专题一 力物体的平衡 第五节 物体的平衡
知识点 共点力作用下的平衡
1、平衡状态
一个物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动状态,就说这个物体处于平衡状态.如光滑水平面
上做匀速直线滑动的物块,沿斜面匀速直线下滑的木箱,天花板上悬挂的吊灯等,这些物体都处于平衡
状态.
2、共点力作用下的平衡条件
①平衡条件:在共点力作用下物体的平衡条件是合力F 合=0.
②平衡条件的推论
a.若物体在两个力同时作用下处于平衡状态,则这两个力大小相等,方向相反,且作用在同一直线上,
其合力为零,这就是初中学过的二力平衡.
b.若物体在三个非平行力同时作用下处于平衡状态,这三个力必定共面共点(三力汇交原理),合力为
零,称为三个共点力的平衡,其中任意两个力的合力必定与第三个力大小相等,方向相反,作用在同一
直线上.
c.物体在n 个非平行力同时作用下处于平衡状态时,n 个力必定共面共点,合力为零,称为n 个共点力
的平衡,其中任意(n-1)个力的合力必定与第n 个力等大,反向,作用在同一直线上.
知识拓展：
力矩、物体平衡的条件
1、力矩 (1)力臂：从转动轴到力的作用线(不是作用点)的垂直距离。
(2)力矩：力F 和力臂L 的乘积叫做力对转动轴的力矩M，即M=FL，力矩的单位是N·m。
2、物体的平衡态
(1)物体保持静止或匀速直线运动状态
(2)物体绕固定转动轴匀速转动。
3、共点力作用下物体的平衡条件：物体所受的外力的合力为零，即
4、平衡条件的推论：物体处于平衡状态时，它所受的某一个力与它所受的其余力的合力等值反向。
5、三力汇交原理：物体在同一平面内三个非平行力作用下处于平衡状态，那么这三个力的作用线必
相交于一点。
6、有固定转动轴的物体的平衡条件：物体所受外力的力矩的代数和为零，即
（或顺时针力
矩之和等于逆时针力矩之和，即M 顺=M 逆）。
典例1、如图1 所示，绳子的悬点A 缓慢向右移动到C 点时，关于绳子AO 和BO 张力的合力的变化
情况，下列说法中正确的是（ ）
A、数值变大，方向变化 B、数值不变，方向不变
C、数值变小，方向不变 D、数值不变，方向变化
答案：B 解：选结点O 为研究对象，它受到T1、T2和T3三个力的作用(图中已画出)，其中T3=mg，是
大小和方向都不变的恒力，由平衡条件的推论可知，T1和T2的合力必与T3等大反向，因此T1和T2的
合力大小和方向都不变。正确答案为B。
典例2、有一直角支架AOB，AO 水平放置，表面粗糙，OB 竖直向下，表面光滑，AO 上套有小环P，OB
上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略，不可伸长的细
绳相连，并在某一位置平衡，如图所示。现将P 环向左移一小段距离，
两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO
杆对P 环的支持力N 和细绳上拉力的变化情况是（ ）
A、N 不变，T 变大； B、N 不变，T 变小
C、N 变大，T 变大； D、N 变大，T 变小
答案：B 解：对P、Q 两环进行受力分析，如图1-29 所示。再由Q
竖直方向合力为零得出Tcosα=mg ；由P 竖直方向合力为零得出
T·cosα+mg=NP，N=2mg，T=mg/cosα。可见，当P 环向左移动后α 减
小，由T=mg/cosα 判断N 不变，T 减小的结论。
典例3、一个质量为m=50kg 的均匀圆柱体，放在台阶的旁边，台阶的高度h 是圆柱体半径r 的一半，
如图甲所示(图为横截面)，柱体与台阶接触处(图中P 点所现要在图中柱体的最上方A 处施加一
最小的力，使柱体刚能以P 为轴向台阶上滚(g 取10m/s2)，求：
(1)所加力的大小；(2)台阶对柱体的作用力的大小。
解：(1)以P 点为轴，欲在A 处施最小的力，必须使这个力的力臂最长，那么该力的方向应垂直于
PA，如图乙所示。要使柱体刚能以P 为轴向台阶上滚，即意味着此时地面对柱体的支持力恰好为零。
这样由作用力F 与重力mg 对P 点的力矩平衡可得
由几何关系得∠POB=60°，∠PAO=30° 所以
，
，解得F=2500N。
(2)柱体刚能以P 为轴向台阶上滚时，它受到在同一平面内三个非平行力的作用，即重力mg，作用在
A 点的外力F 和台阶P 点对柱体的作用力T。三力平衡必共点，据此可延长重力作用线与F 交于A 点，
那么台阶对柱体的作用力T 的延长线必定通过A 点，即T 的方向垂直于F 的方向，所以T 的大小必等
于重力在
上的分力，因此有T=mgcos30°=4300N.
