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专题09 功和功率 机车启动
题型一 功的分析和计算.........................................................................................................................1
类型1 恒力做功问题......................................................................................................................2
类型2 变力做功问题......................................................................................................................4
题型二 功率的分析和计算.....................................................................................................................7
类型1 功率的分析和计算..............................................................................................................7
类型2 功率和功综合问题的分析和计算......................................................................................9
题型三 机车启动问题...........................................................................................................................11
类型1 恒定功率启动....................................................................................................................12
类型2 恒定加速度启动................................................................................................................14
题型一 功的分析和计算
1．功的正负
(1)0≤α<90°，力对物体做正功．
(2)90°<α≤180°，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．
(3)α＝90°，力对物体不做功．
2．功的计算：W＝Fl
cos
_α
(1)α 是力与位移方向之间的夹角，l 为物体对地的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
(3)功是标(填“标”或“矢”)量．
3．变力做功几种方法
方法
图例
方法解读
微元法
图中质量为m 的物体在水平面内沿着圆周运动一周的过程中摩擦
力做功Wf＝－FfΔx1－FfΔx2－FfΔx3－…＝－Ff（Δx1＋Δx2＋Δx3
＋…）＝－Ff·2πR
平均
力法
水平面光滑，A、B 始
终相对静止
如果力随位移线性变化，在一段位移的初、末位置对应的力分别
为F1、F2，则物体受到的平均力为F＝F1＋F2
2
，此变力所做的
功W＝Fx
F-x
图像法
图线与x 轴所围“面积”表示力F 在这段位移内所做的功，且位
于x 轴上方的“面积”为正功，位于x 轴下方的“面积”为负
功。图中为F 所做的功W＝F0＋F1
2
x0
等效
转换法
F 为恒力
图中恒力F 把物块从位置A 拉到位置B 过程中绳子对物块做功W
＝F(
h
sin α －
h
sin β)
类型1 恒力做功问题
1.
如图甲所示，倾角为θ =37
°的固定斜面上有一物块处于静止状态，物块的质量为
1kg，现用沿斜面向下的恒力推物块，过一段时间撤去推力，物块沿斜面向下运动的v -t图像
如图乙所示，已知物块与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，斜面足够长，重力加速度
g= 10 m /s
2,sin37
°=0.6,cos37
°=0.8。则下列判断正确的是（ ）
A．物块静止时，斜面对物块的作用力大小为8N
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．推力F对物块做的功为36J
D．若推力增大为原来的2 倍，则物块下滑的加速度
大小为6 m /s
2
2.
如图所示，倾角为θ、足够长的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一质量
m=1kg的物块，t =0时刻物块在沿斜面向上的恒力F的作用下，从斜面底端由静止开始运动，
t =2s时物块到达A点并撤去F，t = 4s时物块恰好返回斜面底端，sinθ =0.6，取重力加速度
大小g=10 m/s
2。
(1)求撤去F后物块的加速度大小a1；
(2)求恒力F对物块做的功W ；
(3)若t =0时刻物块在沿斜面向上的变力F
'的作用下，从斜面底端由静止开始运动，t =1.5s时物块
到达A点并撤去F
'，此过程中物块的加速度与速度成反比，t =3.5s时物块返回斜面底端，求变力
F
'的最小值F min。
3.
如图所示，冰车静止在冰面上，小孩与冰车的总质量m=20kg。大人用F =20 N恒定
拉力，使冰车开始沿水平冰面移动，拉力方向与水平面的夹角为θ =37°。已知冰车与冰面间
的动摩擦因数μ=0.05，重力加速度g=10 m/s
2，sin37° =0.6，cos37° =0.8。求。
(1)小孩与冰车受到的支持力F N的大小。
(2)小孩与冰车的加速度a的大小。
(3)拉力作用t =8s时间，冰车位移x的大小。
(4)拉力作用t =8s时间内，合外力做的功W 。
4.
我国在无人机领域处于世界领先行列，特别是同时控制多架无人机的“蜂群技术”更
是遥遥领先。在一次测试中同一台电脑控制两架无人机进行测试，两架无人机完全相同，开始
时静止在地面上，在程序控制下同时开始竖直向上运动，两架无人机的升力随时间变化图像如
图甲、乙所示，mg为无人机的重力大小，忽略无人机受到的阻力，则关于无人机运动过程的
说法正确的是（ ）
A．0-2t 时间内甲、乙两无人机的上升的高度之比为5 7∶
B．2t 时刻甲、乙两无人机的动量之比
为1 2∶
C．2t 时刻甲、乙两无人机升力的功率之比为3 2∶
D．0-2t 时间内甲、乙两无人机升力做功之
比为1 1∶
5.
