平抛物体落在斜面上（位移沿斜面），则运动时间 t = 2v0 tanθ
g
。
大招二：关联速度 —— “绳靠分解，杆靠投影”
口诀： “沿绳（杆）速度处处等，实际速度作分解。”
步骤：
✯1. 找合速度（实际的运动速度，通常是物体的收尾速度）。
✯2. 找沿绳（杆）的分量和垂直绳（杆）的分量。
✯3. 沿绳（杆）方向速度相等列方程。
常见模型： 车拉船问题、两杆连接体问题。
大招三：圆周运动 —— “三步分析法”
口诀： “一找圆，二找力，三列牛二方程立。”
✯1. 定圆心、半径： 画出轨迹，确定圆心位置。
✯2. 受力分析： 指向圆心的合力 = 向心力（背向圆心的力要减去）。
套路： F 指向−F背离=m v
2
r 。
✯3. 代入公式： 根据已知条件选择 m v
2
r 或 mω
2r。
大招四：竖直圆周 —— “绳杆模型一句话”
口诀： “绳顶靠重力，杆顶任我行。”
绳模型（无支撑）：
最高点临界：v = ❑√gr（T =0）。
v >❑√gr：绳有拉力。
杆模型（有支撑）：
最高点临界：v =0。
0<v <❑√gr：杆提供支持力（向上）。
v = ❑√gr：杆无作用力。
v >❑√gr：杆提供拉力（向下）。
速算技巧： 求最低点拉力时，T −mg=m v
2
r （多数情况下最低点拉力大于
重力）。
大招五：渡河最值 —— “水速大则漂，船速大则直”
口诀： “要想时间短，船头冲对岸；要想路程短，船头指上游。”
求最短时间： tmin=d / v 船（与 v水 无关）。
求最短位移：
若 v 船>v水：能垂直过河，smin=d，cosθ = v水/ v 船。
若 v 船<v水：不能垂直过河，求最小位移（利用矢量圆），smin=d ⋅v水
v 船
。
【口诀】
曲线运动并不难，速度方向沿切线；
合外指向轨迹凹，平抛运动两分解；
渡河最短垂直岸，绳杆速度沿绳等；
圆周运动找向心，供需平衡要记牢。
四、例题
例 1．（单选）钱学森弹道技术下的导弹，在飞行过程中能够实现速度、方向和高
度上的突然变化，使得其轨迹难以预测和有效跟踪，从而显著提升了被拦截的难
度。如图所示，当导弹位于P 点时，其受力情况可能正确对应的是（ ）
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
【答案】A
【解析】导弹做曲线运动，导弹所受合力指向曲线的凹侧，则导弹在P 点的受力可能是F1。
故选A。
例 2．（单选）汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N加速行驶。如图中分别画
出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】汽车从M 点向N 点加速行驶，汽车做曲线运动，所以合外力F 的方向应指向曲线的内侧，且
F 和速度方向成锐角。
故选C。
例 3．（单选）如图，某河宽为200m，小船在静水中的速度为4m/s，水流速度为
3m/s。假设小船从P 点出发，在匀速行驶过程中船头方向不变。下列说法中正确的
是（ ）
A．若想以最短时间过河，小船过河位移大小为200m
B．若想以最小位移过河，小船过河时间为40s
C．若大暴雨导致水流速度增大到5m/s，小船过河的最小位移为200m
D．无论水速多大，小船过河的最短时间都是50s
【答案】D
【解析】A．已知河宽d =200 m，船在静水中速度v 船= 4 m/s，原水流速度v水=3 m/s，若想以最短时
间过河，则船头垂直河岸，最短时间t min= d
v 船
=50s
船会随水流向下游漂移，沿水流位移x = v水t min=150 m
合位移s=
❑√x
2+d
2=250 m ≠200 m，故A 错误；
B．v 船>v水，最小位移为河宽200 m，此时垂直河岸的分速度v =
❑√v 船
2 −v水
2 = ❑√7 m/s
渡河时间t = d
v ≈75.6s≠40s，故B 错误；
C．水流速度增大到5 m/s后，此时船在静水中的速度小于水流速度，小船无法抵消水流速度的影响，
无法垂直河岸过河，小船以最短位移过河时小船轨迹是向下游的，所以此时小船的位移大于河宽200 m，
故C 错误；
D．水速只影响沿河岸的运动，不改变垂直河岸的速度，因此无论水速多大，最短时间都是
t min= d
v 船
=50s，故D 正确。
故选D。
例 4．（单选）如图所示，从倾角θ =37°的斜面上，以大小为v0=10m/s 的速度，沿
垂直斜面向上的方向抛出一个小球，其轨迹的最高点为P，过P 点做一条竖直线，