典例4、小球P、Q 的重力分别是G1=10N，G2=30N，用轻质细杆相连，并且分别系在跨过光滑的小滑轮
的细线的两端，细线长为，系统静止在如图1-31 所示的位置，试求出小球P 与小滑轮O 之
B
A
Q
O
P
α
T
NQ
m
g
Q
.
T
α
P.
f
NP
m
g
F
T
B m
g
o
乙
甲
r
h
P
A
h
P
A
AP
F
BP
mg
60
sin
r
BP
30
cos
2r
AP
l
间细线的长度。
解：对滑轮进行受力分析，。如图1-32 所示，滑轮受力平衡，故Tsinα-Tsinβ=0，α=β，以滑轮，
小球，连杆和细线系统为研究对象，系统关于滑轮的轴处于转动平衡，如图1-32 所示，故
解题思路与方法
（一）处理平衡问题的基本方法
1、力的合成法
物体受三个力作用而平衡时，其中任意两个力的合力必定跟第三个力等大反向.可利用力的平行
四边形定则，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解.
2、正交分解法
将各力分解到x 轴上和y 轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件多用于三个以上共点力作用
下的物体的平衡.值得注意的是，对x,y 方向选择时，尽可能使较多的力落在x,y 轴上，被分解的力
尽可能是已知力，不宜分解待求力.
3、力的三角形法
物体受同一平面内三个互不平行的力处于平衡时，可以将这三个力的矢量首尾相接，构成一个矢
量三角形；即三个力矢量首尾相接，恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零，利用三角形法，
根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力.
典例5、重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使木块做匀速直线
运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？
解析：木块在运动中受摩擦力作用，要减小摩擦力，应使作用力F 斜向上，设当F 斜向上与水平方向
的夹角为α 时，F 的值最小.
（1）正交分解法:木块受力分析如图所示，由平衡条件列方程：
N
β
α
T
y
x
T
P
G1
Q
G2
o
图1-31
P
G1
Q
G2
o
图1-32
l
l
G
G
l
G
OP
OP
l
G
OP
G
4
3
30
10
30
)
/(
0
sin
)
(
sin
2
1
2
2
1
Fcosα-μFN=0
Fsinα+FN-G=0 解得F=
如图所示，设tan
=μ, :则sin
，
则cosα+μsinα=
（cos
cosα+sin
sinα)=
cos(α-
)
可见，当α=
=arctanμ 时F 有最小值， 即Fmin=
由于Ff=μFN，故不论FN如何改变,Ff与FN的合力方向都不会发生改变.如图所示，
合力F1与竖直方向的夹角一定为
=arctanμ，力F1、G、F 组成三角形，由几何极值
原理可知，当F 与F1 方向垂直时，F 有最小值，由几何关系得：Fmin=G sin
=
.
(二)动态平衡问题的解决办法
所谓动态平衡是指通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变化,而在这个过程中物体始终处
于一系列的平衡状态.解决动态平衡问题常用以下几种方法:
1、矢量三角形法：抓住各力中的变化量与不变化量,然后移到矢量三角形中,从三角形中就可以很直
观地得到解答.
2、相似三角形法：将物体受的各力移到矢量三角形中,由矢量三角形与已知三角形相似,利用几何关
系进行求解.
典例6、如图甲所示,物体m 在3 根细绳悬吊下处于平衡状态,现用手持绳OB 的B 端,使OB 缓慢向上转
动,且始终保持结点O 的位置不动,分析OA,OB 两绳中的拉力如何变化?
答案：OA 绳中拉力变小，OB 绳中拉力先变小后变大
解：物体始终处于平衡状态,对O 点而言,受3 个力作用,即OC 对O 点的拉力F 不变,OA 对O 点的拉力
F1的方向不变,由平衡条件的推论可知F1与OB 对O 点的拉力F2的合力F′的大小和方向不变.现假设
OB 绳转到图乙中F′2位置,用平行四边形定则可以画出这种情况下的平行四边形,可以看到F′,F′2
末端的连线恰为F1的方向.由此可以看出，在OB 绕O 点转动的过程中，OA 中的拉力F1变小，而OB 中
的拉力F2先变小后变大.