如图所示，质量M =8.0kg的物体A 上表面为光滑斜面，斜面长L=0.2m，与水平方
向的夹角θ =37°，在斜面下端有一质量m=5.0kg的小物体B，某时刻A、B 一起从P 点以初
速度v0=2m/s向左匀减速滑行。已知重力加速度g=10 m/s
2。
（1）求A 的下表面与水平面间的动摩擦因数μ；
（2）当A 的速度减为零时，立即对A 施加水平向右的推力。
①若A、B 一起水平向右匀加速运动，求A 的右端回到P 位置的过程中推力所做的功W；
②若A 的右端回到P 位置，B 恰好运动到斜面最高点，求该过程中A 与地面间因摩擦产生的内能
Q。
类型2 变力做功问题
6.
比亚迪E-SEED 概念车是基于人类未来发展而倾力打造的一款全新型纯电动汽车，其
中“E-SEED”五个英文字母分别代表：电动、运动、体验、环保和装置，蕴含着比亚迪绿色环
保的设计理念。为了获取该款车的有关数据，某次试车过程中，试车员驾驶汽车由静止沿光滑
平直公路启动，并控制汽车功率按图示规律变化。已知汽车的质量为m，额定功率为P0，汽车
在行驶过程中所受阻力恒为车重的K 倍，在t2时刻汽车刚好获得最大速度。则下列说法正确的
是（ ）
A．在t1~t2时间内汽车做匀速直线运动
B．在0~t1时间内汽车平均功率为1
2 P0
C．在0~t2时间内汽车发动机所做的功为P0(
1
2 t1+t2)
D．在t2时刻汽车的运动速度为P0
Kmg
7.
如题图甲，辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水斗等部分构成。如
题图乙为提水设施工作原理简化图，某次需从井中汲取m=2kg 的水，辘轳绕绳轮轴半径为
r=0.1m，水斗的质量为0.5kg，井足够深且井绳的质量忽略不计。t=0 时刻，轮轴由静止开始绕
中心轴转动，其角速度随时间变化规律如题图丙所示，g 取10 m /s
2，则（ ）
A．水斗速度随时间变化规律为v=0.4t
B．井绳拉力瞬时功率随时间变化规律为P=10t
C．0~10s 内水斗上升的高度为4m
D．0~10s 内井绳拉力所做的功为520J
8.
质量m=1kg 的物体静止放在粗糙水平地面上．现对物体施加一个随位移变化的水平外
力F 时物体在水平面上运动．已知物体与地面间的滑动摩擦力与最大静摩擦力相等．若F-x 图
象如图所示．且4～5m 内物体匀速运动．x=7m 时撤去外力，取g=10m/s2，则下列有关描述正
确的是（ ）
A．物体与地面间的动摩擦因数为0.1
B．撤去外力时物体的速度为❑√2m/s
C．x=3m 时物体的速度最大
D．撤去外力后物体还能在水平面上滑行3s
9.
