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专题05 曲线运动 运动的合成与分解
题型一 曲线运动的条件与特征.............................................................................................................1
类型1 基本概念的辨析与理解......................................................................................................2
类型2 曲线运动的动力学解释......................................................................................................5
题型二 运动的合成与分解.....................................................................................................................8
类型1 合运动与分运动的关系......................................................................................................9
类型2 两互成角度运动合运动性质的判断................................................................................13
题型三 小船渡河问题...........................................................................................................................16
题型四 绳（杆）关联速度分解...........................................................................................................20
类型1 绳端关联速度的分解问题................................................................................................21
类型2 杆端关联速度的分解问题................................................................................................25
题型一 曲线运动的条件与特征
1．曲线运动
(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与
速度方向不在同一条直线上．
2．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指
向轨迹的“凹”侧．
3．速率变化情况判断
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
类型1 基本概念的辨析与理解
1.
书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a
点经b 点回到a 点，则（ ）
A．该过程位移为0
B．该过程路程为0
C．两次过a 点时速度方向相同
D．两次过a 点时摩擦力方向相同
【答案】A
【详解】A．笔尖由a 点经b 点回到a 点过程，初位置和末位置相同，位移为零，故A 正确；
B．笔尖由a 点经b 点回到a 点过程，轨迹长度不为零，则路程不为零，故B 错误；
C．两次过a 点时轨迹的切线方向不同，则速度方向不同，故C 错误；
D．摩擦力方向与笔尖的速度方向相反，则两次过a 点时摩擦力方向不同，故D 错误。
故选A 。
2.
如图所示，甲图是从高空拍摄的北京冬奥会钢架雪车赛道的实景图，乙图是其示意图。
比赛时，运动员从起点沿赛道快速向终点滑去，先后经过A、P、B、C、D 五点。运动员速度
方向与经过P 点的速度方向最接近的是（ ）
A．A 点
B．B 点
C．C 点
D．D 点
【答案】A
【详解】根据曲线运动某点的速度方向沿着该点的切线方向，由图中可知运动员速度方向与经过P
点的速度方向最接近的是A点，A 正确，BCD 错误；
故选A。
3.
2020 年9 月10 日，我国选手徐一璠首进美网决赛，成为美网历史上第一位打进女双
决赛的中国大陆选手。由网球运动员在边界处正上方水平向右击出的网球在空中的运动轨迹如
图所示，O、P、Q为轨迹上的三点，OP、PQ为两点连线，MN为曲线在P点的切线，网球
在运动过程中可视为质点，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是（ ）
A．网球做变加速运动，在P点的速度方向沿OP方向
B．网球做变加速运动，在P点的速度方向沿PN方向
C．网球做匀变速运动，在P点的速度方向沿PN方向
D．网球做匀变速运动，在P点的速度方向沿PQ方向
【答案】C
【详解】网球在空中运动时只受重力作用，根据牛顿第二定律可知网球的加速度为重力加速度g，
故网球做匀变速运动，做曲线运动的网球在运动轨迹上某点的速度方向沿该点的切线方向，因此网
球在P点的速度沿PN方向。
故选C。
4.
在航空表演中，一架特技飞机进行展示“落叶飘”飞行技术动作，轨迹呈螺旋形。关
于该飞机的运动，下列说法正确的是（ ）
A．速度方向不断变化
B．竖直方向做匀加速直线运动
C．加速度保持不变
D．所受合力方向与速度方向相同
【答案】A
【详解】A．飞机做螺旋运动时，轨迹为三维曲线，速度方向始终沿切线方向且不断改变，故A 正
确；
B．螺旋下降过程中，飞机受重力和空气阻力作用，竖直方向加速度非恒定，故B 错误；
C．螺旋运动包含向心加速度（改变速度方向）和切向加速度（改变速度大小），合加速度方向不
断变化，故C 错误；
D．曲线运动中，合力方向指向轨迹凹侧（提供向心力），与速度方向不共线，故D 错误。
故选A。
5.
“玉兔二号”是我国自主设计制造并成功登陆月球的第二辆无人探测车，图为“玉兔
二号”巡视器在月球上从O 处行走到B 处的照片，轨迹OA 段是直线，AB 段是曲线，巡视器
质量为130kg，则巡视器（ ）
A．受到月球的引力为1300N
B．在AB 段运动时加速度可能为0
C．OA 段与AB 段的位移相同
D．从O 到B 的路程等于OAB 轨迹长度
【答案】D
【详解】A．在月球上的g 与地球不同，故质量为130kg 的巡视器受到月球的引力不是1300N，故A
错误；
B．由于在AB 段运动时做曲线运动，速度方向一定改变，一定有加速度，故B 错误；
C．由图可知OA 段与AB 段位移方向不同，故C 错误；
D．根据路程的定义可知，从O 到B 的路程等于OAB 轨迹长度，故D 正确。
故选D。
类型2 曲线运动的动力学解释
6.
