第四部分 曲线运动和万有引力 第四节 万有引力定律及应用
知识点一 万有引力定律
1、内容: 自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比,与
它们距离的二次方成反比.
2、公式：
式中r 表示两质点间的距离,m1、m2表示两质点的质量,G 表示引力常量,
G=6.67×10-11N·m2/kg2
3、适用条件
（1）公式适用于计算两质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时也适用。
（2）求解质量分布均匀且有一定间距的球体间的相互作用，也可以用此公式，此时r 为两球心间的
距离。
（3）当物体不能看成质点，且不是质量分布均匀的球体时，可以把物体看成是由无数个质点构成，
分别求出各质点与另一物体所有质点的万有引力，然后矢量合成，即得两物体间的万有引力。
4、特性（1）普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量
的物体之间都存在着这种相互吸引的力。
（2）相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方
向相反，作用在两个物体上。
（3）宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大
的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用。
（4）特殊性：两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空
间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关。
典例1、潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b 和c
处单位质量的海水受月球引力大小在（ ）
A．a 处最大
B．b 处最大
C．c 处最大
D．a、c 处相等，b 处最小
随堂练习：1、从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。
已知火星质量约为月球的9 倍，半径约为月球的2 倍，“祝融”火星车的质量约为“玉
兔”月球车的2 倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬
停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（ ）
A．9∶1
B．9∶2 C．36∶1
D．72∶1
2、有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m 的列车不需要引擎，从入口的A 点由静止
开始穿过隧道到达另一端的B 点，O'为隧道的中点，O'与地心O 的距离为
，如图所示。
假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。
已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P 点到O'的距离为x，求：
(1)列车在P 点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg 的比值；
(2)列车在P 点沿隧道AB 方向的加速度大小；
(3)列车在运动中的最大速度的大小。
知识点二 三个宇宙速度
1、第一宇宙速度:要想发射人造卫星,必须具有足够的速度,发射人造卫星最小的发射速度称为第一
宇宙速度,v=7.9 km/s.但却是绕地球做匀速圆周运动的各种卫星中的最大环绕速度.
2、第二宇宙速度:当人造卫星进入地面附近的轨道速度大于7.9 km/s 时,它绕地球运行的轨迹就不再
是圆形,而是椭圆形.当卫星的速度等于或大于11.2 km/s 时,卫星就会脱离地球的引
力不再绕地球运行,成为绕太阳运行的人造行星或飞到其他行星上去,我们把11.2
km/s 称为第二宇宙速度,也称脱离速度.
3、第三宇宙速度:当物体的速度等于或大于16.7 km/s 时,物体将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以
外的宇宙空间中去,我们把16.7 km/s 称为第三宇宙速度,也称逃逸速度.
4、运行速度、发射速度和宇宙速度的比较
运行速度：是卫星在轨道上绕地球运行时的速度，根据
，轨道半径越大，运行速度越小。
发射速度：是将卫星发射到预定轨道所需要的速度，发射速度越大，卫星能到达的轨道越高。第一
宇宙速度是最小发射速度。
宇宙速度：即上述的第一、二、三宇宙速度，分别对应不同的发射和运行状态。发射速度小于第一
宇宙速度，卫星无法绕地球运行；在第一和第二宇宙速度之间，卫星绕地球运行；在第二
和第三宇宙速度之间，卫星绕太阳运行；大于第三宇宙速度，卫星飞出太阳系。
知识拓展：处理有关三个宇宙速度的相关问题的注意点
（1）发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的速度,要发射一颗仅依靠自身的初速度克
服地球引力进入运行轨道的人造地球卫星,发射速度不能小于第一宇宙速度。因此,第一宇宙速度
又是最小的发射速度。卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。贴近地球表面的卫星(近地卫星)
的发射速度最小,其运行速度即第一宇宙速度。近地卫星可认为v 发=v 运,其他轨道较高的卫星则有
v 发＞v 运。
（2）当11.2 km/s≤v<16.7 km/s 时,卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”;当
v>16.7km/s 时,卫星挣脱太阳的引力束缚,逃逸到太阳系以外的宇宙空间。
典例2、（多选）地球的第一宇宙速度为7.9km/s，第二宇宙速度为11.2km/s，第三宇宙速度为
16.7km/s，关于宇宙速度下列说法正确的是（ ）
A．地球的第一宇宙速度是能使人造地球卫星飞行的最小发射速度
B．火星的第一宇宙速度是火星卫星在火星附近做匀速圆周运动的速度
C．第二宇宙速度是卫星在椭圆轨道上运动时的最大速度
D．要使飞行器克服地球引力，永远离开地球，必须以16.7km/s 的速度发射飞行器
随堂练习：我国将要发射一颗绕月球运行的探月卫星“嫦娥一号”.设该卫星的轨道是圆形的，且贴
近月球表面.已知月球的质量约为地球质量的
，月球的半径约为地球半径的
，地球
上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速度约为( )
A.0.4 km/s B.1.8 km/s C.11 km/s D.36 km/s
知识点三 近地卫星和同步卫星
1、近地卫星： 是指卫星的运行轨道半径等于地球的半径,卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力
提供.它的运行速度为第一宇宙速度,也是卫星的最大环绕速度.