如图甲所示，静止于光滑水平面上的小物块，在水平拉力F 的作用下从坐标原点O 开
始沿x 轴正方向运动，F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线右半部分为四分
之一圆弧，则小物块运动到2x0处时的动能可表示为（ ）
A．0
B．1
2
Fmx0（1+π）
C．1
2
Fmx0（1+π
2
）
D．Fmx0
10. 如图所示，一根轻质橡皮绳固定于O 点，通过定滑轮A 与质量为m 的物块B 相连接，
物块B 静止在A 正下方的粗糙水平面上。OA 间距恰好为橡皮绳的原长，A 到物块的距离为
L，现对物块施加一个水平向右的恒力F＝0.5mg 的作用，物块立刻获得0.25g 的初始加速度开
始向右运动，g 为重力加速度。物块与地面的动摩擦因数μ=0.5，橡皮绳产生的弹力满足胡克
定律，物块B、定滑轮A 可作为质点且不考虑其他摩擦。求：
（1）橡皮绳的劲度系数k；
（2）物块向右运动到与初始位置相距为x 时，其加速度a 与x 的关系式；
（3）物块向右运动的最大速度vm及物块从静止运动到最大速度的过程中橡皮绳增加的弹性势能。
题型二 功率的分析和计算
1．公式P＝和P＝Fv 的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv 是功率的计算式．
2．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．
3．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v 为t 时刻的瞬时速度．
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v 在力F 方向上的分速度．
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F 在速度v 方向上的分力．
类型1 功率的分析和计算
11. 两黑洞绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，组成一个孤立的双星系统，两黑洞的质
量分别为m1、m2，两者间距为r，引力常量为G。
(1)求两黑洞做匀速圆周运动的角速度的大小ω；
(2)科研人员观测到上述黑洞系统会向外辐射引力波，随着时间的推移，两个黑洞会缓慢靠近，系统
的机械能E逐渐减小。已知机械能E随时间t的变化率为Δ E
Δt = Gm1m2
2r
2
⋅Δr
Δt
(Δt →0)，其中
Δr
Δt
可以定义为两黑洞的靠近速度vr。由广义相对论可知，该系统辐射引力波的功率
P = 32
5 G
4(m1m2)
2(m1+m2)c
-5r
α，其中c为电磁波在真空中的传播速度。当r较大时，靠近速度vr
很小，不计两黑洞各自质量的变化。
a.求α的值；
b.请推导vr的表达式。
12. 某旋转喷灌机进行农田喷灌的示意图如图所示，喷口出水速度的方向可调节。该喷灌
机的最大功率为P =2000 W，喷灌机所做功的75 %转化为水的动能，喷口的横截面积S =30cm
2，
水的密度ρ=1×10
3kg/ m
3，重力加速度g=10 m /s
2，π =3.14，喷口距离地面的高度
h=0.55 m，忽略空气阻力，不考虑供水水压对水速的影响。求：
（1）喷灌机的最大喷水速度v；
（2）喷口出水速度方向与水平面夹角θ =30°时，该喷灌机的最大喷灌面积Sm。（保留三位有效数
字）
13. 小型的射电望远镜相比于大口径的射电望远镜，有能够全方位转动的优点。设地球上
有两台直径分别为d1、d2的小型射电望远镜A 和B，两者能观测到天体需要收集的电磁波总功
率的最小值相同。在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。现仅以辐射功率为P 的同类天
体为观测对象，望远镜A 能够观测到此类天体数量为N，则望远镜B 能够观测到此类天体的数
量为（ ）
A．(
d2
d1)N
B．(
d2
d1)
3
2 N
C．(
d2
d1)
2
N
D．(
d2
d1)
3
N
14. 疫情防控中，某医院出现了一批人工智能机器人。机器人“小易”在医护人员选择配
送目的后，就开始沿着测算的路径出发，在加速启动的过程中，“小易”“发现”正前方站着
一个人，立即制动减速，恰好在距离人30cm 处停下。“小易”从静止出发到减速停止，可视
为两段匀变速直线运动，其v -t图像如图所示，图中t0=1.6s，v0=5 m/s。已知减速时的加速
度大小是加速时加速度大小的3 倍，“小易”（含药物）的总质量为60kg，运动过程中阻力恒
为20N。则（ ）
A．“小易”从静止出发到减速停止的总位移为1 m
B．“小易”加速过程的加速度大小为25
6 m /s
2
C．启动过程的牵引力与制动过程的制动力大小之比为9
25
D．阻力的平均功率为50W
15. 人类对大自然始终心存敬畏之心。认识自然规律并利用自然规律服务人类，人类和大
自然和谐相处，是人类的不懈追求。对于力和运动的关系，从亚里士多德到伽利略、胡克、牛
