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第12 讲 功 功率 动能定律
1.会判断功的正负，会计算恒力的功和变力的功.
2.理解功率的两个公式P＝和P＝Fv，能利用P＝Fv 计算瞬时功率.
3.会分析机车的两种启动方式.
4.掌握动能定理，能运用动能定理解答实际问题．
考点一 功的分析与计算
1．功的正负
(1)0≤α<90°，力对物体做正功．
(2)90°<α≤180°，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．
(3)α＝90°，力对物体不做功．
2．功的计算：W＝Fl
cos
_α
(1)α 是力与位移方向之间的夹角，l 为物体对地的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
(3)功是标(填“标”或“矢”)量．
考点二 功率的计算
1．公式P＝和P＝Fv 的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv 是功率的计算式．
2．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．
3．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v 为t 时刻的瞬时速度．
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v 在力F 方向上的分速度．
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F 在速度v 方向上的分力．
情况1.以恒定功率
启动
P－t 图象
v－t 图象
F－t 图象
情况2.以恒定加速
度启动
P－t 图象
v－t 图象
F－t 图象
3.三个重要关系式
(1)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F 阻x
＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率达到最
大，但速度没有达到最大，即v＝<vm＝。
(3)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即
vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F 阻)。
4.倾斜、竖直机车
启动问题
上坡最大速度vm=P/
(f+mgsinθ)
下坡最大速度vm=P/(f-
mgsinθ)
竖直提升最大速度
vm=P/mg
θ(
mgsinθ
P/v
f
θ(
mgsinθ
P/v
f
mg
P/v
考点三 动能定理及其应用
1．表达式：W＝mv－mv＝Ek2－
E k1.
2．理解：动能定理公式中等号表明了合外力做功与物体动能的变化具有等量代换关系．合外力做
功是引起物体动能变化的原因．
3．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．
4．应用技巧：若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．
考点四 用动能定理巧解多过程问题
1．多过程问题的分析方法
（1）将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接。
（2）对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图。
（3）根据“子过程”和“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程。
（4）分析“衔接点”速度、加速度等物理量的关联，确定各段间的时间关联，并列出相
关的辅助方程。
（5）联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。
2．利用动能定理求解多过程问题的基本思路
[例题1] 凤仙花的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。如图所示，两
粒质量相等的种子P、Q从同一位置先后以相同的速率沿不同方向弹射飞出，恰好在M点相撞，
不考虑叶子的遮挡，忽略种子运动过程所受的空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．种子P先弹射飞出
B．种子Q在最高点时速度为零
C．两粒种子相撞前瞬间速度大小相等
D．两粒种子相撞前瞬间，重力对种子Q的功率较大
[例题2] 如图所示，半径为R的四分之一光滑圆弧竖直固定，最低点A放置一质量为m的
物块，可视为质点。物块在方向始终沿圆弧切线的推力F作用下由A运动到B，力F大小恒为
mg。对于该运动过程，下列说法正确的是（ ）
A．力F做功大小为mgR
B．力F做功大小为mgπR
2
C．力F的功率先增大后减小
D．克服重力做功的功率先增大后减小
[例题3] 杭州宇树科技公司研发的人形机器人已能顺利完成侧空翻动作。某次调试过程中，