典例7、光滑半球面上的小球被一通过定滑轮的力F 由底端缓慢拉到顶端的过程中,试分析绳的拉力F
及半球面对小球的支持力FN的变化情况(如图所示).
答案：F 减小，FN不变
解：如图所示,作出小球的受力示意图,注意弹力FN总与球面垂直,从图中可得到相似三角形.
设球体半径为R,定滑轮到球面的距离为h,绳长为L,根据三角形相似得:
由以上两式得：绳中张力F=mg
球面弹力FN=mg
由于拉动过程中h,R 均不变，L 变小，故F 减小，FN不变.
（三）平衡问题中的临界和极值问题
1、临界状态
一种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态.当某个物理量变化时，会引起其
他一个或几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，或某个
物理量“恰好”、“刚好”满足什么条件等.解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种
情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行分析、求解.
2、极值问题
平衡问题的极值，一般是指在力的变化过程中出现的最大值或最小值.
解决这类问题的常用方法是解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，利用数学知
识求极值，或根据物理临界条件求极值.另外，图解法也是一种常用的方法，此方法是画一系列力的
平行四边形，根据动态平行四边形的边角关系，可以确定某个力的最大值或最小值.
典例8、如图所示，倾角为30°的斜面上有物体A，重10 N，它与斜面间最大静摩擦力为3.46 N，
为了使A 能静止在斜面上，物体B 的重力应在什么范围内（不考虑绳重及绳与滑轮间的摩擦
力）?
答案：1.54 N≤GB≤8.46 N 解：由于物体B 重力不同，A 沿斜面滑动趋势不同，则受到的摩擦力方
向不同，受力情况不同. 假设A 上滑，据A 的受力情况，B 的重力GB应满足GB>GAsin30°+Ff=8.46
N,为了使A 不上滑，应有GB≤8.46 N.
假设A 下滑，根据此时A 的受力情况.B 的重力应满足GB+Ff<GAsin30°，则GB<1.54 N,为了使A 不下
滑，应有GB≥1.54 N.
欲使物体A 不上滑也不下滑，则B 的重力应满足1.54 N≤GB≤8.46 N.
课 堂 练 习
1、把重20 N 的物体放在θ=30°的粗糙斜面上并静止，物体的右端与固定于斜面上的轻弹簧相连接，
如图所示，若物体与斜面间最大静摩擦力为12 N，则弹簧的弹力不可能是( )
A.22 N，方向沿斜面向下 B.2 N，方向沿斜面向下
C.2 N，方向沿斜面向上 D.零
答案：A 解：当物体与斜面间最大静摩擦力方向沿斜面向上且大小为12 N 时，
由平衡条件可知，弹簧的弹力方向沿斜面向下，大小为F1=Fμ-Gsinθ=2 N.当物体与斜面间最大静摩
擦力方向沿斜面向下且大小为12 N 时，由平衡条件可知，弹簧的弹力的方向沿斜面向上，大小为
F2=Fμ+Gsinθ=22 N，故选项B、C、D 正确.
2、如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的.
一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1 和m2 的小球，当它们处于平衡状态时，质量为
m1 的小球与O 点连线与水平线的夹角为α=60°.两小球的质量比m2m1 为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A 解：方法一：设绳对球的拉力大小为FT,对m2 由平衡条件可得
FT=m2g
m1受重力m1g,绳的拉力FT,碗面的支持力FN，由几何知识可知，FT,FN与水平线的夹角均为60°,如图
所示，由平衡条件可得
FNcos60°=FTcos60° FNsin60°+FTsin60°=m1g 以上各式联立解得
=33
方法二：设绳对球的拉力大小为FT,对m2由平衡条件可得FT=m2g
m1受重力m1g,绳的拉力FT,碗面的支持力FN,由几何知识可知,FT,FN与水平线的夹角均为60°，如
图所示，由对称性得FT=FN.
根据平衡条件可知FT与FN的合力F 与m1g 等大反向，则
F=2FTsin60°=m1g
以上各式联立解得
.