足球比赛中，运动员发任意球时，踢出的足球有时会在行进中绕过“人墙”转弯进入
球门（如图甲），这就是所谓的“香蕉球”。踢出“香蕉球”是因为运动员踢出球时，足球向
前运动的同时还在绕轴自转（如图乙所示）；自上向下观察（如图丙所示）由于足球的自转使
贴着足球表面的一层薄空气被球带动做同一旋向的转动，导致足球A、B两侧的空气相对球的
速度不等而产生压力差F，使得足球发生偏转。则（ ）
A．甲图中足球受到空气压力向左
B．甲图中足球受到空气压力向右
C．空气流速大的一侧压力大
D．空气流速小的一侧压力大
【答案】BD
【详解】AB.甲图中足球受到空气的压力，而绕过“人墙”转弯进入球门，根据曲线运动的特点，
可知足球受到的空气压力指向运动轨迹的凹侧，根据甲图中足球的运动轨迹可判断，足球受到的空
气压力向右。A 错误，B 正确；
CD.踢出“香蕉球”是因为足球两侧的空气相对球的速度不等而产生压力差F，压力较大的一侧会
推动足球向压力较小的一侧偏转。从丙图可知，压力差F指向空气流速快的一侧，即空气流速大的
一侧压力小，空气流速小的一侧压力大。C 错误，D 正确。
故选BD。
7.
某自动流水线装置可以使货物在水平传送带上运动方向转过180°，其示意图如图所
示。货物与传送带间不发生相对滑动，则（ ）
A．以地面为参考系，货物是静止的
B．转弯过程中，货物始终处于平衡状态
C．转弯过程中，货物的惯性发生变化
D．研究货物的运动轨迹时，可以将其视为质点
【答案】D
【详解】A．以地面为参考系，货物是运动的，故A 错误；
B．转弯过程中，货物运动方向发生改变，不处于平衡状态，故B 错误；
C．转弯过程中，货物的质量不变，惯性不变，故C 错误；
D．研究货物的运动轨迹时，货物的大小，形状没有影响，可以将货物视为质点，故D 正确。
故选D。
8.
如图所示，乒乓球从斜面滚下后，以某一速度在水平的桌面上做直线运动。在与乒乓
球路径垂直的方向上放一个直径略大于乒乓球的纸筒。当乒乓球经过纸筒正前方时，用吸管对
着球横向吹气。下列说法正确的是（ ）
A．乒乓球仍沿着直线运动
B．乒乓球将偏离原来的运动路径，但不进入纸筒
C．乒乓球一定能进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能进入纸筒
【答案】B
【详解】当乒乓球经过纸筒口时，对着乒乓球横向吹气，乒乓球所受合力的方向与速度方向不在同
一条直线上，乒乓球做曲线运动，故乒乓球会偏离原有的运动路径；而乒乓球会获得一个横向的速
度，此速度与乒乓球原有的速度合成一个斜向左下方的合速度，因此乒乓球将向左下方运动但不进
入纸筒；故ACD 错误，B 正确。
故选B。
9.