交斜面于Q 点，则P、Q 间的距离为（斜面足够长，sin37° =0.6，cos37° =0.8，重
力加速度g=10m/s2）（ ）
A．6.8m B．6mC．5.2m
D．4.8m
【答案】A
【解析】由于小球抛出时垂直于斜面，则抛出时竖直方向的分速度v y = v0cos37° =8m/s
上升到最高点的时间t = v y
g =0.8s
上升的高度h= 1
2 gt
2=3.2m
水平位移x = v0sin37°t = 4.8m
则小球到最高点时离斜面的竖直距离H =h+ x tan37° =6.8m
故选A。
例 5．（单选）如图所示，半径为R的半球形陶罐固定在水平转台上，转轴与陶罐
球心O 的对称轴OO
′重合，将一质量为m 的小物块（视为质点）放入陶罐内，小
物块随着陶罐一起以角速度ω= ❑√
g
R （g 为重力加速度大小）匀速旋转，小物块和O
点的连线与OO
′的夹角θ =60
o，小物块受到的摩擦力大小为（ ）
A．1
4 mg B．
❑√3
4 mg
C．1
2 mg
D．
❑√3
2 mg
【答案】B
【解析】若小物块与罐壁恰好没有摩擦力，小物块和O 点的连线与OO
′的夹角仍为θ，则小物块受到
的重力与支持力的合力提供向心力，有mg tan 60° =mω0
2 R sinθ
解得ω0= ❑√
2g
R
由于ω= ❑√
g
R <ω0= ❑√
2g
R
所以题中小物块受到的摩擦力沿罐壁向上，与水平方向成60°角，则有Ffsin60°+ FNcos60° =mg，
F Nsin 60°−Ffcos60° =mω
2 R sin 60°
联立解得Ff=
❑√3
4 mg
故选B。
例 6．（多选）如图所示，倾角为30°的足够长的斜面体固定在水平地面上，斜面
体上表面光滑，质量M =2m的物块A放在斜面上，其与不可伸长的细绳一端相连，
细绳另一端通过光滑的滑轮与质量为m的小车B相连，与物块A相连的细绳始终与
斜面体上表面平行，不计所有摩擦阻力，开始时小车B离斜面体较远，现由静止释
放物块A，则下列判断正确的是（ ）
A．物块A将做匀速直线运动
B．物块A和小车B的速度大小始终相等
C．物块A和小车B的加速度沿绳方向大小始终相等
D．当小车B运动至细绳与水平方向夹角为60°时，小车B的速度大小是物块A的两
倍
【答案】CD
【解析】B．因绳子不可伸长，物块A 的速度等于B 沿绳方向的分速度，即v A = vBcosθ（θ为细绳与
水平方向的夹角）
只有θ =0
∘ 时，v A = vB
运动过程中θ不断变化，二者速度不可能始终相等，故B 错误；
C．因为绳子不可伸长，沿绳方向的速度分量始终相等，因此沿绳方向的加速度分量也始终相等，故C
正确；
A．小车B 在水平地面运动，设绳的拉力为T，根据牛顿第二定律T cosθ =maB
显然aB≠0 ，又aBcosθ =aA
所以aA≠0 ，即A 做加速运动，不是匀速直线运动，故A 错误；
D．当θ =60
∘ 时，代入速度关系v A = vBcos60
∘= 1
2 vB
可得 vB=2v A，即小车速度大小是物块A 的两倍，故D 正确。
故选CD 。
例 7．（多选）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O 为圆心、R1和R2为
半径的同心圆上，R1：R2=1：2，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高
度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。
依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分
别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水
口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是
（ ）
A．若v1= v2，则h1：h2=1：4
B．若h1=h2，则v1：v2=2：1
C．若ω1=ω2，v1= v2，喷水嘴各转动一周，则落入外圈每个花盆的水量更大
D．若ω1=ω2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则h1=h2
【答案】AD
【解析】A．喷出的水做平抛运动，则有x = vt，h= 1
2 gt
2
联立解得v = x ❑√
g
2h
，h= g x
2
2v
2
若v1= v2，则h1
h2
=
R1
2
v1
2
R2
2
v2
2
= R1