3、如图所示，质量为m 的物体在沿斜面向上的拉力F 作用下，沿放在水平地面上的质量为M 的粗糙
斜面匀速上滑,此过程中斜面体保持静止，则地面对斜面( )
A.无摩擦力 B.有水平向右的摩擦力，大小为F5cosθ
C.支持力等于（m+M）g D.支持力为(M+m)g-Fsinθ
答案：D 解：对小物块与楔形物块系统，分解恒力F，由受力平衡，在竖直方向（M+m）
g=FN+Fsinθ，即FN=(M+m)g-Fsinθ，故选项D 正确；摩擦力Fμ=Fcosθ，方向向左，选项B 错.
4、如图所示，木板B 放在水平地面上，在木板B 上放一重1200 N 的A 物体，物体A 与木板B 间、木
板与地面间的动摩擦因数均为0.2，木板B 重力不计，当水平拉力F 将木板B 匀速拉出，绳与水平
方向成30°时，问绳的拉力T 为多大？水平拉力为多大？
答案：248 N 430 N 解：对A 受力分析如图所示，由平衡条件得：f=Tcos30°
Tsin30°+
=G 又f=μ
解得T=248 N,f=215 N,
=1075 N
对物体B 受力分析如图. 由于匀速拉出，处于平衡状态，根据平衡条件得
F=f′+f 地=f+μ
联立解得F=430 N.
5、一种简易“千斤顶”，如图所示，一竖直放置的T 形轻杆由于光滑限制套管P 的作用只能使之在
竖直方向上运动，若轻杆上端放一质量M=100 kg 的物体，轻杆的下端通过一与杆固定连接的小轮
放在倾角θ=37°的斜面体上，并将斜面体放在光滑水平面上，现沿水平方向对斜面体施以推力
F，为了能将重物顶起，F 最小为多大？（小轮与斜面体的摩擦和质量不计，g 取10 m/s2）
答案：750 N 解：设斜面体的质量为m，
对物体、斜面体整体，由受力平衡得，地面对斜面体的支持力FN=Mg+mg 对斜
面体受力如图.
分解轻杆对斜面体的压力，由受力平衡得：FN=mg+F1cosθ F=F1sinθ
由以上三式解得F=Mgtanθ=100×10×
N=750 N.
课 后 练 习
1、用轻弹簧竖直悬挂质量为m 的物体，静止时弹簧伸长量为L.现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为2m
的物体，系统静止时弹簧伸长量也为L.斜面倾角为30°，如图所示.则物体所受摩擦力( )
A.等于零 B.大小为
mg，方向沿斜面向下
C.大小为
mg，方向沿斜面向上 D.大小为mg，方向沿斜面向上
答案:A 解:设弹簧的劲度系数为k，竖直悬挂时kL=mg ①;将物体放在斜面上时，设摩擦力为f，根
据物体的平衡条件：kL+f=2mgsin30°=mg②.由①②两式得：f=0.
2、（多选）如图所示，用两根细线把A、B 两小球悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接
A、B 两小球，然后用某个力F 作用在小球A 上，使三根细线均处于直线状态，且OB 细线恰好沿竖
直方向，两小球均处于静止状态.则该力可能为图中的( )
A.F1 B.F2 C.F3 D.F4
答案:BC 解:A 小球受三个力作用，重力G、绳 子OA 向上的拉力T 和拉力F，绳子AB 中没有拉力，
只有G、T、F 三力平衡，由平衡条件，水平方向和竖直方向的合力都平衡，F4只有水平向左的分量，
不能平衡T 的水平向左的分量，D 不正确.F1竖直分量总比T 的竖直分量小，所以，F1 水平向右的分
量总比T 的水平分量小，不能平衡，A 不正确，BC 正确.
3、如图，质量为M 的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ.斜面上有一质量为m 的小物
块，小物块与斜面之间存在摩擦.用恒力F 沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑.在小物块运动的过
程中，楔形物块始终保持静止.地面对楔形物块的支持力为( )
A.（M+m)g B.(M+m)g-F C.(M+m)g+Fsinθ D.(M+m)g-Fsinθ
答案:D 解:由于小物体匀速上滑，楔形物块保持静止，因此楔形物块和
小物块组成的系统处于平衡状态，系统所受的合力为零，竖直方向的合力为零，设地面对楔形物块
的支持力为 N，则有， N+Fsinθ=Mg+mg, N=Mg+mg-Fsinθ,D 选项正确.