质量为m的机器人向上跳起并落回原地，跳起后其重心上升的最大高度为h。不计空气阻力，
则机器人在上升第1 个1
4 h与上升第3 个1
4 h过程中重力的平均功率之比为（ ）
A．❑√2:1
B．1:❑√2
C．(2- ❑√3):(❑√2-1)
D．(❑√2-1):(2- ❑√3)
[例题4] 如图所示，是我国某型号“双引擎”汽车在平直公路上由静止启动时，牵引力F
随时间t变化的图像。已知该汽车质量为1250kg，行驶时所受阻力恒为1250 N，t0时刻汽车达
到15 m /s的临界速度并自动切换引擎，此后保持牵引力功率恒定。下列说法正确的是
（ ）
A．汽车刚启动时的加速度大小为4 m /s
2
B．t0时刻前，汽车牵引力的功率保持不变
C．切换引擎后，汽车做匀加速直线运动
D．t1时刻汽车的速率为25 m /s
[例题5] 如图所示，成人用与水平方夹角为α、斜向上的拉力F 向前拉总质量为m 的小孩
和雪橇，从静止开始沿直线匀加速通过距离x 的过程中（ ）
A．雪橇对地面的压力大小是mg-Fcosα
B．雪橇与地面之间摩擦力大小是Fsinα
C．拉力做功是Fx
D．拉力做功是Fxcosα
[例题6] 风洞是空气动力学研究和试验中广泛使用的工具。如图所示，在地面的M 点以
竖直向上的初速度v0抛出一小球，小球抛出后始终受到水平向左的恒定风力作用，竖直方向只
受重力。经过一段时间后小球将以速度水平向左经过N 点，最终落回地面上，不计风力以外的
空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球在N 点之后做平抛运动
B．小球上升和下落过程运动时间相等
C．仅增大初速度，小球的水平位移不变
D．仅增大风力，小球落地瞬间重力的瞬时功率增大
[例题7] 如图所示，在倾角为θ的光滑固定斜面上，与斜面平行、劲度系数为k 的轻弹簧
下端连接在垂直斜面的固定挡板N 上，上端连接质量为m 的物块P，质量也为m 的物块Q 紧
靠着P，整个系统处于静止状态。现给Q 施加一平行于斜面向上的拉力，使Q 缓慢移动，到Q
与P 将要分离时撤去拉力，重力加速度大小为g。则（ ）
A．此过程中拉力的最大值为2mgsinθ
B．此过程中拉力做的功为(mgsinθ)
2
2k
C．撤去拉力瞬间弹簧的弹力大小为0
D．撤去拉力瞬间Q 的加速度大小为1
2 gsinθ
[例题8] 一质量为2kg 的物体沿粗糙水平面向右做直线运动，t＝0 时刻，对物体施加一个
水平向左的恒力F，如图甲所示，取水平向右为正方向，物体的v-t 图像如图乙所示，求：
(1)恒力F 的大小；
(2)4s 内物体克服摩擦力做的功。
题型1 恒力做功
1.
滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端A 上滑，到达最高点 B 后返回到底端A。利
用频闪仪对上滑和下滑过程进行拍摄，频闪照片的示意图分别如图甲、乙所示，比较甲、乙两
图对应的运动过程，下列说法正确的是（ ）
A．图甲过程可能表示下滑过程
B．图甲、乙两过程的加速度大小之比为4：3
C．图甲、乙两过程中摩擦力做的功相等
D．图甲、乙两过程分别经过A 点时的速度大小之比为4：3
2.
2021 年初冬时节，大庆市区下了一场暴雪，降雪量达30 毫米，是1957 年以来最大的
次降雪，某环卫工人利用手推式风力清雪车进行道路清雪，如图所示，已知推力F 斜向下且与
水平方向夹角为θ，清雪车沿水平方向以速度v 做匀速直线运动，则下列说法中正确的是（
）
A．清雪车对人的作用力大小为F cosθ
B．清雪车受到的阻力大小F cosθ
C．推力的功率为Fv
D．无论推力与水平方向夹角多大，都可以推车前进
3.
如图所示，倾角θ =30
∘、足够长的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端有一质量
m=1.2kg的物块，t =0时刻物块在沿斜面向上的恒力F作用下，从斜面底端由静止开始运动，
t =3s时撤去F，t =6s时物块恰好返回斜面底端，取重力加速度大小g=10 m /s
2，求：
(1)撤去F后物块的加速度大小a；
(2)恒力F对物块做的功W 。
题型2 变力做功
4.
一遵从胡克定律、劲度系数为k 的弹性轻绳，绕过固定于平台边缘的小滑轮A，将其
一端固定于O 点，另一端系一质量为m 的小球，静止于M 处。已知OA 的距离恰为弹性绳原
长，现将小球拉至与M 等高的N 处静止释放，MN 的距离为d，则小球从释放到与平台右侧面
碰撞前的过程中（不计空气阻力及绳子和滑轮间的摩擦，小球视为质点，弹性绳始终在弹性限
度内，重力加速度为g）（ ）
A．小球的最大速度为❑√
k d
2
m
B．小球的最大速度为❑√
2k d
2
m
C．小球的最大加速度为kd
2m
D．小球的最大加速度为❑√( kd
m )
2
+ g
2
5.
如图所示，用一个大小不变的力F拉着滑块（视为质点）使其沿半径为R的水平圆轨
道匀速运动半周，若力F的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成60°夹角，则力F做的功
为（ ）
A．FπR
2
B．2 FR
C．FR
D．FπR
6.