我国首台国产深海微生物原位采样自主水下航行器（MSAUV），实现了深海微生物
的原位采样、保存和分析。如图所示是航行器某次水下采样的运动轨迹，已知A 到B 的轨迹长
度为3km，直线距离为1.2km，BC 段轨迹为曲线，完成整个过程所用时间为0.3h，则
（ ）
A．航行器在D 点处的加速度为零
B．航行器经过C 点的速度与经过D 点的速度可能相同
C．整个过程，航行器的平均速率约为1.1m/s
D．整个过程，航行器的平均速度大小约为1.1m/s
【答案】D
【详解】A．BC 段轨迹为曲线，则该过程速度发生了变化，即速度的变化量不等于0，根据加速度
的定义可知，航行器在D 点处的加速度不为零，故A 错误；
B．曲线运动的速度方向沿轨迹切线方向，根据图示可知，航行器经过C 点与经过D 点的速度方向
不相同，即速度不相同，故B 错误；
C．整个过程，航行器的平均速率v1=
3000
0.3×3600 m/s≈2.8 m/s，故C 错误；
D．整个过程，航行器的平均速度大小v2=
1200
0.3×3600 m/s≈1.1m/s，故D 正确。
故选D。
10. 为使汽车快速平稳转弯，驾驶员经常采用“入弯减速，出弯加速”的技巧。汽车采用
该技巧在单向路面水平弯道入、出弯道时，其所受水平合力为F、速率为v。则下列方向关系
图中，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】速度沿轨迹的切线方向，“减速入弯”时力和速度的夹角是钝角，“加速出弯”时力和速
度的夹角是锐角，故C 正确，ABD 错误。
故选C。
题型二 运动的合成与分解
1．遵循的法则：
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性:合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性:一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性:各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．合运动的性质判断
4．两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线
运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动
如果v 合与a 合不共线，为匀变速曲线运动
类型1 合运动与分运动的关系
11. 深圳大疆公司是全球知名的无人机生产商，生产的无人机在各行各业中得到了广泛应
用。一测试员应用无人机搭载的加速度传感器进行飞行测试。图甲是在测试软件中设定的x、
y、z 轴的正方向，其中z 轴沿竖直方向，无人机开始时沿y 轴正方向匀速飞行，从t=0 时刻开
始测试员进行变速操作，软件生成了x、y、z 轴方向的a-t（加速度－时间）图像如图乙所示，
则下列说法正确的是（ ）
A．0~1s 无人机处于失重状态
B．0~1s 沿x 轴方向无人机做减速动
C．1s~2s 沿y 轴方向无人机做加速动
D．1s~2s 沿z 轴方向无人机做加速动
【答案】D
【详解】A．由图可知，0~1s 无人机沿z 轴方向的加速度为零，即无人机在沿z 轴方向受力平衡，
故A 错误；
B．由图可知，0~1s 无人机有沿x 轴负方向的加速度，沿x 轴方向的初速度为零，所以无人机沿x 轴
负方向做加速运动，故B 错误；
C．无人机开始时沿y 轴正方向匀速飞行，由图可知，0~2s 无人机有沿y 轴负方向加速度，所以无
人机沿y 轴正方向先做减速运动，由于不确定0~1s 无人机沿y 轴正方向是否减小到零，所以1s~2s
沿y 轴正方向无人机可能做减速运动、先沿y 轴正方向减速后反向加速或者y 轴负方向加速运动，
故C 错误；
D．由图可知，0~1s 无人机沿z 轴方向的加速度为零，初速度为零，所以0~1s 无人机沿z 轴方向的
速度一直为零；由图可知，1s~2s 无人机有沿z 轴负方向的加速度，所以无人机沿z 轴负方向做加速
运动，故D 正确。
故选D。
12. 达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运
动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间Δt内水平方向增加量a Δt
2，竖直方向
做在自由落体运动，在时间Δt增加g Δt
2；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一
定，则连线的倾角就是一定的。
故选D。
13. 跳伞运动深受年轻人的喜爱。在水平风向的环境中，一位极限运动员从飞机上由静止
跳下后，下列说法中正确的是（ ）
A．风力越大，运动员下落时间越长
B．运动员下落时间与风力无关
C．风力越大，运动员落地时的竖直速度越大D．运动员落地速度与风力无关
【答案】B
【详解】ABC．运动员同时参与了竖直和水平两个方向的分运动，两个分运动同时发生，相互独立，
则水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间不变，根据h= 1
2 gt
2得
t = ❑√
2h
g
落地时竖直速度也不变，为
v =>= ❑√2gh
AC 错误，B 正确；
D．水平风力越大，水平方向的加速度越大，对应落地时水平速度也大，则落地的合速度越大， D
错误。
故选B。
14. 跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图所示，当运动员从直升机上由静止
跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响。下列说法中正确的是（ ）
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．运动员着地时的速度方向竖直向下
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
【答案】C
【详解】AC．运动员下落时间只与竖直方向上的运动有关，与风力的大小无关，故A 错误，C 正确；
BD．运动员在水平方向上受到风力的作用会有速度，风力越大，则水平方向的速度越大，运动员着
地时的速度不是竖直向下的，且速度的大小与风力有关，故BD 错误。
故选C。
