第四部分 曲线运动和万有引力 第一节 运动的合成与分解
知识点一 曲线运动
1、定义：物体运动的轨迹是曲线的运动.
2、特点： （1）做曲线运动的质点,在某一点瞬时速度的方向,就是通过该点的曲线的切线方向.
（2）质点在曲线运动中的速度方向时刻在改变,所以曲线运动一定是变速运动,但是变速
运动不一定是曲线运动,如匀变速直线运动.
3、物体做曲线运动的条件：
（1） 从动力学角度看,如果物体所受合外力方向跟物体的速度方向不在同一条直线上,物体就做曲
线运动;
（2）从运动学角度看,如果加速度方向跟速度方向不在同一直线上,则:
① 如果这个合外力的大小和方向都是恒定的,即所受的力为恒力,物体就做匀变速曲线运动,如平
抛运动.
②如果这个合外力大小恒定,方向始终与速度垂直,物体就做匀速圆周运动,匀速圆周运动并非是匀
速运动,即匀速圆周运动是非平衡的运动状态.
③当物体受到合外力与速度的夹角为锐角时,物体运动的速率将增大;当物体受到的合外力与速度
的夹角为钝角时,物体运动的速度将减小.
4、曲线运动的轨迹：做曲线运动的物体,其轨迹向合外力所指的方向弯曲,若已知物体的运动轨迹,
可判断出物体所受合外力的大致方向.
注：如平抛运动的轨迹向下弯曲,圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等.
知识拓展：
1、物体作曲线运动的条件及其速度、加速度的方向
物体做曲线运动的条件是所受合外力不为零，合外力的方向与速度方向有一个不为“0”，也不
为“180”的夹角。
2、曲线运动的特点：
曲线运动跟直线运动的明显区别是它的速度方向时刻在变化，因此，做曲线运动的物体必有
加速度，而且同一时刻加速度和瞬时速度的方向必不在同一直线上。
3、曲线运动的分类：
（1）若力是恒力，物体做匀变速曲线运动，这时物体加速度大小，方向保持不变。比如平抛运动；
（2）若物体受的力是变力，则做变速曲线运动，比如匀速圆周运动。物体做曲线运动，它在某一点
（或某一时刻）的即时速度方向指向曲线的凹的那边，加速度方向与速度方向夹角大于900，物
体速率增大；加速度方向与速度方向夹角大于900，物体速率减小。
典例1、判定对错：
(1)物体做曲线运动时，合力一定是变力。 ( )
(2)物体做曲线运动时，合力一定不为零。 ( )
(3)物体做曲线运动时，加速度一定不为零。( )
答案：(1)× 物体做曲线运动时，合力一定与速度不共线，但不一定变化。
(2)√ 若物体所受合力为零，物体将做匀速直线运动或静止，所以做曲线运动的物体，所受合力一
定不为零。
(3)√ 物体做曲线运动时速度不断变化，所以加速度一定不为零。
随堂练习：1、一个物体以初速v0从A 点开始在光滑水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体
的运动轨迹如图中实线所示，图中B 为轨迹上的一点，虚线是过A、B 两点并与轨迹相切的直线，
虚线和实线将水平面划分为5 个区域，则关于施力物体的位置，下面说法正确的是( )
A.如果这个力是引力，则施力物体一定在⑤区域 B.如果这个力是引力，则施力物体一定在②区域
C.如果这个力是斥力，则施力物体可能在②区域 D.如果这个力是斥力，则施力物体可能在③区域
答案:C 解:物体做曲线运动时，受合外力方向总是指向曲线的凹侧.由此知物体若是受引力作用，施
力物体定在④区域，若受斥力作用，则施力物体是在②区域.
知识点二 运动的合成与分解
1、定义：已知分运动求合运动叫做运动的合成,已知合运动求分运动叫做运动的分解.
2、运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量,即位移、速度、加速度的合成与分解.由于它们都是
矢量,所以都遵从平行四边形定则.