2、地球同步卫星的六个一定
（1）位置一定(必须位于地球赤道的上空)
地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定,与地球的赤道面重合.
如图所示,假设同步卫星的轨道平面与赤道平面不重合,同步卫星由于受到地球指向地心的万有引
力F 的作用,绕地轴做圆周运动,F 的一个分力F1提供向心力,而另一个分力F2将使同步卫星不断地移
向赤道面,最终直至与赤道面重合为止(此时万有引力F 全部提供向心力),不可能定点在我国某地的正
上方.
（2）周期(T)一定
①同步卫星的运行方向与地球自转方向一致.
②同步卫星的运转周期与地球自转周期相同,T=24 h.
（3）角速度(ω)一定
由公式
得，地球同步卫星的角速度
,因为T 恒定，π 为常数，故ω 也一定.
（4）向心加速度(a)大小一定
地球同步卫星的向心加速度为a,则由牛顿第二定律和万有引力定律得
（5）距离地球表面的高度(h)一定
由于万有引力提供向心力，则在ω 一定的条件下，同步卫星的高度不具有任意性,
而是唯一确定的.根据
（6 ）环绕速率一定：在轨道半径一定的条件下, 同步卫星的环绕速率也一定, 且为：
知识拓展：飞船的变轨模型分析
（1）图示
（2）轨道：轨道I（圆）、轨道Ⅱ（椭圆），近地点A，远地点B、轨道Ⅲ（圆）。
（3）变轨起因： ①在A 点速度变大，由轨道I 变为轨道Ⅱ;在A 点速度变小，由轨道Ⅱ变为轨道I。
②在B 点速度变大，由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ;在B 点速度变小，由轨道Ⅲ变为轨道Ⅱ。
（4）速度：在A 点加速,vA Ⅱ＞vA Ⅰ;从A 到B,速度一直减小;在B 点再加速,vB Ⅲ＞vB Ⅱ;飞船在圆形轨道
Ⅰ上的速度大于在圆形轨道Ⅲ上的速度vA Ⅰ＞vB Ⅲ,所以有vA Ⅱ＞vA Ⅰ＞vB Ⅱ＞vB Ⅲ
（5）加速度：根据
知,加速度大小与r 有关,可得aA Ⅰ＝aA Ⅱ＞aB Ⅱ＝aB Ⅲ。
（6）周期：根据开普勒第三定律知，
,可得T Ⅰ＜T Ⅱ ＜T Ⅲ。从A 到B 的时间
。
典例3、设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道．
该卫星与月球相比，一定相等的是（ ）
A．质量 B．向心力大小 C．向心加速度大小 D．受到地球的万有引力大小
随堂练习：1、北京时间2025 年1 月7 日，实践二十五号卫星顺利进入预定轨道。其在预定轨道上的
运动可视为绕地球的匀速圆周运动。已知该卫星距地面高度为h，地球半径为R，地球表面
的重力加速度为g。忽略地球自转，则该卫星运行周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
解题思路与方法
一、万有引力定律的应用
应用万有引力定律分析天体运动的基本方法：：在地球上，通常物体的质量都较小，所以通常物
体之间的万有引力很小，分析地球上物体的受力情况时，一般都不考虑物体之间的万有引力（重力
除外）.但天体的质量很大，所以天体之间的万有引力很大，实际上，正是天体之间的万有引力决定
了天体的运动规律.中学阶段我们处理天体问题，有两个基本出发点：
（1）把天体的运动看作是匀速圆周运动；
（2）万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力.然后，利用牛顿第二定律把这两点联系起来.所以
牛顿第二定律是分析天体运动的基本规律，即：
1、求天体质量通过观测卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T、半径r，
由牛顿运动定律得：
故天体的质量为：
注：这种方法只能求处在圆心上的天体质量.
2、测天体的密度： 设天体的质量为M，半径为R，则其体积为
，若天体的某颗卫星的
质量为m，其轨道半径为r，运行周期为T，由
得：
故天体的密度为：
当卫星的轨道半径r 与天体的半径相等时，即r=R 时，
随堂练习：某行星运行一昼夜时间T=6 h，若弹簧秤在其“赤道”上比“两极”处测同一物体重力
时，读数小10%.
（1）则该行星的密度为多大？
（2）设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，这时该行星的自
转周期是多少？
二、同步卫星问题
地球同步卫星，是相对于地面静止的、和地球自转同步的卫星，其周期T=24 h，同步卫星必须
位于赤道的正上方，距离地面高度是一定的，为h=3.6×104 km 处.