质量为m、初速度为零的物体，在按不同规律变化的合外力作用下都通过位移x0。下
列各种情况中合外力做功最多的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 平均功率与瞬时功率
7.
我国“巡天号”地外天体采样机器人着陆某小行星时的最后阶段，需通过引擎反推实
现减速。机器人以初速度v0=8 m /s垂直接近地表时，引擎提供功率恒定的反向推力，功率的
大小P =2.0×10
3 W，使其速度减小到2m /s。由于存在稀薄大气，空气阻力大小f =kv（v为
速度，系数k =0.2N⋅s⋅m
-1），机器人重力保持不变。则速度从8 m /s到2m /s的下落过程
中，机器人的加速度（ ）
A．先增大后减小
B．先减小后增大
C．一直增大
D．一直减小
8.
“谷雨前后，点瓜种豆”是一句农业谚语。如图甲所示为农民伯伯用手抛撒谷粒进行
水稻播种。在某次抛撒的过程中，有两颗质量相同的谷粒1、谷粒2 同时从O 点抛出，初速度
分别为v1、v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上，它们的运动轨迹在同一竖直平面内且相交于
P 点，如图乙所示。忽略空气阻力的影响。则（ ）
A．抛出速度v1<v2
B．在空中运动的过程中，谷粒2 的速度变化率大于谷粒1 的速度变化率
C．谷粒1 先到达P 点
D．两谷粒到达P 点时重力的瞬时功率相同
9.
如图1 所示是某款小游戏，物体需要从平台A 跳跃到前方更高的平台B 上。假设不同
的操作方式会使物体的运动轨迹出现如图2 所示的两种情况，则由图2 可推断出（ ）
A．轨迹甲的起跳速度较大
B．轨迹乙的运动时间较长
C．两条轨迹最高点速度相同
D．两条轨迹起跳瞬间重力的功率相同
题型4 两种机车启动方式及图像分析
10. 一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持汽车发动机恒定的牵引
功率为P，其加速度a 和速度的倒数（1
v
）图像如图所示，若已知汽车的质量为2.4×103kg，运
动过程中阻力保持不变，则根据图像所给的信息，可以求出汽车的功率P= W，汽车行
驶的最大速度vmax = m/s。
11. 2023 年11 月，我国新一代重型步兵车VN20 亮相珠海航展，该步兵车采用独特的设
计理念，是机械化部队的主力装备之一。步兵车的质量为m，若在平直的路面上从静止开始加
速，经时间t 其速度达到最大值vm。设在加速过程中发动机的功率恒为P，步兵车所受阻力恒
为F阻。以下说法正确的是（ ）
A．加速过程中，步兵车做匀加速直线运动
B．步兵车的最大速度vm= P
F阻
C．加速过程中，步兵车的位移大于vm
2 t
D．加速过程中，步兵车所受合外力做的功为Pt
12. 一辆起重机某次从t =0时刻由静止开始竖直提升质量为500kg 的物体，物体的a-t图
像如图所示，2s 后起重机的功率为额定功率，不计空气阻力，取重力加速度大小g=10 m /s
2，
下列说法正确的是（ ）
A．物体在匀加速阶段的位移大小为2m
B．该起重机的额定功率为5.25kW
C．物体的最大速度大小为2.1m /s
D．0~2s和2s~8s时间内牵引力对物体做的功之比为1:8
题型5 应用动能定理求变力做功
13. 奥运会女子艺术体操的球操比赛中，运动员手持橡胶球翩翩起舞的过程中，有时会手
持球在竖直平面内做圆周运动，这一过程可近似看做半径为L 的匀速圆周运动，运动过程中球
所受的空气阻力大小恒为f，且f 小于球的重力，方向与运动方向相反，当地重力加速度为g，
则下列分析正确的是（ ）
A．转到圆心正上方时的最小速度一定是❑√gL
B．转动过程中经过最高点和最低点时，手对球的作用力大小相等
C．转动一周的过程中两次经过圆心等高点时，手对球的作用力大小相等
D．转动一周的过程中人对球做功为2πLf
14. 如图所示，质量为m 的滑块在水平向右的外力F 作用下由静止开始沿水平面运动，运
动过程中外力F 随位移x 的变化满足F = F0-kx（k 为已知定值，k >0），已知滑块与桌面间
的滑动摩擦因数μ= 2 F0
3mg