（1）两分运动在同一直线上时,同向相加,反向相减.例如,竖直抛体运动看成是竖直方向的匀速运动(v0t)和自由
落体运动
)的合成.下抛时
; 上抛时
（2）不在同一直线上,按照平行四边形定则进行合成,如图所示.
（3）两分运动垂直时或正交分解后的合成
注：运动的分解要按实际效果进行分解对解决实际问题才有意义.
一个速度按矢量运算法则分解为两个分速度,数量关系上也许无误,但若与实际情况不符,则所得
分速度毫无物理意义,所以速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解.常用的思想方法有
两种:一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移,看看这个位移产生了什么效果,然后从中找到运动分
解的方法;另一种思想方法是先确定合运动的速度方向(这里有一个简单的原则:物体的实际运动方向
就是合速度的方向),然后分析由这个合速度所产生的实际效果,以确定两个分速度的方向.
知识拓展：
1、合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：各分运动之间互不相干、彼此独立、互不影响。
(3)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。
2、合运动性质的判断：分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运
动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断。
(1)判断是否做匀变速运动
①若a＝0，物体沿合初速度v0的方向做匀速直线运动。
②若a≠0 且a 恒定，物体做匀变速运动。 ③若a 变化，物体做非匀变速运动。
(2)判断轨迹的曲直
①若a 与v0共线，物体做直线运动。 ②若a 与v0不共线，物体做曲线运动。
3、合位移和合速度的计算
位移和速度的合成与分解都遵循平行四边形定则。例如：上图中蜡块在水平和竖直两个方向均做
匀速直线运动时，设速度分别为vx、vy，则经过时间t，蜡块在水平方向的位移x＝v xt，竖直方向的
位移y＝vyt，蜡块的合位移为l＝＝ t，设位移与水平方向的夹角为α，则tanα＝＝，蜡块的合速
度v＝，合速度方向与vx方向的夹角θ 的正切值为tanθ＝。
4、运动的分解：运动的分解是运动合成的逆运算，可以将曲线运动问题转化为直线运动问题。
典例2、关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是( )
A.一定是直线运动 B.一定是抛物线运动
C.可能是直线运动，也可能是抛物线运动 D.以上说法都不对
答案:C
解:两个运动的初速度合成、加速度合成如图所示，当a 与v 重合时，物体做直线运动；当a 与v 不
重合时，物体做抛物线运动.由于题目没有给出两个运动的加速度和初速度的具体数值及方向，所
以以上两种情况都有可能，故正确选项为C.
随堂练习：(多选)质量为2 kg 的质点在xOy平面内做曲线运动，在x 方向的速度图像和y 方向的位
移图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度大小为5 m/s B．质点所受的合外力为3 N，做匀变速曲线运动
C．2 s 末质点速度大小为6 m/s D．2 s 内质点的位移大小约为12 m
答案：ABD
解：由x 方向的速度图像可知，在x 方向的初速度为3 m/s，加速度为1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由y
方向的位移图像可知在y 方向做匀速直线运动，速度为vy＝－4 m/s，受力Fy＝0。因此质点的初速
度大小为5 m/s，A 正确；受到的合外力为3 N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条
直线上，质点做匀变速曲线运动，B 正确；2 s 末质点速度大小应该为v＝ m/s＝2 m/s，C 错误；2
s 内，x＝vx0t＋at2＝9 m，y＝－8 m，合位移大小l＝ ＝ m≈12 m，D 正确。
解题思路与方法
一、曲线运动条件的应用
物体做曲线运动的动力学条件是，合外力的方向跟物体的速度方向不在同一条直线上，物体就做
曲线运动，并且合外力的方向应指向曲线的“凹”的一方.当物体所受的合外力方向与速度方向的夹
角为锐角时，物体做曲线运动的速率将增大；当物体所受的合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，
物体做曲线运动的速率将减小；当物体所受的合外力方向与速度方向垂直时，物体做曲线运动的速
率保持不变.当合外力恒定时，不管它与速度方向的夹角如何（不在一条直线上），物体都做匀变速
曲线运动.从运动学角度看，曲线运动的条件，就是加速度方向与速度方向不在同一直线上。
随堂练习：1、如图甲所示，物体在恒力F 的作用下沿曲线从A 运动到B，这时突然使它所受的力反
向而大小不变（即将F 变为-F），在此力作用下，关于物体以后的运动情况，下列说法正确的是（
）
A.物体可能沿曲线Ba 运动 B.物体可能沿直线Bb 运动
C.物体可能沿曲线Bc 运动 D.物体可能沿原曲线由B 到A
答案：C
解：物体从A 运动到B，做的是曲线运动，所以F 的方向和速度方向成一夹角，如图乙所示，其可能
的方向有很多，但是都必须指向AB 的凹侧.当将F 变为-F 时，物体仍然要做曲线运动，并且只能是
沿Bc 方向做曲线运动，C 正确.