1、高度的求法：设地球质量为M，地球半径为R=6.4×106 m，卫星质量为m，
根据牛顿第二定律有：
又GM=R2g
以上两式联立解得：
同步卫星距地面的高度为： h=（4.2×107-6.4×106)m=3.56×107 m.
或根据：
将各已知量代入求出同步卫星的高度
h.
2、同步卫星与其他卫星的区别
所有卫星的轨道平面都通过地球球心.同步卫星的轨道半径、运行周期、运行速率都是确定的；
一般卫星的轨道半径、运行周期、运行速率是可以变化的，但运行速率的最大值不能超过7.9 km/s,
最小周期不能小于85 min.
随堂练习：地球同步卫星到地心的距离r 可由
求出，已知式中a 的单位是m，b 的单位是
s，c 的单位是m/s2，则（ ）
①a 是地球半径，b 是地球自转角速度，c 是地球表面处的重力加速度
②a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星的加速度
③a 是赤道周长，b 是地球自转周期，c 是同步卫星的加速度
④a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度
A.①② B.①③ C.④ D.③④
三、估算问题
1、 物理估算，一般是依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对分析物理量
的数值或取值范围进行大致的推算.
2、 物理估算是一种重要方法，有的物理问题，在符合精确度的前提下，可以用近似的方法简捷处
理；有的物理问题，由于本身条件的特殊性，不需要也不可能进行精确计算.在这种情况下，估
算就成为一种既符合科学又有实用价值的特殊方法.
3、 有一些天体方面的估算题，常需要利用一些隐含条件或生活中的物理常识，应有意识地加以利
用.如在地球表面的物体受到的万有引力近似等于重力；地球表面附近重力加速度g=9.8 m/
，
地球自转周期T=24 h，公转周期T′=365 天，月球绕地球公转周期约为30 天等.
随堂练习：已知地球的半径为R 0=6.4×106 m，又知月亮绕地球的运动可以近似看做匀速圆周运动，
则可以估算出月球到地心的距离为多少？（结果保留两位有效数字）
课 堂 练 习
1、我国嫦娥系列探月计划取得重大成功，使我国成为2000 年以后嫦娥姐姐最亲密的伙伴。太阳、地
球和月亮大致在同一个平面内运动，地球和月亮公转也都近似做匀速圆周运动。太阳对月球的引力
约为地月引力的两倍，如图当月亮恰好转到日地连线之间时，它所受合力指向太阳，此后一小段时
间内，嫦娥姐姐何去何从？下列最合理的一个选项是（ ）
A．靠近地球
B．远离地球
C．靠近太阳
D．远离太阳
2、紫金山-阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现，其绕太阳运行周期约为6 万年。该彗星轨道的半
长轴与日地平均距离的比值约为（ ）
A．
B．
C．
D．
3、质量相同的a、b 两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动。a 卫星是地球同步卫星，b 卫星绕地球的周
期约为3 小时。则b 卫星受地球的引力大小约是a 卫星受地球引力大小的几倍（ ）
A．1
B．8
C．16
D．27
4、鹊桥二号中继卫星于2024 年3 月20 日成功发射，为后续我国载人登月提供可靠保障。在地球上
观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为
，
地球绕太阳运动的周期为
，太阳半径是月球半径的k 倍，则地球与太阳的质量之比约为（ ）
A．
B．
C．
D．
5、与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行
星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为
R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（ ）
A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C．小行星甲与乙的运行周期之比
D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比
=
6、2024 年3 月20 日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高
度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为
51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则
鹊桥二号在捕获轨道运行时（ ）
A．周期约为144h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
课 后 练 习
1、战国时期的《甘石星经》最早记载了部分恒星位置和金、木、水、火、土五颗行星“出没”的规
律。现在我们知道（ ）
A．恒星都是静止不动的
B．行星绕太阳做圆周运动
C．行星绕太阳运行的速率不变
D．各行星绕太阳运行的周期不同
2、哈雷彗星每76.1 年环绕太阳一周，是人一生中唯一以裸眼可能看见两次的彗星。哈雷彗星的轨道
是一个很扁的椭圆，因英国物理学家爱德蒙·哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名。
用r 表示哈雷彗星轨道半长轴，用R 表示地球轨道半径，则以下关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3、2023 年8 月10 日，我国首颗以人工智能载荷为核心、具备智能操作系统的智能应急卫星“地卫
智能应急一号”在酒泉卫星发射中心成功发射并进入预定轨道，它标志着许多智能应用能够直接在
卫星上实现。在火箭搭载该卫星加速升空的过程中，某时刻卫星上压力传感器显示卫星对支撑平台
的压力示数为
，高度传感器显示此时卫星离地面的高度为h。已知卫星质量为m，地球表面的重
力加速度为g，地球的半径为R，忽略地球的自转影响，则此时火箭加速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
4、有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O 为
的地方有一质量为m 的质点。现
从球体中挖去半径为
的小球体，如图所示，万有引力常量为G，则剩余部分对m 的万有引力为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5、太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和
太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运
动的轨道半径如下表：
行星名称
地球
火
木星
土
天王星
海王星
星
星
轨道半径
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为（ ）
A．火星365 天 B．火星800 天 C．天王星365 天 D．天王星800 天
6、2024 年5 月，“嫦娥六号”月球探测器进入周期为12 h 的椭圆环月轨道，椭圆轨道的远月点离
月心的距离是近月点离月心的距离的5 倍，BD 为椭圆的短轴，已知引力常量为G，下列说法正确的是
（ ）
A．“嫦娥六号”在地球表面的发射速度大于第二宇宙速度
B．“嫦娥六号”在椭圆轨道上运行时，在A 点动能最大，机械能最小
C．“嫦娥六号”从A 点运动到B 点的时间大于3 小时
D．“嫦娥六号”在A 点和在C 点的速度大小之比为5：1
7、设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R，速率为v，则太阳的质量可用v1、R 和引力常量G 表示
为 .太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速
率的7 倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍.为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认
为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量，则
银河系中恒星数目约为.