（g 为重力加速度），下列说法正确的是（ ）
A．滑块最终能回到出发点
B．滑块向右运动的最大位移为2 F0
3k
C．滑块运动的最大速度为F0
3
❑√
1
km
D．从开始运动到物块最终静止，物块与水平桌面因摩擦产生的热量为2 F0
2
3k
15. 如图所示是一儿童游戏的图片，儿童站在固定竖直圆轨道的最低点，用力将一足球由
静止踢出，发现足球能够沿着圆轨道通过最高点，已知轨道半径为R，足球的质量为m，重力
加速度为g，不考虑摩擦和空气阻力作用，由此可判断儿童对小球做的功（ ）
A．可能等于3.6mgR
B．可能等于2.4 mgR
C．可能等于1.2mgR
D．可能等于0.8mgR
题型6 在机车启动问题中应用动能定理
16. 近几年，我国新能源汽车在电池、电机、电控、智能化等关键技术方面持续取得创新
突破，走在世界前列。某品牌新能源汽车在标准测试场地进行了两项测试，第一项百公里加速
测试中，汽车以最大功率从静止加速到100km/h 用时4.5s，加速距离为85m，第二项长距离能
耗测试中，汽车以90km/h 的速度匀速行驶100km 耗电18kW·h。已知该汽车的质量为1.8t，汽
车电机将电能转化为机械能的效率为95%，假设两次测试中汽车受到的阻力相同，下列说法正
确的是（ ）
A．该汽车受到的阻力为715.5N
B．该汽车受到的阻力为495.6N
C．该汽车电机的最大输出功率约为166kW
D．该汽车电机的最大输出功率约为206kW
17. 在平直路面上有一辆质量为m的汽车以额定功率P由静止启动，汽车运动过程中受到
的总的阻力与行驶速度的平方成正比，比例常数为k。这辆汽车加速到最大速度过程中克服阻
力做功为W ，则汽车加速运动阶段所用的时间为（ ）
A．1
2 m
3√
1
Pk - W
P
B．1
2 m
3√
1
Pk + W
P
C．1
2 m 3√
1
P k
2 - W
P
D．1
2 m 3√
1
P k
2 + W
P
18. 汽车研发机构在某款微型汽车的车轮上安装了小型发电机，将减速时的部分动能转化
并储存在蓄电池中，以达到节能的目的。某次测试中，微型汽车以额定功率行驶一段距离后关
闭发动机，测出了微型汽车的动能Ek与位移x 关系图像如图所示，其中①是关闭储能装置时的
关系图线，②是开启储能装置时的关系图线。已知微型汽车的质量为1000kg，为便于讨论，
设其运动过程中所受阻力恒定。根据图像所给的信息可求出（ ）
A．汽车行驶过程中所受阻力为1000N
B．汽车的额定功率为120kW
C．汽车加速运动的时间为22.5s
D．汽车开启储能装置后向蓄电池提供的电能为5×105J
题型7 多过程直线运动问题
19. 如图甲所示，倾角为θ、长为2l 的斜面AC，AB 段光滑，BC 段粗糙，且AB=BC=l。
质量为m 的小物体由A 处静止释放，到C 点恰好停下，BC 段动摩擦因数自上而下逐渐增大，
具体变化如图乙所示，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．动摩擦因数最大值μm=2tanθ
B．小物块的最大速度为3
2
❑√glsinθ
C．重力在AB、BC 两段路面上做功不相等
D．重力在AB 段中间时刻瞬时功率等于在BC 段中间时刻瞬时功率
20. 如图所示，倾角为θ的斜面上有一质量为m的小物块于O点静止释放，物块与斜面的
动摩擦因数μ=kx（k为常数、x为斜面上任意位置到O点的距离），小物块于A点（图中未标
出）达到最大速度并最终停在B点，B
'为斜面上B关于O的对称点，下列说法正确的是
（ ）
A．OB之间的距离为2tanθ
k
B．OA之间的距离大于AB之间的距离
C．OA之间所用的时间小于AB之间所用的时间
D．若小物块从O向上运动恰能到B
'点，则初速度为❑√
4 gsinθtanθ
k
21. 如图所示，某游乐场雪滑梯是由倾斜滑道、水平滑道平滑连接组成。已知倾斜滑道高
度H =11m，它与水平地面夹角θ =25°，水平滑道长度为L，滑道全程动摩擦因数μ=0.2.水平
滑道末端有一光滑球面冰坑，冰坑DE两点高度相同，冰坑的球面半径R =90 m（R远大于弧长
DE）。g=10 m /s