4、如图，一固定斜面上两个质量相同的小物块A 和B 紧挨着匀速下滑，A 与B 的接触面光滑.已知A
与斜面之间的动摩擦因数是B 与斜面之间动摩擦因数的2 倍，斜面倾角为α.B 与斜面之间的动摩
擦因数是( ) A.
tanα B.
cotα C.tanα D.cotα
答案:A 解:设B 与斜面之间的动摩擦因数为μ，A 和B 质量均为m，A 和B 紧挨着在斜面上匀速下
滑过程中，A 和B 组成的系统处于平衡态，即有：3μmgcosα=2mgsinα，所以μ=
tanα,故选项A
正确.有的考生认为A 和B 匀速下滑则它们之间就没有相互作用力，对A 或者B 进行受力分析，列方
程：μmgcosα=mgsinα ，就误选了选项C ；也有考生在分解重力时出错，列方程：
μmgsinα=mgcosα 或者3μmgsinα=2mgcosα，就误选了B、D 选项.
5、在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A 与竖直墙之间放一光滑圆球B，
整个装置处于静止状态.现对B 加一竖直向下的力F，F 的作用线通过球心，设墙对B 的作用力为
F1，B 对A 的作用力为F2，地面对A 的作用力为F3.若F 缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如
图所示，在此过程中( )
A.F1保持不变，F3缓慢增大 B.F1缓慢增大，F3保持不变
C.F2缓慢增大，F3缓慢增大 D.F2缓慢增大，F3保持不变
答案:C 解:把A、B 看成一个整体，在竖直方向地面对A 的作用力F3与F 大小相
等方向相反，因为F 缓慢增大，所以F3也缓慢增大，因此可以排除B、D 选项，
再以B 物体为研究对象，受力图如图所示，由图可知，当F 缓慢增大时，F1、F2
都将增大，所以C 选项正确.
6、如图所示，质量为m 的木块A 放在斜面体B 上，若A 和B 沿水平方向以相同的速度v0一起向左做
匀速直线运动，则A 和B 之间的相互作用力大小为( )
A.mg B.mgsinθ C.mgcosθ D.0
答案:A 解:对A 物体受力分析如图所示.因为A 做匀速直线运动，所以处于平衡状态.因此Fm和F′
的合力为mg，选A.
7、（多选）竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B 带有同种电荷，用指向墙面的水平推力F
作用于小球B，两球分别静止在竖直墙面和水平地面上，如图所示.若将小球B 向左推动少许，当
两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较( )
A.推力F 变大 B.竖直墙面对小球A 的弹力变大[来源:Z#xx#k.Com]
C.地面对小球B 的支持力不变 D.两个小球之间的距离变大
答案:CD 解:受力分析如图，对A 球：F 斥cosθ=mAg，由于B 球向左运动，
θ 减小，cosθ 增大，故F 斥减小，由F 斥=kq1q2/r2可知，两球间的距离r
增大，故D 项正确.对B 球：F=F 斥sinθ，因F 斥减小，θ 减小，故F 减小，
故A 项错.对A、B 构成的整体：水平方向F=F N2，可见竖直墙壁对小球A 的
弹力变小，故B 项错.竖直方向FN1=mAg+mBg，可见地面对小球B 的弹力FN1不
变，故C 项正确，故选C、D.
8、以下四种情况中，物体受力平衡的是( )
A.水平弹簧振子通过平衡位置时 B.单摆摆球通过平衡位置时
C.竖直上抛的物体在最高点时 D.做匀速圆周运动的物体
答案:A 解:水平弹簧振子通过平衡位置时F 合=0，故A 对；单摆做圆周运动，摆球通过平衡位置时
仍需向心力，故B 错；竖直上抛的物体在最高点时，受重力，故C 错；做匀速圆周运动的物体需向心
力，F 合≠0,故D 错.本题主要考查受力平衡的条件或特点.
9、滑板运动是一项非常刺激的水上运动.研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力FN垂直
于板面，大小为kv2,其中v 为滑板速率（水可视为静止）.某次运动中，在水平牵引力作用下，当
滑板和水面的夹角θ=37°时，滑板做匀速直线运动，相应的k=54 kg/m，人和滑板的总质量为
108 kg，试求（重力加速度g 取10 m/s2,sin37°取
，忽略空气阻力）：
（1）水平牵引力的大小；（2）滑板的速率.
答案：（1）810 N（2）5 m/s 解析:（1）以滑板和运动员为研究对象，其受力如图所示.