8、天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在银河系中很
普遍.利用双星系统中两颗恒星的运动特征可计算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕
它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这
个双星系统的总质量.（引力常量为G）
提 高 练 习
1、如图所示，两颗卫星A、B 在同一个轨道平面内，沿顺时针方向绕地球做匀速圆周运动，近地卫星
A 的周期约为1.5h，卫星B 的轨道半径为卫星A 轨道半径的2 倍。由于地球的遮挡，A、B 两卫星在
运动过程中一定时间内不能直接进行信号传输，则A 和B 卫星从相距最近开始一直到刚好不能直接
进行信号传输经历的最短时间约为（ ）
A．0.4h
B．0.6h
C．1h
D．1.5h
2、如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P 绕恒星Q 做匀速圆周运动。由于P 的遮挡，探测器探测到
Q 的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P 的公转周期相同。已知Q 的质量为
，
引力常量为G。关于P 的公转，下列说法正确的是（ ）
A．周期为
B．半径为
C．角速度的大小为
D．加速度的大小为
3、在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O
点，另一端系一待测小球，使其绕O 做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉力为F，用停表测
得小球转过n 圈所用的时间为t，用刻度尺测得O 点到球心的距离为圆周运动的半径R。下列说法
正确的是（ ）
A．圆周运动轨道可处于任意平面内 B．小球的质量为
C．若误将
圈记作n 圈，则所得质量偏大 D．若测R 时未计入小球半径，则所得质量偏小
4、（多选）2024 年5 月3 日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相
较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将
月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨
道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的
。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是（ ）
A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的
倍
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的
倍
5、（多选）2024 年9 月19 日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭与远征一号上面级，
成功发射第五十九颗、六十颗北斗导航卫星，两卫星轨道均为圆轨道且低于同步轨道。如图所示，
卫星A 是第五十九颗北斗导航卫星，卫星B 是第六十颗北斗导航卫星，卫星P 是地球赤道上还未发
射的卫星，已知三颗卫星的质量相等，下列说法正确的是（ ）
A．卫星A 运动得最快
B．卫星B 的加速度最小
C．卫星B、P 的角速度相等
D．卫星P 受到地球的引力最大
6、(1)牛顿发现万有引力定律之后，在卡文迪许生活的年代，地球的半径经过测量和计算已经知道
约6400 千米，很快通过计算得出了地球的质量。1798 年，他首次测出了地球的质量数值，地球
表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。
a.求地球的质量；
b.若一卫星在距地球表面高为h 的轨道上绕地球做匀速圆周运动，求该卫星绕地球做圆周运动的周期；
(2)牛顿时代已知如下数据：月球绕地球运行的周期T、地球半径R、月球与地球间的距离60R、地球
表面的重力加速度g。牛顿在研究引力的过程中，为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球的力是
同一性质的力，同样遵从与距离的平方成反比规律的猜想；接着他设想，把一个物体放到月球轨道
上，假定物体在地面受到的重力和在月球轨道上运行时受到的引力，都是来自地球的引力，他又从
动力学的角度计算出了物体在月球轨道上的向心加速度。上述两个加速度的计算结果是一致的，从
而证明了物体在地面上所受的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力
a.请你分别从运动学的角度和动力学的角度推导出上述两个加速度的表达式；
b.已知月球绕地球做圆周运动的周期约为T＝2.4×106s，地球半径约为R＝6.4×106m，取π2＝g。
结合题中的已知条件，求上述两个加速度的比值，并得出合理的结论。