2、翻滚过山车是大型游乐园里比较刺激的一种娱乐项目。如图所示，过山车(可看成质点)从高处冲
下，过M 点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C 三点。下列说法正确的是( )
A．过山车做匀速运动 B．过山车做变速运动
C．过山车受到的合外力等于零 D．过山车经过A、C 两点时的速度方向相同
答案 B
解：过山车做曲线运动，其速度方向时刻变化，速度是矢量，故过山车的速度是时刻变化的，即过
山车做变速运动，A 错误，B 正确；做变速运动的物体具有加速度，由牛顿第二定律可知物体所
受合外力一定不为零，C 错误；过山车经过A 点时速度方向竖直向上，经过C 点时速度方向竖直
向下，D 错误。
二、关于运动的分解——绳拉船模型
如何进行运动的分解是一个难点.首先应该找到合速度，合速度就是物体实际运动的速度.运动分
解的原则，要根据物体实际运动的效果分解；另一个方法就是正交分解，即按两个相互垂直的方向
分解.注意合运动和分运动的“三性”，即等时性、独立性和等效性.
绳拉小船问题是运动的分解中较难理解的一种，一人在岸边通过定滑轮拉一小船.
显然，人在岸边拉绳产生了两个效果，相当于有两个分运动：一个是使连接船的绳子OB 段变短
了，相当于有一个沿OB 拉绳子的运动，由于绳子不可伸长，故人拉绳子的快慢和OB 段绳缩短的快慢
相同；另一个效果是使绳子与竖直方向的夹角θ 变小了，这个效果相当于按住O 点不动，使绳头B
点绕O 点做圆周运动，并且这两个分运动互不干扰.因此把绳头B 点的速度v（小船实际运动的速度，
即合速度）沿绳的方向和垂直于绳的方向分解，v 沿绳方向的分速度v2就等于人拉绳的速度.
随堂练习：1、如图所示，汽车以速度v 匀速行驶，试分析物体M 受到的绳的拉力T 与重力的关系.
解：汽车运动对绳子产生了两个效果：沿绳子方向拉绳子的运动，设此速度为v1，物体M 升高的速度
就等于v1；垂直于绳子方向使绳子以滑轮为轴向上转动的运动，设此速度为v2，
根据直角三角形的边角关系得：v1=vcosθ,随着车的运动，角θ 减小，v1变大，即物体M 加速上
升，故绳的拉力T 大于重力.