15. 如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度在光滑水平桌面上沿直线匀速运动。
在与乒乓球路径相垂直的方向上有一个洞，当球经过洞口正前方时，对球沿三个不同的方向吹
气，下列说法正确的是（ ）
A．沿方向1 吹气，乒乓球可能进入洞内B．沿方向2 吹气，乒乓球可能进入洞内
C．沿方向3 吹气，乒乓球可能进入洞内D．沿三个方向吹气，乒乓球均不可能进入洞内
【答案】C
【详解】分别沿方向1、方向2、方向3 吹气，对乒乓球的速度分析
吹气时乒乓球在原有速度v0的基础上分别增加速度v1、v2、v3，只有沿方向3 吹气时，合运动方向
才可能指向洞口，乒乓球才可能进入洞内。
故选C。
类型2 两互成角度运动合运动性质的判断
16. 空中一热气球在风力作用下运动，沿水平方向（x 轴）、竖直方向（y 轴）运动的分
运动vx−x、vy−y 图像如图所示，则关于热气球的运动和受力说法正确的是（ ）
A．合运动为匀变速直线运动
B．合运动为变加速曲线运动
C．所受的合力为恒力
D．所受合力一直减小
【答案】B
【详解】由图像可知，热气球竖直方向做匀速直线运动，水平方向做加速直线运动，由图可知，相
等的位移速度增加量相等，平均速度增大，所用的时间减少，根据a= Δv
t ，所以加速度增大。根据
牛顿第二定律可知，热气球受到的合力一直增大，与合速度方向不在同一直线上，做变加速曲线运
动。
故选B。
17. 如图所示，在一次直升机营救演练中，某段时间内直升机用吊绳拉着被营救人员在水
平方向做匀速直线运动，同时吊绳穿引被营救人员沿竖直方向做匀加速运动，不计空气阻力，
此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．被营救人员所受的合外力竖直向上
B．被营救人员所受的合外力斜向上
C．相对地面，被营救人员的速度大小随时间均匀增大
D．相对地面，被营救人员的运动轨迹为斜向上的直线
【答案】A
【详解】AB．被营救人员水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速运动，加速度沿竖直方向，
因此合外力竖直向上，故A 正确，B 错误；
C．被营救人员竖直方向的速度随时间均匀增大，水平方向速度不变，因此合速度大小随时间不是
均匀变化的，故C 错误；
D．被营救人员合外力与速度不在一条直线上，因此运动轨迹为曲线，故D 错误。
故选A。
18. 一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度v x及竖直向上的
速度v y，若它们与运动时间t 的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是（ ）
A．演员在t1时刻处于超重状态
B．演员在0-t2这段时间内沿直线飞行
C．演员在t2时刻上升至最高点
D．演员在t2-t3时间内做匀变速曲线运动
【答案】D
【详解】A．演员在t1时刻竖直向上的速度减小，则加速度向下，处于失重状态，选项A 错误；
B．演员在0-t2这段时间内水平方向做匀加速运动；竖直方向做匀减速运动，则合初速度和合加速
度一定不共线，则合运动为曲线运动，选项B 错误；
C．演员在0-t3时间内的竖直速度一直不为零，可知t2时刻还没有上升至最高点，选项C 错误；
D．演员在t2-t3时间水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀速运动，可知合运动为匀变速曲线运动，
即演员做匀变速曲线运动，选项D 正确。
故选D。
19. 如图甲为我国研制的爆轰驱动超高速高焓激波风洞，其各项性能指标均处于领先地位。
假设某风洞能够产生水平方向的恒定风力，在竖直平面内建立如图乙所示直角坐标系。从x轴
上A点以某一速度抛出一小球，一段时间后小球到达x轴上B点，已知小球在A点时速度方向
与水平方向的夹角为60°，在B点速度方向与水平方向的夹角为30° , AB间的距离为d = 2❑√3
5
m，
则运动过程中小球的最小速度为（ ）
A．❑√3 m /s
B．2m /s
C．2❑√3 m /s
D．4 m /s
【答案】A
【详解】由于小球在水平和竖直方向上受力均恒定，则小球在水平和竖直方向上均做匀变速直线运
动，小球在A点和B点竖直方向上的速度大小相等，设小球在A点竖直方向的速度大小为v y，由直
线运动规律可知从A到B小球运动的时间为t = 2v y
g
设小球在水平方向上的加速度为a，则在水平方向上有
v y
tan30° -
v y
tan60° =at，
(
v y
tan30°)
2
-(
v y
tan60°)
2
=2ad
联立解得a= 10 ❑√3
3
m /s
2,v y = ❑√3 m /s
小球合加速度如图1 所示，则小球所受合力方向与x轴方向夹角为60°，斜向右下方，小球的初速
度大小为2m /s。当小球沿合力方向的速度为零时，小球的速度最小，如图2 所示，此时小球的速
度大小为垂直合力方向的速度大小，即vmin= v0cos30
∘= ❑√3 m /s
故选A。
20. 如图所示。风洞中没风时，将一个小球以初速度v0竖直向上抛出，小球能上升的最大
高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度v0竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位
置时，该位置与抛出点间的水平距离为2 h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力
与小球重力之比为（ ）
A．2:1
B．4:1
C．1:2
D．1:4
【答案】C
【详解】根据题意，竖直方向有2 gh= v0
2
有风时竖直方向运动情况不变，落到与抛出点等高的位置所用时间t = 2v0
g
水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，有a= F
m
2h= 1
2 at
2
联立解得F
mg = 1
2，故选C。
题型三 小船渡河问题
小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝(d 为河宽)．
②过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s 短＝d.船头指向上游与河岸夹角为
α，cos α＝.