由共点力平衡条件可得 FNcosθ=mg ① FNsinθ=F ② 由①、②联立，得F=810 N
（2）FN=mg/cosθFN=kv2得v=
=5 m/s
10、一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A 和B（小球中央有孔），A 与B 间由细绳连
接着，它们处于如图所示位置时恰好都能保持静止状态，此情况下，B 球与环中心O 处于同一水
平面上，A、B 间的细绳呈伸直状态，与水平成30°夹角，已知B 球的质量为m，求细绳对B 球的
拉力和A 球的质量.
答案：2 mg 2 m
解析:对B 球受力分析如图所示. Tsin30°=mg ① 故T=2mg
对A 球，受力分析如图所示，在水平方向：Tcos30°= NAsin30°②
在竖直方向：NAcos30°=mAg+Tsin30°③ 由以上方程解得：mA=2m ④
11、如图所示，物体重30 N，用OC 绳悬挂在O 点，OC 绳能承受的最大拉力为20
N，再用一绳系
在OC 绳上A 点，BA 绳能承受的最大拉力为30 N，现用水平力拉BA 可以把OA 绳拉到与竖直方向
成多大角度？
解:初步判断知：OA 绳为斜边，受力最大，故使FOA=203 N，达到最大，
∴FAC＜FOA不断，FAB=FOA·sinα 且FAC=mg=30 N ∴
∴α＝３０°
∴FAB=20
×
=10
=17.32 N＜30 N 也未断，
故当α≤30°时，绳子都未断.当α 超过30°，绳断，也就无法拉动了.
12、在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原因如图所示.仪器中有一根轻质金属丝，
悬挂着一个金属球m.无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖
直方向一个角度.风力越大，偏角越大，通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力.那么，
风力大小F 跟小球质量m、偏角θ 之间有什么样的关系呢？
解:以小球为研究对象，有风时，它受到三个力作用：重力mg，竖直向下；风力F，水平向左；金属
丝拉力FT，沿金属丝倾斜向上.如图所示，当风力一定时，小球能保持在一定的偏角θ 的位置上处于
静止，由平衡条件可知：mg、F、FT三个力的合力为零，即上述三力中任意两个力的合力都与第三个
力大小相等、方向相反.根据平行四边形定则将任意两力合成，由几何关系进行求解.
将金属丝拉力FT与小球重力mg 合成，由平衡条件可知，其合力方向必定与风力F 的方向相反，
且大小相等.如图所示，由几何关系可知：F=F′=mgtanθ[来源:学科网ZXXK]
由所得结果可见，当小球质量m 一定时，风力F 只跟偏角θ 有关.因此，根据偏角θ 的大小就可
以指示出风力的大小.
提 高 练 习
1、如图所示，小圆环A 吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细绳一端
拴在小圆环A 上，另一端跨过固定在大圆环最高点B 的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块.如
果小圆环A、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长，平衡
时弦AB 所对的圆心角为α，则两物块的质量之比m1∶m2应为( )
A.cos B.sin C.2sin
D.2cos
答案：C 解：对小圆环A 受力分析，如图所示，FT2与FN的合力与FT1平衡，由矢量三角形与几何三
角形相似，可知＝，其中FT2＝m2g，F＝FT1＝m1g，联立解得＝2sin ，C 正确.
2、(多选)如图所示，滑块A 与小球B 用同一根不可伸长的轻绳相连，且滑块A 套在水平杆上.现用大
小为10 N、与水平方向成30°角的力F 拉B，使A、B 一起向右匀速运动，运动过程中保持相对静
止.已知A、B 的质量分别为2 kg、1 kg，取g＝10 m/s2，则( )
A.轻绳与水平方向的夹角θ＝60° B.轻绳与水平方向的夹角θ＝30°
C.滑块A 与水平直杆之间的动摩擦因数为 D.滑块A 与水平直杆之间的动摩擦因数为
答案：BD 解：对B 受力分析，B 受重力、拉力F 及绳子的拉力而处于平衡状态；将两拉力合成，
因拉力为10 N，小球的重力为10 N，则由几何关系可知，轻绳的拉力也为10 N，方向与水平方向成
30°角，故B 正确，A 错误；对A、B 整体受力分析可知，A 受到的支持力FN＝(mA＋mB)g－Fsin 30°
＝25 N，摩擦力等于F 沿水平方向的分力Ff＝Fcos 30°＝5 N，由Ff＝μFN′，FN′＝FN，解得μ＝
＝，故D 正确，C 错误.