三、关于运动的合成——小船渡河问题
1、三个速度：v 船(船在静水中的速度)、v 水(水流速度)、v 合(船的实际速度)。
2、两个问题：
（1）渡河时间：a．船头与河岸成α 角时，渡河时间为t＝(d 为河宽)。
b．船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d 为河宽)。
（2）最短航程：①若v 水＜v 船，则当合速度v 合垂直于河岸时，航程最短，xmin＝d。
船头指向上游与河岸的夹角α 满足cosα＝。如图①所示。
②若v 水＞v 船，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图②所示，以v 水矢量的末端为圆心、
以v 船矢量的大小为半径画圆弧，从v 水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最
短，由图可知船头指向上游与河岸的夹角α 满足cosα＝， 最短航程xmin＝＝d。[来om]
3、关联速度问题
(1)对关联速度的理解
用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。
(2)关联速度问题的解题步骤
①确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。
②分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。合运动所产生的实际效果：一方面产生
使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。两个分速度的方向：沿绳
或杆方向和垂直于绳或杆方向。常见的模型如图所示：
③沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：v＝v∥(甲图)；v∥＝v∥′(乙图、丙图)。
随堂练习：1、一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在静水中的速度为v2＝5
m/s，则：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)如果其他条件不变，水流速度变为6 m/s。船过河的最短时间和最小位移是多少？
答案：(1)船头垂直于河岸 36 s 90 m (2)船头偏向上游，与河岸夹角为60° 24 s 180 m
(3)36 s 216 m[来
解答：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示。
时间t＝＝ s＝36 s，v 合＝＝ m/s，位移为x＝v 合t＝90 m。
(2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，
如图乙所示，有v2cosβ＝v1，得β＝60°。最小位移为xmin＝d＝180 m，
所用时间t′＝＝＝ s＝24 s。
(3)最短渡河时间只与v2有关，与v1无关，当船头垂直于河岸渡河时时间最短，t＝＝36 s。
当水流速度变为6 m/s 时，即v1＞v2，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图丙所示，
以v1矢量的末端为圆心、以矢量v2的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿
此切线方向时航程最短，设船头与上游河岸夹角为α，则cosα＝，
最小位移为xmin＝＝d＝×180 m＝216 m。
注：小船渡河的最短时间与最短航程
(1)不论水流速度多大，船头垂直于河岸渡河，时间最短，tmin＝，且这个时间与水流速度大小无关。
(2)当v 水＜v 船时，合运动的速度方向可垂直于河岸，最短航程为河宽。
(3)当v 水＞v 船时，船不能垂直到达河对岸，但仍存在最短航程，当v 船与v 合垂直时，航程最短，
最短航程为xmin＝d。
2、河宽60 m，水流速度为6 m/s，小船在静水中速度为3 m/s，则它渡河的最短时间是多少？最短
航程是多少米？
解：根据运动的独立性，船垂直河岸行驶时，渡河时间最短，如图所示.
当v2>v1时，合速度v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽，而本题v2<v1，合速度v 不可能与河岸
垂直，只有当v 方向越接近垂直
河岸方向，航程越短.可由几何方法求得，即以v1的末端为圆心，以v2的长度为半径作圆，从v1
的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程方向，如图所示，船头应偏向上游.
课 堂 练 习
1、关于曲线运动，下列说法正确的是( )
A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B．物体在变力作用下一定做曲线运动
C．做曲线运动的物体，其速度大小一定变化
D．加速度(不为0)不变的运动可能是曲线运动
答案：D
解：物体做曲线运动的条件是合外力方向与速度方向不在同一条直线上，而不一定是恒力或变力，
A、B 错误；做曲线运动的物体速度方向变化，但速度大小和加速度不一定变化，C 错误，D 正确。
2、自然界中有很多物体做曲线运动，在所有的曲线运动中，物体的运动速度( )
A．方向一定改变 B．方向一定不变 C．大小一定改变 D．大小一定不变
答案：A
解：物体速度方向为运动轨迹切线方向，则曲线运动的速度方向一定会发生变化，大小有可能不变，
也有可能改变，故A 正确，B、C、D 错误。
3、帆板在海面上以速度v 朝正西方向运动，帆船以速度v 朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
答案：D
解：以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v 和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为
v，方向朝北偏东45°，故D 正确。
4、如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保
持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )
A．大小和方向均不变 B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变
答案：A
解：橡皮在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动，其合运动仍是匀速直线运动，
其速度大小和方向均不变，故选A。
5、如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A,小车下装有吊着物体B 的吊钩.在小车A
与物体B 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时,吊钩将物体B 向上吊起,A\,B 之间的距离以
d=H-2t2(SI)(SI 表示国际单位制,式中H 为吊臂离地面的高度)规律变化,则物体做( )
A.