③过河路径最短(v2>v1时)：合速度
不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的
大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：
cos α＝，最短航程：s 短＝＝d.
21. 解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为d 的小河。现有甲、乙两个战
斗小组分别乘两只小船渡河，船头朝向如图所示，渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ 角，两
船在静水中的速率都为v，水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A 点，则（ ）
A．甲船渡河时间为
d
v cosθ
B．乙船比甲船更早到达对岸
C．靠岸时两船间距增大了
d
v sinθ (v cosθ+ v0)
D．如果河水流速增大，甲船不改变船头方向也能到达A 点
【答案】C
【详解】AB．将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等
时性，可知甲、乙两船到达对岸的时间均为
t =
d
v sinθ
故两船同时到达对岸，故AB 错误；
C．靠岸时两船间距增大了
x = v相对t =(v0+ v cosθ)
d
v sinθ
故C 正确；
D．水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A 点，则
v cosθ = v0
故如果河水流速增大，要使甲船到达A 点，小船船头与河岸夹角应减小，故D 错误。
故选C。
22. 一条两岸平直的宽为d 的小河如图所示，河水流速恒定。一人驾驶小船从上游渡口A
前往下游渡口B。已知全程船在静水中的速度大小恒定，船在静水中的速度大小与河水流速大
小之比为❑√3:1，行驶中船头始终垂直河岸，则A、B 两渡口沿河岸方向的距离为（ ）
A．
❑√2
2 d
B．
❑√3
3 d
C．❑√2d
D．❑√3d
【答案】B
【详解】
设船在静水中速度为v1、河水流速为v2，船头垂直河岸，小船实际行驶方向与河岸之间夹角为α，
则
tan α = v1
v2
= ❑√3 A、B两渡口沿河岸方向的距离为
x =
d
tan α =
❑√3
3 d
故B 正确。
故选B。
23. 如图所示，小船（视为质点）从岸边A 点开始渡河，河两岸平行，河的宽度为
150m，水流速度大小为3m/s，船在静水中的速度大小为4m/s，则（ ）
A．船不可能到达正对岸B 点
B．船的最短过河时间为37.5s
C．船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸
D．船以最短路程过河时的速率为❑√7m/s
【答案】BD
【详解】ACD．由于船在静水中的速度大于水流的速度，当速度满足如图所示关系时，船垂直河岸
过河，此时为最短路程过河，船头方向与v相对方向相同，过河时的速率为
v =
❑√v相对
2
- v水
2 = ❑√7m/s
故AC 错误，D 正确；
B．船头垂直河岸过河时，时间最短，则有
tmin=
d
v相对
❑
=37.5s
故B 正确。
故选BD。
24. 游泳是人们很喜爱的运动之一。如图，某游泳运动员在河中的P点发现正下游O处有
一半径为r =5 m的旋涡，当时水流速度为3 m /s. P点与O点的距离d =15 m，该运动员为了能
避开旋涡沿直线到达安全地带，其在静水中的速度至少为（ ）
A．3 ❑√3
2
m /s
B．1m /s
C．2m /s
D．3 ❑√3
4
m /s
【答案】B
【详解】水流速度是定值，只要保证合速度方向指向漩涡危险区切线方向即可，如图所示
sinθ = r
d = 1
3
为了能避开漩涡沿直线到达安全地带，运动员在静水中的速度至少是
v0= v sinθ =1m /s
故选B。
25. 洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图所示，水速为v，
消防武警驾驶冲锋舟若采取冲锋舟最小速度和船头正对河岸两种行驶方案，沿与平直河岸成
30°角的线路把被困群众从A 处送到对岸安全地B 处，则两种方案中冲锋舟最小速度v1和船头
正对河岸的冲锋舟速度v2之比为（ ）
A．1:2
B．1:❑√3
C．2:❑√3
D．❑√3:2
【答案】D
【详解】设冲锋舟以最小速度v1和船头正对河岸速度v2分别从A 到B，冲锋舟最小速度v1垂直于
AB 连线
v1= v sin30
∘
冲锋舟速度v2垂直于水平河岸
v2= v tan30
∘
可知
v1
v2