3、(多选)如图所示，质量为M、半径为R 的半球形物体A 放在水平地面上，通过最高点处大小不计
的钉子用水平细线拉住一质量为m、半径为r 的光滑球B.重力加速度为g，则( )
A.A 对地面的压力等于(M＋m)g B.A 对地面的摩擦力方向向左
C.B 对A 的压力大小为mg D.细线对小球的拉力大小为mg
答案：AC 解：对A、B 整体受力分析，受重力和支持力，相对地面无相对滑动趋势，故不受摩擦力.
根据平衡条件知，支持力等于整体的重力.根据牛顿第三定律知，整体对地面的压力与地面对整体的
支持力大小相等，故A 对地面的压力等于(M＋m)g，故A 正确，B 错误；对小球受力分析，如图所示，
根据平衡条件得：F＝，FT＝mgtan θ，其中cos θ＝，tan θ＝，故F＝mg，FT＝mg，故C 正确，D
错误.
4、如图所示，三个重均为100 N 的物块，叠放在水平桌面上，各接触面水平，水平拉力F＝20 N 作
用在物块2 上，三条轻质绳结于O 点，与物块3 连接的绳水平，与天花板连接的绳与水平方向成
45°
角，竖直绳悬挂重为20 N 的小球P.整个装置处于静止状态.则( )
A.物块1 和2 之间的摩擦力大小为20 N B.水平绳的拉力大小为20 N
C.桌面对物块3 的支持力大小为320 N D.物块3 受4 个力的作用
答案：B 解：对物块1 受力分析，受重力和支持力，假如受水平方向的摩擦力，则不能保持平衡，
故物块1 和物块2 间的摩擦力为零，A 错误；对O 点受力分析，受到三根绳子的拉力，如图，根据平
衡条件有，x 方向：FT2cos 45°＝FT1，y 方向：FT2sin 45°＝GP，解得FT1＝GP＝20 N，所以水平绳中
的拉力大小为20 N，B 正确；对物块1、2、3 整体受力分析，受重力、支持力、向左的拉力、绳子a
的拉力，竖直方向：FN＝3G＝300 N，故C 错误；对物块1 和物块2 整体研究，受重力、支持力、向
左的拉力F 和向右的静摩擦力Ff23，根据平衡条件得：Ff23＝F＝20 N；1、2 间摩擦力为零，2、3 间摩
擦力为20 N，则3 与桌面间摩擦力为零，故3 受重力、支持力、压力、2 对3 的摩擦力、绳子拉力，
共5 个力作用，D 错误.
5、有一块长方体木板被锯成如图所示的A、B 两块放在水平桌面上，A、B 紧靠在一起，木板A 的角
度
如图所示.现用水平方向的力F 垂直作用于板的左边推木板B，使两块板A、B 保持原来的形状整体
沿力F 的方向匀速运动，则( )
A.木板A 在水平面内受两个力的作用，合力为零 B.木板A 只受一个摩擦力
C.木板B 对A 的弹力小于桌面对木板A 的摩擦力 D.木板B 在水平面内受三个力的作用
答案：C 解：如图所示，木板A 在水平面内受B 对A 的弹力FN、桌面对A 的滑动摩擦力Ff1、B 对A
的静摩擦力Ff2，木板A 在三个力的作用下处于平衡状态，A、B 错误；由图可知，Ff1·cos 30°＝
FN，因此木板B 对A 的弹力小于桌面对木板A 的摩擦力，C 正确；木板B 在水平面内受到推力F、桌面
对它的摩擦力、A 对它的弹力和A 对它的静摩擦力共四个力的作用，D 错误.
6、如图所示，光滑直角三角形支架ABC 竖直固定在水平地面上，B、C 两点均在地面上，AB 与BC 间
的夹角为θ，分别套在AB、AC 上的小球a 和b 用轻绳连接，系统处于静止状态，轻绳与CA 间的
夹角为α，则小球a、b 的质量之比为( )
A. B. C. D.
答案：A 解：对a、b 两球分别进行受力分析，如图所示.对a 由平衡条件得：magsin θ＝FTsin
α，可得FT＝；对b 由平衡条件得：mbgcos θ＝FTcos α，可得FT＝；同一根绳的张力处处相同，
联立可得＝，有＝＝，选项A 正确.
