第二部分 直线运动 第五节 追及与相遇问题
知识点一 追及问题
知识点一 追及问题
1、速度小者追速度大者
（1）匀加速追匀速，如图甲 （2）匀速追匀减速，如图乙 （3）匀加速追匀减速，如图丙
图甲
图乙
图丙
①t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大
②t=t0时，两物体相距最远为x0+Δx
③t=t0以后，后面物体与前面物体间距离减小
④能追及且只能相遇一次
2、速度大者追速度小者
（1）匀减速追匀速，如图甲 （2）匀速追匀加速，如图乙 （3）匀减速追匀加速，如图丙
图甲
图乙
图丙
开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻：
①若Δx=x0,则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
②若Δx<x0,则不能追及，此时两物体最小距离为x0-Δx
③若Δx>x0,则相遇两次，设t1时刻Δx1=x0,两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇
注：①表中的Δx 是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；
②x0是开始追及以前两物体之间的距离；
③t2-t0=t0-t1;
④v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度.
知识点二 相遇问题
这一类:同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题.
第二类:相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇.
解此类问题首先应注意先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,
还要注意该物体是否停止运动了.
典例1、如图所示，A、B 两物体相距s＝7 m 时，A 在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s 的
速度向右匀速运动，而物体B 此时正在摩擦力作用下以vB＝10 m/s 向右匀减速运动，加速度a＝
－2 m/s2，则A 追上B 所经历的时间是( )
A．7 s B．8 s C．9 s D．10 s
随堂练习：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰
在这时一辆自行车以v＝6 m/s 的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在追上自
行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
典例2、甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t 图像如图所示.已知两车在t＝3 s 时并排行
驶，则( )
A.在t＝1 s 时，甲车在乙车后
B.在t＝0 时，甲车在乙车前7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
解题思路与方法
一、追及,相遇问题的解题思路
追及、相遇问题最基本的特征相同，都是在运动过程中两物体处在同一位置.
①根据对两物体运动过程的分析，画出物体运动情况的示意草图.
②根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程，注意要将两个物体运动时间的关系反映
在方程中；
③根据运动草图，结合实际运动情况，找出两个物体的位移关系；
④将以上方程联立为方程组求解，必要时，要对结果进行分析讨论.
二、分析追及相遇问题应注意的两个问题
分析这类问题应注意的两个问题：
(1)一个条件：即两个物体的速度所满足的临界条件，例如两个物体距离最大或距离最小、后面的物
体恰好追上前面的物体或恰好追不上前面的物体等情况下，速度所满足的条件.
常见的情形有三种：
①是做初速度为零的匀加速直线运动的物体甲，追赶同方向的做匀速直线运动的物体乙，这种情况
一定能追上，在追上之前，两物体的速度相等(即v 甲=v 乙)时，两者之间的距离最大；
②是做匀速直线运动的物体甲，追赶同方向的做匀加速直线运动的物体乙，这种情况不一定能追上，
若能追上，则在相遇位置满足v 甲≥v 乙；若追不上，则两者之间有个最小距离，当两物体的速度相
等时，距离最小；
③是做匀减速直线运动的物体追赶做匀速直线运动的物体，情况和第二种情况相似.
(2)两个关系：即两个运动物体的时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两个物体位移之间的数
值关系是解决问题的突破口.
三、追及,相遇问题的处理方法
方法1、临界条件法(物理法):当追者与被追者到达同一位置,两者速度相同,则恰能追上或恰追不上
(也是二者避免碰撞的临界条件)
方法2、判断法(数学方法):若追者甲和被追者乙最初相距d0令两者在t 时相遇,则有x 甲-x 乙=d0,得到
关于时间t 的一元二次方程:当Δ=b2-4ac>0 时,两者相撞或相遇两次;当Δ=b2-4ac=0 时,两者恰
好相遇或相撞;Δ=b2-4ac<0 时,两者不会相撞或相遇.