=cos30° =
❑√3
2
故选项D 正确。
题型四 绳（杆）关联速度分解
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相
等求解．常见的模型如图8 所示．
类型1 绳端关联速度的分解问题
26. 如图所示，足够长的直角支架aOb固定在竖直平面内，其中细杆Oa粗糙，沿水平方
向，细杆Ob光滑，沿竖直方向。质量分别为m 和3m的小圆环P 和Q 分别套在两个细杆上，
两个小圆环用轻绳拴接。初始时，圆环P 被锁定，绷紧的轻绳与水平方向的夹角为θ =37°，
圆环P 与细杆Oa间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，
sin37° =0.6，cos37° =0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．初始时，轻绳上的拉力大小为5mg
B．解除P 锁定后瞬间，轻绳上的拉力大小为25
13 mg
C．解除P 锁定后瞬间，圆环P 的加速度大小为2 g
D．解除P 锁定后瞬间，圆环Q 的加速度大小为8
13 g
【答案】ABD
【详解】A．初始时以Q 为研究对象，根据受力平衡可得T = 3mg
sinθ =5mg
故A 正确；
BCD．设解除锁定瞬间绳子拉力为T′，以Q 为研究对象，根据牛顿第二定律可得
3mg -T
' sinθ =3maQ
以P 为研究对象，根据牛顿第二定律可得T
' cosθ - f =maP，T
' sinθ+mg = F N，f = μ FN
两球沿绳子方向的加速度相等，则aQsinθ =aPcosθ
联立解得T
' = 25
13 mg，aP= 6
13 g，aQ= 8
13 g
故BD 正确，C 错误。
故选ABD。
27. 如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑滑轮连
接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F 作用在滑块A 上，使A 向右移动。已知
A、B 的质量分别为m 和2m，滑块A 与细杆间的动摩擦因数为
❑√3
3 。则（ ）
A．若A 做匀速运动，则B 也做匀速运动
B．若B 做匀速运动，则A 做加速运动
C．若A 缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F 有最小值
D．若A 缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F 一直在增大
【答案】D
【详解】AB．对AB 两滑块速度关系如图所示
由几何关系有vB= vAcosθ
若A 做匀速运动，θ逐渐减小，cosθ逐渐增大，则B 的速度逐渐增大；若B 做匀速运动，θ逐渐减
小，cosθ逐渐增大，则A 的速度逐渐减小，故AB 错误；
CD ．对滑块B 有T =2mg
对滑块A 有进行受力分析如图所示
由于滑块A 从图示（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至θ =30
∘过程中30
∘≤θ≤90
∘
可知T sinθ =2mgsinθ≥mg
则在竖直方向上有T sinθ =mg+ N
则在水平方向有F = μN +T cosθ
联立解得F =2mgcosθ+2 μmgsinθ - μmg=2mg
❑√1+ μ
2(
1
❑√1+ μ
2 cosθ+
μ
❑√1+ μ
2 sinθ)- μmg
假设sin α =
1
❑√1+ μ
2 =
❑√3
2 ，cosα =
μ
❑√1+ μ
2 = 1
2
解得α =60
∘
则可求得F =2mg
❑√1+ μ
2sin(60
∘+θ)- μmg
滑块A 从图示虚线位置开始缓慢向右移动过程中，θ减小，可知F 逐渐增大，当θ =30
∘时
解得拉力F 有最大值Fmax = ❑√3mg
故C 错误，D 正确。
故选D。
28. 质量为m 的物体P 置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连
接着P 与小车，P 与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v 水平向右做匀速直线运动。已知
重力加速度为g。当小车和滑轮间的细绳与水平方向成θ2夹角时（如图所示），下列判断正确
的是（ ）
A．P 的速率为vcosθ1
B．P 的速率为vsinθ2
C．运动过程中P 处于超重状态
D．绳的拉力始终等于mgsinθ1
【答案】C
【详解】AB．将小车的速度沿细绳和垂直细绳方向分解，可知当小车和滑轮间的细绳与水平方向成