7、叠放在水平地面上的四个完全相同的排球如图所示，质量均为m，相互接触，球与地面间的动摩
擦因数均为μ，则( )
A.上方球与下方三个球间均没有弹力 B.下方三个球与水平地面间均没有摩擦力
C.水平地面对下方三个球的支持力均为mg D.水平地面对下方三个球的摩擦力均为μmg
答案：C 解：将四个球看成一个整体，地面的支持力与球的重力平衡，设下方三个球中的一个球受
到的支持力大小为FN，因此3FN＝4mg，即FN＝mg，所以选项C 正确；由力的平衡条件知，下面三个球
对最上面的球有弹力，故最上面的球对下面三个球肯定有弹力，选项A 错误；对地面上的其中一个球
进行受力分析，如图所示，可知下方的球受到水平地面的摩擦力，选项B 错误；由于下方的球受到的
地面的摩擦力是静摩擦力，因此不能通过Ff＝μFN求解此摩擦力，选项D 错误.
8、(多选)如图所示，倾角为α 的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a 放在斜劈的斜面上，轻质细线
一端固定在物体a 上，另一端绕过光滑的定滑轮1 固定在c 点，滑轮2 下悬挂物体b，系统处于静
止状态.若将固定点c 向右移动少许，而物体a 与斜劈始终静止，则( )
A.细线对物体a 的拉力增大 B.斜劈对地面的压力减小
C.斜劈对物体a 的摩擦力减小 D.地面对斜劈的摩擦力增大
答案：AD 解：对滑轮2 和物体b 受力分析，受重力和两个拉力作用，如图甲所示.根据平衡条件
有mbg＝2FTcos θ，解得FT＝，若将固定点c 向右移动少许，则θ 增大，拉力FT增大，A 项正确；对
斜劈、物体a、物体b 整体受力分析，受重力、细线的拉力、地面的静摩擦力和支持力作用，如图乙
所示，根据平衡条件有FN＝G 总－FTcos θ＝G 总－，恒定不变，根据牛顿第三定律可知，斜劈对地面
的压力不变，B 项错误；地面对斜劈的静摩擦力Ff＝FTsin θ＝tan θ，随着θ 的增大，摩擦力增大，
D 项正确；对物体a 受力分析，受重力、支持力、拉力和静摩擦力作用，由于不知道拉力与重力沿斜
面向下的分力的大小关系，故无法判断斜劈对物体a 的静摩擦力的方向，即不能判断静摩擦力的变化
情况，C 项错误.
9、(多选)如图所示装置，两根细绳拴住一小球，保持两细绳间的夹角θ＝120°不变，若把整个装
置 顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA 绳的拉力F1、CB 绳的拉力F2的大小变化情况是(
)
A.F1先变小后变大
B.F1先变大后变小 C.F2一直变小
D.F2最终变为零
答案：BCD 解：如图所示，画出小球的受力分析图，构建力的矢量三角形，由于这个三角形中重
力不变，另两个力间的夹角(180°－θ)保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，作初始三角
形的外接圆(任意两边的中垂线交点即外接圆圆心)，然后让另两个力的交点在圆周上按F1、F2的方向
变化规律滑动，力的矢量三角形的外接圆正好是以初态时的F2为直径的圆周，知F1先变大后变小，
F2一直变小，最终CA 沿竖直方向，此时F1＝mg，F2变为零，故选B、C、D.
10、倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G 的物体A，物体A 与斜面间的动摩
擦因数μ＝0.5.现给A 施加一水平力F，如图所示.设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A 能在斜面上静止，水平推力F 与G 的比值不可能是( )
A.3 B.2 C.1 D.0.5
答案：A 解：设物体刚好不下滑时F＝F1，则F1cos θ＋μFN＝Gsin θ，FN＝F1sin θ＋Gcos θ，
得＝＝；设物体刚好不上滑时F＝F2，则F2cos θ＝μFN＋Gsin θ，FN＝F2sin θ＋Gcos θ，得＝＝
2，即≤≤2，故F 与G 的比值不可能为3，故选A.
11、（多选）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N 上的a、b 两点，悬挂衣
服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下
列说法正确的是( )
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变 B．将杆N 向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小 D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
答案：AB 解：设两段绳子间的夹角为2α，由平衡条件可知，2Fcos α＝mg，所以F＝，设绳子总
长为L，两杆间距离为s，由几何关系L1sin α＋L2sin α＝s，得sin α＝＝，绳子右端上移，L、s
都不变，α 不变，绳子张力F 也不变，A 正确；杆N 向右移动一些，s 变大，α 变大，cos α 变小，
F 变大，B 正确；绳子两端高度差变化，不影响s 和L，所以F 不变，C 错误；衣服质量增加，绳子上
的拉力增加，由于α 不会变化，悬挂点不会右移，D 错误。