顿，经过两千多年的不断探索，人类认识到力是改变物体运动状态的原因。经典物理学认为：
已知物体的初始状态和受力情况可确定物体的运动情况，反之亦然。某质量m=1kg 的质点在
xOy 平面内运动，其位置坐标（x，y）与时间的关系是：x=2t²+1，y=3t+2（各物理量单位均为
国际基本单位），则质点在t=1s 时的速度和所受合外力的功率的大小分别是（ ）
A．v = ❑√13 m /s、P =3 ❑√13 W
B．v =5 m /s、P =20 W
C．v =9 m /s、P =16 W
D．v =5 m /s、P =16 W
类型2 功和功率的综合问题分析和计算
16. 如图所示为建筑材料被吊车竖直向上提升过程的速度-时间图象，则下列判断正确的
是
A．前5s 的平均速度是0.5m/s
B．前10s 钢索最容易发生断裂
C．30s～36s 钢索拉力的功率不变
D．0～10s 的平均速度等于30s～36s 的平均速度
17. 如图是质量m=3kg 的质点在水平面上运动的v-t 图象，以下判断正确的是
A．在t=l.0s 时，质点的加速度为零
B．在1.0-3.0s 时间内，质点的平均速度为1m/s
C．在0-2.0s 时间内，合力对质点做功为零
D．在1.0-4.0s 时间内，合力对质点做功的平均功率为6W
18. 如图所示，重为G 的某汽车以恒定速率通过路面abcd，其中ab 段和cd 段是倾角均为
θ的坡路，bc 段为水平直路。已知汽车所受地面阻力大小不变，且f >Gsinθ，设汽车在ab、
bc、cd 段行驶时发动机的输出功率分别为P1、P2和P3，则下列关系式正确的是（ ）
A．P1+ P2=2 P3 B．P1+ P3=2 P2
C．P2+ P3=2 P1
D．P1= P2= P3
19. 如图为某游乐场圆弧形滑梯，表面粗糙。一个小朋友从最高处由静止滑下直至最低处
水平滑离的过程中，下列说法一定正确的是（ ）
A．小朋友的动能一直增大
B．小朋友重力的功率一直增大
C．小朋友始终处于失重状态
D．小朋友机械能一直减小
20. 辘轳是我国古老的打水工具（如图），其结构由辘轳头、摇柄等部分组成，摇柄固定
在辘轳头上，转动摇柄即可打水。已知圆柱形辘轳头的底面直径为d = 40cm，水桶和水的总质
量为m=10kg。取重力加速度g=10m/s❑
2，π=3.14，忽略空气阻力和绳索的重力。
（1）匀速转动摇柄使水桶匀速上升。若辘轳头转动16 圈恰好将桶提到井口，所用时间为1min。则
打水过程中绳索拉力做功的功率为多大？
（2）加速转动摇柄使辘轳头转动的角速度随时间均匀增大，桶匀加速上升。若绳索能承受的最大
拉力为F m =120N，要使绳索不断，求角速度的变化量与所经历时间的比(
Δω
Δt )
不能超过多少？
题型三 机车启动问题
两种启
动方式
以恒定
功率启动
以恒定加
速度启动
P-t 图像和
v-t 图像
OA 段
过程
分析
v↑⇒F＝P（不变）
v
↓⇒a＝F －F阻
m
↓
a＝F －F阻
m
不变⇒F 不变，v↑⇒P＝
Fv↑直到P＝P 额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，持续时间t0＝v1
a
AB 段
过程
分析
F＝F 阻⇒a＝0⇒vm＝P
F阻
v↑⇒F＝P额
v ↓⇒a＝F －F阻
m
↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC 段
—
F＝F 阻⇒a＝0⇒以vm＝P额
F阻
做匀速直线
运动
类型1 恒定功率启动
21. 某人骑着电量不足的电动车以速度v0在平直公路上匀速行驶。已将功率调到最大且在
以后的运动中一直保持不变。t=0 时刻开始冲上一倾角为θ 的斜坡，t=t1时刻速度达到稳定。一
段时间后，车主担心电瓶亏电严重，t=t2时，下车，双手轻握车把不给推力，与车同步上坡，
t=t3时车速又达到稳定，上坡过程电动车的速度v 与时间t 的变化关系图像如图所示。已知电动
车的质量为M，车主的质量为m，车主下车前整体受到的阻力和下车后车受到的阻力相等，不
计车主下车过程的时间，重力加速度为g，则（ ）
A．上坡过程，车主下车前整体受到的阻力大小为(2m- M )gsinθ
B．电动车的功率大小为3
2 mg v0sinθ
C．0∼t1时间内，电动车运动的距离为3
4 v0t1
D．t2∼t3时间内（不含t2）电动车的加速度一定大于gsinθ
22. 一辆汽车在平直公路上以恒定功率P0匀速行驶，行驶的速度为v0。由于前方出现险情，
汽车要减速慢行，驾驶员在t1时刻将发动机的功率减半，以1
2 P0的恒定功率行驶到t2时刻通过
险情区之后，驾驶员立即将功率增大到P0，以恒定功率P0继续向前行驶到t3时刻，整个过程
汽车所受阻力恒为f，则在0~t3这段时间内，汽车的速度随时间变化的关系图像可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
23. 复兴号动车在世界上首次实现速度350km/h 自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的