2v2
2
R2
2v1
2 =( 1
2 )
2
×( 1
1 )
2
= 1
4
，故A 正确；
B．若h1=h2，则v1
v2
=
R1
❑√
g
2h1
R2
❑√
g
2h2
= R1
R2
❑√
h2
h1
= 1
2 ×❑√
1
1 = 1
2，故B 错误；
C．若ω1=ω2，根据T = 2π
ω 可知，喷水嘴各转动一周的时间T 相同，因v1= v2，出水口的截面积相同，
根据Q = Sv可知，喷水嘴的流量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，外圈上的花盆总数量较多，
则落入外圈每个花盆的水量更小，故C 错误；
D．若ω1=ω2，则喷水嘴各转动一周的时间T 相同，若h1=h2
则v1:v2= R1: R2
根据Q = Sv
可知，喷水嘴的流量之比为R1: R2，转动一周喷出的水量之比为R1: R2，因为内圈花盆的数量和外圈
花盆的数量之比也是R1: R2 ，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，故D 正确。
故选AD。
例 8．荒野探险小分队在某星球上发现一特殊区域，所有物体在该区域除星球重力
外，都会受到一水平方向的恒力作用。现将一质量为m的小球在该区域从A点以速
度v水平抛出，最终在B点落地，速度方向竖直向下。已知AB连线与水平方向夹角
为30°，AB之间的距离为L，星球重力加速度未知，忽略空气阻力，所有结果用题
目中已知量表示。求：
(1)小球从A到B的运动时间；
(2)落地时的速度大小；
(3)小球运动过程中受到的水平恒力。
【答案】(1)
❑√3 L
v
(2)
❑√3
3 v
(3)
❑√3mv
2
3 L
，方向与A 点抛出速度方向相反。
【解析】（1）将小球的运动分解为水平方向的匀减速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
由Lcos30° = 1
2 vt
得t =
❑√3 L
v
（2）竖直方向，由Lsin30° = 1
2 vBt
得vB=
❑√3
3 v
（3）水平方向v =at
由牛顿第二定律F =ma
得恒力大小F =
❑√3
3 L m v
2
方向与A 点抛出速度方向相反。
例 9．如图所示，竖直平面内的3
4圆弧形粗糙管道半径R =0.8 m，A 端与圆心O 等
高，AD 为水平面，B 点为管道的最高点且在O 的正上方。一个质量m=0.5kg的小
球，从A 点正上方高h=2.0 m处的P 点由静止释放，自由下落至A 点进入管道并通
过B 点，过B 点时小球的速度vB为4m/s，小球最后落到AD 面上的C 点处。不计
空气阻力，取g=10 m /s
2。求：
(1)小球过A 点时的速度v A的大小；
(2)小球过B 点时受到管壁的压力大小；
(3)C 点到A 点的距离。
【答案】(1)v A =2❑√10 m /s
(2)5N
(3)0.8m
【解析】（1）根据v A
2 =2 gh
解得v A =2❑√10 m /s
（2）小球在B 点有N +mg=m vB
2
R
解得小球过B 点时受到管壁的压力大小N =5 N
（3）根据平抛运动规律有R = 1
2 gt
2，xOA = vBt
联立解得xOA =1.6 m
因此xCA = xOA−R =0.8 m
例 10．如图甲所示，一轻质细绳与小球相连，一起在竖直平面内做圆周运动，小
球质量m=1kg，球心到转轴的距离L=1m，取重力加速度g=10 m /s
2，不计空气阻
力。
(1)若小球恰好能过圆的最高点，求小球在最高点的速率；
(2)小球运动到最低点时速率v1=5 ❑√2m/ s ，求小球对绳子的作用力大小F；
(3)如图乙所示，将小球提到最高点，此时绳子刚好伸直且无张力，再将小球以
v2= ❑√6 m /s水平抛出，求从抛出小球到绳再次伸直的时间t。
【答案】(1)v = ❑√10 m /s
(2)F =60 N
(3)t =0.4s
【解析】（1）小球恰好能过圆的最高点，在最高点，重力提供向心力，
由牛顿第二定律得mg=m v
2
L
解得v = ❑√10 m /s
（2）在最低点，由牛顿第二定律得F ' −mg=m v1
2
L
代入数据解得F
′ =60 N
小球对绳子的作用力大小F = F
′ =60 N
（3）由于v2= ❑√6 m/s<v = ❑√10 m/s，小球抛出后做平抛运动，
水平方向，有x = v2t
竖直方向，有y = 1
2 gt
2
由几何知识得L
2= x
2+( L−y)
2
代入数据解得t =0.4s