夹角θ2时，沿细绳方向分速度为v cosθ2，由于细绳不可伸长，P 的速率等于小车速度沿绳方向分速
度的大小，则有
vP= v cosθ2
故AB 错误；
CD．小车向右匀速运动过程，P 的速率表达式为
vP= v cosθ
由于v不变，小车和滑轮间的细绳与水平方向的夹角θ逐渐减小，则P 的速度变大，P 沿斜面向上做
加速运动，P 的加速度方向沿斜面向上，由牛顿第二定律得
T -mgsinθ1=ma
可知绳的拉力大于mgsinθ1，P 在竖直方向上有向上的加速度分量，处于超重状态，故C 正确，D
错误。
故选C。
29. 在水平面上有A、B 两物体，通过一根跨过定滑轮的轻绳相连，现A 物体以v1的速度
向右匀速运动，当绳被拉成与水平面的夹角分别为α、β 时（如图所示），B 物体的运动速度
vB为（绳始终有拉力）（ ）
A．v1sin α
sin β
B．v1cosα
sin β
C．v1sin α
cos β
D．v1cosα
cos β
【答案】D
【详解】A、B 两物体通过轻绳相连，沿绳方向速度大小相等，有
v1cosα = vBcos β
解得B 物体的运动速度
vB= v1cosα
cos β
故选D。
30. 如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，小车A 在水平外力作用下沿水平地
面向左做直线运动，绳子跨过定滑轮拉着物体B 以速度vB竖直匀速上升，下列判断正确的是
（ ）
A．小车A 做减速直线运动
B．绳子拉力大于物体B 的重力
C．小车A 的速度大小可表示为vBcosθ
D．小车A 受到地面的支持力逐渐变小
【答案】A
【详解】AC．将小车A 的速度沿绳和垂直绳方向分解，沿绳方向的分速度大小即为B 物体上升的速
度大小，则
v A = vB
cosθ
随着小车A 向左运动，θ减小，则小车A 做减速直线运动，故A 正确，C 错误；
BD．物体B 竖直匀速上升，绳子拉力等于物体B 的重力，拉力大小不变，由于θ减小，拉力在竖直
方向的分力变小，则地面对小车A 的支持力变大，故BD 错误。
故选A。
类型2 杆端关联速度的分解问题
31. 如图所示，长为l 的轻杆，一端固定一个质量为m 的小球，另一端有固定转动轴O，
杆可在竖直面内绕转动轴O 无摩擦转动；质量为m 的物块放置在光滑水平面上，开始时，使
小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在
之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
【答案】D
【详解】AD．对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力FN，如图1 所示，
在水平方向由牛顿第二定律得
F cosθ =(M +m)ax
分离后物块的加速度为零，可知在球与物块分离前，物块的加速度逐渐减小，而小球水平方向的分
加速度与物块的加速度相等，所以物块的水平方向分加速度逐渐减小，而cosθ逐渐增大，所以弹
力逐渐减小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，加速度等于重力加速度
g，故A 错误，D 正确；
B．设球的速度为v，球与物块分离前，物块与球的水平速度相等，球的速度与杆垂直向下，如图2
所示，
将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度，由图可知，球的速度大于物块的速度，故B 错
误；
C．由于地面光滑，杆对物块的弹力始终向左，物块的加速度始终向左，所以物块一直加速，故C
错误。
故选D。
32. 如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆
AB，OB 可绕图中A、B、O 三处的转轴转动，连杆OB 长为R，连杆AB 长为L（L> R），当
OB 杆以角速度ω 逆时针匀速转动时，滑块在水平横杆上左右滑动，连杆AB 与水平方向夹角
为α，AB 杆与OB 杆的夹角为β。在滑块向左滑动过程中（ ）
A．滑块A 从右向左先做加速度减小的加速运动，后做加速度减小的减速运动
B．当OB 杆与OA 垂直时，滑块的速度大小为ωR
C．当OB 杆与OA 垂直时，滑块的速度大小为R
2ω
L
D．当β =90°时，滑块的速度大小为Rω
❑√L
2+ R
2
L
【答案】BD
【详解】A．设滑块的水平速度大小为v，A 点的速度的方向沿水平方向，如图将A 点的速度分解
根据运动的合成与分解可知，沿杆方向的分速度
v A 1=vcosαB 点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直