方法3、图象法.
随堂练习：一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶,恰在这时一辆
自行车以6m/s 的速度匀速驶来,从后边超过汽车.试问:汽车从路口开动后,在赶上自行车之
前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少?
课 堂 练 习
1、汽车甲沿着平直的公路以速度v0匀速行驶.当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙从静止开始
匀加速去追赶甲车.根据上述已知条件( )
A.可求出乙车追上甲车时乙车的速度 B.可求出乙车追上甲车时乙车的路程
C.可求出乙车从开始起到追上甲车所用的时间 D.不能求出上述三者中的任何一个
2、如图所示,公路上一辆汽车以v1=10m/s 的速度匀速行驶,汽车行至A 点时,一人为搭车,从距公路
30m 的C 处开始以v2=3m/s 的速度正对公路匀速跑去,司机见状途中刹车,汽车做匀减速运动,结果人
到达B 点时,车也恰好在B 点.已知AB=80m,求:
(1)汽车在距A 多远处开始刹车? (2)刹车后汽车的加速度有多大?
3、一辆客车以v1的速度前进，司机发现前面在同一轨道上有辆货车正在以v2匀速前进，且v2<v1，
货车车尾与客车车头距离为s，客车立即刹车，做匀减速运动，而货车仍保持原速度前进.求客车
的加速度符合什么条件时，客车与货车不会相撞?
4、为了安全，公路上行驶的汽车之间必须保持必要的距离.我国交通管理部门规定，高速公路上行
驶汽车的安全距离为200m，汽车行驶的最高速度为120km/h,请根据下面提供的资料.
资料一，驾驶员的反应时间为0.3s～0.6s
资料二，各种路面与汽车轮胎之间的动摩擦因数.
求：（1）在计算中，驾驶员的反应时间、路面与轮胎之间的动摩擦因数应各取多少？
（2）通过计算说明200m 为必要的安全距离.
(3)若在某公路上有甲、乙两车，甲车以72km/h 在前行驶，乙车在后以144km/h 超速行驶，乙发现甲
车后立即制动，当距甲车200m 时乙车开始减速，则减速时加速度至少多大才能避免相碰.
5、一辆值勤的警车停在公路边,当警员发现从他旁边以10m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时,决
定前去追赶,经过5.5s 后警车发动起来,并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动,但警车的行驶速度必
须控制在90km/h 以内.
(1)警车在追赶货车的过程中,两车间的最大距离是多少?
(2)判定警车在加速阶段能否追上货车.(要求通过计算说明)
(3)警车发动后要多长时间才能追上货车?
课 后 练 习
1、甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v-t 图象如图所示.两图象在t=t1 时相交于P
点，P 在横轴上的投影为Q，△OPQ 的面积为S.在t=0 时刻，乙车在甲车前面，相距为d.已知此后
两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′,则下面四组t′和d 的组合可能的是( )
A.t′=t1,d=S B.t′=
t1,d=
S
C.t′=
t1,d=
S D.t′=
t1,d=
S
2、甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t=0 时刻同时经过公路旁的同一个路标.