又一重大标志性成果。一列质量为m 的动车，初速度为v0，以恒定功率P 在平直轨道上运动，
经时间t 达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力F 保持不变。动车在时间
t 内（ ）
A．牵引力的功率P= Fvm
B．做加速度逐渐增大的加速运动
C．做匀加速直线运动
D．牵引力做功W=1
2 m vm
2 - 1
2 m v0
2
24. 汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机的功率为P，司机为合理进入限速区，
减小了油门，使汽车功率立即减小一半并保持该功率继续行驶，设汽车行驶过程中所受阻力大
小不变，从司机减小油门开始，汽车的速度v 与时间t 的关系如图所示，则在0∼t1时间内下
列说法正确的是（ ）
A．汽车的牵引力不断增大
B．t=0 时，汽车的加速度大小为P
mv0
C．汽车行驶的位移为v0t1
2 + 3mv0
3
8 P
D．阻力所做的功为P
2 t1+ 3
8 mv0
2
25. 图甲是全球最大回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破
长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。该起重机某次
从t =0时刻由静止开始提升质量为m 的物体，其a-t图像如图乙所示，t1～t2时间内起重机的
功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则以下说法正确的是（ ）
A．该起重机的额定功率为ma0
2t1
B．该起重机的额定功率为(mg+ma0)a0(t2-t1)
C．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1:2(t2-t1)
D．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1:2t2
类型2 恒定加速度启动
26. A 车在平直公路上以恒定加速度启动，A 车启动的同时B 车从其旁边沿相同的运动方
向匀速驶过。A 车追上B 车时恰好结束匀加速直线运动，如图所示为两车的v -t图像。已知A
车的额定功率为P，且A 车在运动过程中所受阻力恒定，则下列说法正确的是（ ）
A．A 车追上B 车时，A 车的速度大小为2vB
B．0-t1时间内，A 车所受合力小于B车所受合力
C．0-t1时间内，A 车所受牵引力的大小为P
vB
D．0-t2
时间内，A 车所受牵引力做的功为P(t2-t1)
27. 智慧充电技术的日益成熟，极大促进了电动汽车销量的增长。若一辆电动汽车的质量
为m，额定功率为P。汽车由静止启动后做匀加速直线运动，汽车的速度大小为v 时恰好达到
其额定功率，之后汽车维持额定功率行驶，达到最大速度3v，已知汽车行驶时受到的阻力恒
定。下列说法正确的是 （ ）
A．电动汽车受到的阻力大小为P
3 v
B．电动汽车做匀加速直线运动的加速度大小为P
mv
C．电动汽车做匀加速直线运动的位移为3m v
3
4 P
D．电动汽车做匀加速直线运动的过程中阻力做功为mv
2
4
28. 春节期间多地组织了精彩的无人机表演，某型号无人机的铭牌如图所示，某次表演中
无人机竖直向上运动，已知空气阻力f 与速度v 的关系为f =0.8 v，g=10 m/s
2。则（ ）
[型号]YU—2 [动力]电动
[质量]1200g [额定功率]80W
A．无人机正常工作时能获得的最大速度约为6.67m/s
B．无人机正常工作时能获得的最大速度为5m/s
C．若保证无人机做匀加速运动，则牵引力随时间均匀增大
D．若无人机以额定功率从静止开始向上运动h 速度达v，则克服空气阻力做功为0.4vh
29. 我国新能源汽车发展迅猛，已成为全球最大的新能源汽车产销国。质量为m 的某新能
源汽车在水平路面上以恒定加速度a 启动，其v -t图像如图所示，其中OA 段和BC 段为直线。
已知汽车动力系统的额定功率为P，汽车所受阻力大小恒为f，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车做匀加速运动的最大速度v1= P
ma
B．汽车能达到的最大行驶速度v2=
P
ma- f
C．汽车速度为v1
2
时的功率为P
' = P
2
D．汽车速度为v1+ v2
2
时的加速度大小为a
' =
2 P
m(v1+ v2)
- f
m
30. 如图所示，借助电动机和斜面将质量为20kg 的货物用最短的时间从斜面底端拉到斜
面顶端。货物依次经历匀加速、变加速、匀速、匀减速四个阶段，到达顶端时速度刚好为零。
已知电动机的额定功率为1200W、绳子的最大拉力为300N，绳子与斜面平行，斜面长度为
34.2m，倾角θ=30°，货物与斜面的摩擦因数为
❑√3
3
，减速阶段加速度大小不超过5m/s2，g 取
10m/s2。求：
（1）减速阶段电动机的牵引力T；
（2）货物运动总时间t。