于杆方向的分速度，如图设B 的线速度为v′，则
vB1=v′⋅cosθ=v′cos(90∘−β)=v′sinβ
v′=ωR
又二者沿杆方向的分速度是相等的，即
v A 1= vB1
联立可得
v = ωR sin β
cosα
在△AOB中，由正弦定理
R
sin α = SOA
sin β
代入得
v =ω SOA tan α
滑块的速度随角度α 变化而不均匀变化，角度α 先增大后减小，所以滑块先做加速运动后做减速运
动，根据运动的对称性，若滑块先做加速度减小的加速运动，则减速运动时应是加速度增大的减速
运动，故A 错误；
BC．当OB 杆与OA 垂直时，有
α + β =90°
则滑块的速度为
v =ωR
故C 错误，B 正确；
D．当β =90°时
tan α = R
L
SOA =
❑√R
2+ L
2
由v =ω SOA tan α，得滑块的速度大小为
v = Rω
❑√L
2+ R
2
L
D 正确。
故选BD。
33. 如图所示为内燃机部分结构的剖面简图，曲轴OA绕O点沿逆时针方向匀速转动，转
速为n，曲轴与连杆AB连接在A点，连杆与活塞连接在B点，OA = R，此时OA ⊥AB，连杆
AB与OB的夹角为θ，则（ ）
A．图示时刻活塞的速度大小为2πnR
sinθ
B．图示时刻活塞的速度大小为2πnR
cosθ
C．从图示时刻至活塞到最高点，活塞的速度先变大后变小
D．从图示时刻至活塞到最高点，活塞的速度先变小后变大
【答案】B
【详解】A．根据圆周运动规律可得A点的线速度大小为
v A =2πnR
设图示时刻活塞的速度大小为v1，则根据运动的合成与分解可知
v A = v1cosθ
解得
v1= 2πnR
cosθ
故A 错误；
B．由A 项分析可知，B 正确；
C．设∠OAB =α，活塞的速度大小为v，则
v A cos(α - π
2)= v cosθ
解得
v = sin α
cosθ v A
从图示时刻至活塞到最高点，v A不变，sin α一直减小，cosθ一直增大，所以v一直减小，C 错误；
D．由C 项分析可知，D 错误。
故选B。
34. 如图所示为内燃机中轻质活塞和曲柄连杆结构的示意图和简图。汽缸内高压气体推动
活塞使其往复运动，某时刻活塞的速度为v0，连杆AO 与活塞轴线BO 垂直，汽缸中高压气体
及外部大气对活塞作用力的合力大小为F，已知AO = 1
2 AB，不计一切摩擦，则此刻（ ）
A．活塞对连杆AB 的作用力为2F
B．汽缸壁对活塞的作用力为
❑√3
3 F
C．连杆AB 的A 端沿连杆AB 方向的线速度为2❑√3
3
v0
D．连杆OA 的A 端绕O 点转动的线速度为v0
【答案】BD
【详解】AB．连杆AO 与活塞轴线BO 垂直时，由几何关系可知BA 与BO 之间的夹角
θ =30°
由于是轻质活塞，所以活塞所受合外力为零，活塞受连杆AB 对其的推力F1、汽缸壁对其的弹力F2
和高压气体及外部大气对活塞的作用力作用，如图所示
根据平衡条件可得
F1cosθ = F
F1sinθ = F2
解得
F1= 2❑√3
3
F
F2=
❑√3
3 F
故A 错误，B 正确；
CD．v0沿连杆AB 方向和垂直于连杆AB 方向分解，如图所示
沿连杆AB 方向的速度
vA= v0cos30
∘=
❑√3
2 v0
连杆OA 的A 端绕O 转动的线速度
v =
vA
cos30
∘= v0
故C 错误，D 正确。
故选BD.
35. 如图所示，套在竖直固定的细杆上的环A 由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B 相连，
环A 从P 由静止释放，此时绳与竖直杆间的夹角为α，沿杆上升经过Q 点，经过Q 点时A 与
定滑轮的连线处于水平方向，A 的速度为νA（不等于零）。（不计一切摩擦阻力）则下列说法
正确的是（ ）
A．当A 经过Q 点时，B 的速度等于νA
B．当A 经过Q 点时，B 的速度方向向下
C．当A 从P 至Q 的过程中，B 的速度先增后减少
D．当A 从P 至Q 的过程中，绳的拉力始终大于B 的重力
【答案】C
【详解】AB．对于A，它的速度如图中标出的vA，这个速度看成是A 的合速度，其分速度分别是
va，vb
其中va就是B 的速度vB（同一根绳子，大小相同），刚开始时B 的速度为
vB= vAcosα
当A 环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时
vB= va=0
AB 错误；
CD． 当A 上升时，B 开始静止，然后获得向下运动的速度，最后速度又变为0,因此B 先向下做加
速运动后做减速运动，先处于失重状态，后处于超重状态，绳的拉力开始小于B 的重力后来又大于
B 的重力， D 错误，C 正确；
故选C。