2，sin25° =0.4，cos25° =0.9.游客从雪滑梯顶部由静止下滑。
(1)若游客在冰坑前停下，则水平滑道长度L是多少？
(2)若游客以很小的初速度滑下，刚好能进入冰坑到达E点，求该游客从开始下滑到E点全程所用时
间。（初速度可忽略，结果可以保留π）
题型8 直线曲线运动相结合的多过程问题
22. 如图，在竖直平面内有一固定轨道ABCDE，其中AB 是倾角θ =37°的粗糙斜面，
BCDE 是半径为R 的光滑圆弧轨道，CE 为其水平直径，斜面与圆弧轨道相切于B 点。一质量
为m 的小滑块在大小为5
3 mg（g 为重力加速度大小）、沿斜面向上的恒力F 作用下，从A 点
由静止开始沿轨道运动到E 点（恰好未脱离轨道），通过E 点后立即撤去力F。已知滑块与斜
面AB 间的动摩擦因数为0.5，取sin37° =0.6，cos37° =0.8，不计空气阻力。求：
(1)滑块的重力与力F 的合力大小和方向；
(2)滑块从E 点第一次运动到斜面AB 所用的时间；
(3)滑块到达C 点时对轨道的压力大小。
23. 如图所示，AB 为水平轨道，A、B 间距离s=1.25 m，BCD 是半径为R =0.40 m的竖直
半圆形轨道，B 为圆轨道的最低点，D 为轨道的最高点。有一小物块质量为m=1.0kg，小物
块在F =10 N的水平力作用下从A 点由静止开始运动，到达B 点时撤去力F，物块恰好可以通
过最高点，不计空气阻力以及物块与水平轨道的摩擦。g 取10 m /s
2，求：
(1)小物块通过B 点瞬间对轨道的压力大小；
(2)小物块通过D 点后，再一次落回到水平轨道AB 上，落点和B 点之间的距离大小；
(3)小物块由B 点运动到D 点过程中，阻力所做的功。
24. 一游戏装置如图所示，图中P 为弹射装置，AB 为倾角θ =37°的倾斜直轨道，BC 为水
平轨道，C、D 分别为竖直圆轨道的最低点和最高点，竖直圆轨道与水平轨道相切于C 点，CE
为足够长的倾斜轨道，各段轨道均平滑连接，以A 点为坐标原点，水平向右为x 轴正方向，竖
直向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系。已知：圆轨道半径R=0.3m，轨道AB 长为L1=1m，
轨道BC 长为L2=0.9 m。通过调节弹射装置P 在坐标平面内的位置以及小滑块水平弹出的初速
度，使滑块均能无碰撞从A 点切入轨道AB，滑块与AB、BC 段间动摩擦因数均为μ=0.5，其
余各段轨道均光滑。滑块质量为m=0.3kg，滑块可视为质点，sin37° =0.6，cos37° =0.8，
重力加速度大小为g=10 m /s
2。
(1)若滑块从纵坐标y=0.9m 的某点弹出：
（ⅰ）求滑块弹出时的初速度大小v0；
（ⅱ）试通过计算判断滑块能否通过圆轨道的最高点D。
(2)若滑块从A 点切入后，能进入竖直圆轨道且第一次在圆轨道上运行时不脱离圆轨道，则滑块弹出
时所处位置的纵坐标y 应满足什么条件？
题型9 动能定理的图像问题
25. 某中学运动会的铅球比赛中，某同学将一铅球斜向上抛出。不计空气阻力，则下列关
于该铅球在空中运动的动能Ek与时间t、水平位移x 之间的关系图像，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
26. 如图所示，一倾角为θ、足够长的斜面固定在水平地面上，一可视为质点的物体以初
速度v0从斜面底端滑上斜面，滑回斜面底端时的动能为Ek1，在斜面上运动的总时间为t0。已
知物体受到的阻力大小与其运动速率成正比，沿斜面向上为位移的正方向，取地面处的重力势
能为零，则物体在斜面上运动的整个过程中动能Ek随时间t、Ek随位移x、重力势能Ep随时间t
及Ep随位移x变化的图像可能正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
27. 如图1 所示，上表面光滑的斜面体固定在水平地面上，一个小木块从斜面底端冲上斜
面。图2 为木块的初动能Ek与木块轨迹的最高点距地面高度H的关系图像。由此可求得斜面的
长度为（ ）
A．10
3 h0
B．2❑√2h0
C．4 h0
D．6h0