在描述两车运动的v-t 图中（如图），直线a、b 分别描述了甲、乙两车在0～20s 的运动情况.关
于两车之间的位置关系，下列说法正确的是( )
A.在0～10s 内两车逐渐靠近 B.在10～20s 内两车逐渐远离
C.在5～15s 内两车的位移相等 D.在t=10s 时两车在公路上相遇
3、两辆完全相同的汽车，沿水平直线一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度
刹车，在它刚停住后，后车以前车刹车的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行的距离为
s，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为( )
A.1s B.2s C.3s D.4s
4、A、B 两辆汽车在平直公路上朝同一方向运动，如图所示为两车运动的v-t 图象.下面对阴影部分
的说法正确的是( )
A.若两车从同一点出发，它表示两车再次相遇前的最大距离
B.若两车从同一点出发，它表示两车再次相遇前的最小距离
C.若两车从同一点出发，它表示两车再次相遇时离出发点的距离
D.表示两车出发时相隔的距离
5、甲、乙两物体同时开始运动，它们的x-t 图象如图所示，下面说法正确的是( )
A.乙物体做曲线运动 B.甲、乙两物体从同一地点出发
C.当甲、乙两物体两次相遇时，二者的速度大小不相等
D.当甲、乙两物体速度相同时，二者之间的距离最大
6、如图所示是两个由同一地点出发，沿同一直线向同一方向运动的物体A 和B 的速度图象.运动过程
中A、B 的情况是( )
A.A 的速度一直比B 大，B 没有追上A
B.B 的速度一直比A 大，B 追上A
C.A 在t1s 后改做匀速直线运动，在t2s 时追上A
D.在t2s 时，A、B 的瞬时速度相等，A 在B 的前面，尚未被B 追上，但此后总是要被追上的
7、（多选）两辆游戏赛车a、b 在两条平行的直车道上行驶.t=0 时两车都在同一计时线处，此时比
赛开始.它们在四次比赛中的v-t 图象如图所示.哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆(
)
提 高 练 习
1、（多选）汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动，当它路过某处的同时，汽车乙从此处
开始以加速度a 做初速度为零的匀加速直线运动去追赶汽车甲，根据上述已知条件( )
A.可求出乙车追上甲车时，乙车的速度
B.可求出乙车追上甲车时，乙车走的路程
C.可求出乙车从开始运动到追上甲车时，乙车运动的时间
D.不能求出上述三者中任何一个
2、在十字路口，汽车以0.5m/s2 的加速度从停车线起动做匀加速直线运动时，恰有一辆自行车以
5m/s 的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：
（1）什么时候它们相距最远；最大距离是多少；
（2）在什么地方汽车追上自行车；追到时汽车速度是多少.
3、汽车以25m/s 的速度匀速直线行驶，在它后面有一辆摩托车，当两车相距1000m 时，摩托车从静
止开始起动追赶汽车，摩托车的最大速度达30m/s，若使摩托车在4min 时刚好追上汽车，求摩托
车的加速度应该是多少.
4、一辆摩托车能达到的最大速度为30m/s，要想在3min 内由静止起沿一条平直公路追上前面1000m
处正以20m/s 的速度匀速行驶的汽车，则摩托车必须以多大的加速度启动？（保留两位有效数
字）
甲同学的解法是：设摩托车恰好在3min 时追上汽车，则
at2=vt+s0,代入数据得a=0.28m/s2.
乙同学的解法是：设摩托车追上汽车时，摩托车的速度恰好是30m/s，则vm
2=2as=2a(vt+s0)，代
入数据得a=0.1m/s2.你认为他们的解法正确吗？若错误，请说明理由，并写出正确的解法.
5、如图所示，甲、乙两位同学在直跑道上练习4×100m 接力，他们在奔跑时有相同的最大速度.乙从
静止开始全力奔跑需跑出20m 才能达到最大速度，这一过程可以看做是匀加速运动.现甲持棒以最
大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出.若要求乙接棒时达到奔跑速度最大值的90%，试求：
（1）乙在接力区从静止跑出多远才接到棒？
（2）乙应在距离甲多远时起跑？
6、A、B 两车在同一直线上向右匀速运动，B 车在A 车前，A 车的速度大小为v1＝8 m/s，B 车的速度
大小为v2＝20 m/s，如图所示.当A、B 两车相距x0＝28 m 时，B 车因前方突发情况紧急刹车(刹车过
程可视为匀减速直线运动)，加速度大小为a＝2 m/s2，从此时开始计时，求：
(1)A 车追上B 车之前，两者相距的最大距离；
(2)A 车追上B 车所用的时间；
(3)从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，在题设条件下，A 车在B 车刹车的同时也应刹车的最
小加速度.