速度大小不变的曲线运动
B.速度大小增加的直线运动
C.加速度大小、,方向均不变的曲线运动
D.加速度大小、,方向均变化的曲线运动
答案：C
解：由题意可知物体B 的运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上初速度为零的匀加
速直线运动,物体的合速度的方向时刻变化,大小不断增加,选项A 错误,B 错误.加速度等于竖直方
向的加速度,大小和方向都不变,所以选项C 正确,D 错误.
6、在一端封闭,长约1 m 的玻璃管内注满清水,水中放一个红蜡做的小圆柱体R,将玻璃管的开口端用
橡胶塞塞紧(如图甲).将玻璃管倒置(如图乙),
蜡块沿玻璃管匀速上升.再次将玻璃管上下颠倒,在蜡块上升的同时,让玻璃管沿水平方向向右(设
为x 方向)做匀加速直线移动(如图丙).在图中能正确反映蜡块运动轨迹的是( )
答案：C
解：由于合运动的加速度水平向右,所以红蜡将做曲线运动,且弯向右侧,选项C 正确.
7、河水的流速随离河岸的距离的变化关系如图1 所示,船在静水中的速度与时间的关系如图2 所示.
若要使船以最短时间渡河,则下列说法错误的是( )
A.渡河的最短时间为100 s B.船在行驶过程中,船头始终与河岸垂直
C.船在河水中航行的轨迹是一条直线 D.船在河水中最大速度是5 m/s
答案：C
解：渡河时间最短时,船头指向垂直河岸方向,最短时间
选项A 对,B 对.因为水的流速
是变化的,则合速度也是变化的,故航行轨迹不是直线,由题图可知,水流速最大为4 m/s,则船在
河水中最大速度是
选项C 错,D 对.
8、如图所示,竖直平面内放一直角杆,杆的水平部分粗糙,竖直部分光滑,两部分各套有质量分别为
mA=2.0 kg 和mB=1.0 kg 的小球A 和B,A 球与水平杆间的动摩擦因数μ=0.20,A\,B 间用不可伸长的
轻绳相连,图示位置处OA=1.5 m,OB=2.0 m,取g=10 m/s2.若用水平力F 沿杆向右拉A,使B 以1 m/s
的速度匀速上升,则在B 经过图示位置上升0.5 m 的过程中,拉力F 做了多少功?
答案：6.8 J 解：A、B 两球运动的分解情况如图.由平行四边形定则可知v 绳=vBcosθ,v 绳=vAsinθ
解得vA=vBcotθ 由几何知识可得
B 上升h=0.5 m 后,θ=53°,vA′=
m/s
取A、B 为整体,水平杆对A 的支持力恒为FN=(mA+mB)g A 受水平向左的摩擦力恒为Fμ=μFN
对A、B 组成的系统，由功能关系得：
其中s=h,解得WF=6.8 J.
课 后 练 习
1、如图所示，玻璃生产线上，宽为d 的成型玻璃以v1速度连续不断地在平直的轨道上前进，在切割
工序处，金刚石切割刀以相对的速度v2切割玻璃，且每次割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，以
下说法正确的是( )
A.切割一次的时间为
B.切割刀切割一次所走的距离为
C.速度v2的方向应由O 指向c，且cosθ
D.速度v2的方向应由O 指向a，且v1与v2的合速度方向沿Ob
答案:C
解:因玻璃板以速度v1匀速前进，而刀具对其相对速度必须为垂直于v1方向才能割成矩形，故刀具对
地速度方向方向沿Oc 才有可能，且此时刀具有平行于v1 方向上有v1 大小的分速度，则
v2cosθ=v1，切割一次用时t=
.
2、右图中，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连.由于B 的质量较大，
故在释放B 后，A 将沿杆上升，当A 球上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，
若这时B 的速度为v2，则( )
A.v2=v1 B.v2＞v1 C.v2≠0 D.v2=0
答案:D
解:环上升过程其速度v1可分解为两个分速度v∥和v⊥，如图所示，其中v∥为沿绳方向的速度，其大
小等于重物B 的速度v2；v⊥为绕定滑轮转动的线速度.关系式为v2=v1cosθ,θ 为v1与v∥间的夹角.
当A 上升至与定滑轮的连线水平的位置时，θ=90°，cosθ=0.即此时v2=0.D 正确.
3、（多选）一快艇要从岸边某不确定位置处到达河中离岸中100 m 远的一浮标处，已知快艇在静水
中的速度vx图象和流水的速度vy图象如图甲、乙所示，则( )
A.快艇的运动轨迹为直线
B.快艇的运动轨迹为曲线
C.能找到某一位置使最快到达浮标处的时间为20 s
D.最快到达浮标处经过的位移为100 m
答案:BC
解:艇沿河岸方向的匀速运动与垂直河岸的匀加速运动的合运动是类平抛性质的曲线运动.最快到达
浮标处的方式是使垂直河岸的速度vx 保持图甲所示的加速度a=0.5 m/s2 的匀加速运动，则
代入x=100 m 有t=20 s.但实际位移为
100 m,D 项错.
4、（多选）一物体在力F1、F2、F3、……、Fn 的共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去力F1，其
他力不变，则该物体( )
A.可能做曲线运动
B.可能做直线运动
C.必定沿F1的方向做直线运动
D.必定沿F1的反方向做匀减速直线运动
答案:AB
解: 由于物体做匀速直线运动，故原n 个力的合力为零.当去掉力F1后，剩余的n-1 个力的合力F 合′
与F1大小相等、方向相反，去掉力F1后，物体的运动有三种情形：一是原速度方向与F1反向，
去掉F1后，物体将做匀加速直线运动；二是原速度方向与F1同向，去掉F1后，物体将做匀减速
直线运动；三是原速度方向与F1不在同一条直线上，则去掉F1后，物体将做曲线运动.
5、（多选）如图所示，小船从A 码头出发，沿垂直于河岸的方向渡河，若河宽为d，渡河速度v 船
恒定，河水的流速与到河岸的最短距离x 成正比，即
k 为常量），要使小船能够到
达距离A 正对岸为s 的B 码头，则( )
A.v 船应为
B.v 船应为
C.渡河时间为
D.渡河时间为
答案:AC
解: 根据运动的合成和分解的知识，因为小船垂直于河岸航行，过河时间与水的速度无关，又河水
的流速与到河岸的最短距离x 成正比，即
k 为常量）,因v 水∝x，且
，则沿
x 方向
过河时间t
C 对；
A 对.
6、（多选）以下说法正确的是( )
A.物体受恒定的合外力作用，一定做匀变速直线运动
B.物体受恒定的合外力作用，可能做匀变速曲线运动
C.物体受变化的合外力作用，加速度大小一定变化
D.物体受的合外力为零，可能静止也可能做匀速直线运动
答案:BD
解:物体所受合外力与初速度不在一条直线上时，做曲线运动，A 错，B 对；合外力变化，或大小变，
或方向变，或均变，则加速度做相应的变化，C 错；合外力为零，则可静止或做匀速直线运动，D 对.
7、（多选）研究某一物体运动时，得到如图所示的一段运动轨迹，下列判断正确的是( )
A.若x 方向始终匀速，则y 方向先加速后减速 B.若x 方向始终匀速，则y 方向先减速后加速
C.若y 方向始终匀速，则x 方向先加速后减速 D.若y 方向始终匀速，则x 方向先减速后加速
答案:BC
解:本题利用平抛运动模型的图象进行分析，在x 方向始终匀速则y 方向是先减速后加速.若在y 方向
始终匀速则在x 方向是先加速后减速，故正确的答案为BC.
8、（多选）在民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓放箭射击侧向的固定
目标.假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2.跑道离固定目标的最近
距离为d.则( )
A.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为
B.要想命中目标且箭在空中飞行时间最短，运动员放箭处离目标的距离为
C.箭射到靶的最短时间为
D.只要击中侧向的固定目标，箭在空中运动合速度的大小
答案:BC
解:运动员垂直运动方向射箭，箭在空中飞行时间最短，箭射到靶的最短时间为
选项C 对；要想
命中目标且箭在空中飞行时间最短，箭在空中运动的合速度的大小
运动员放箭处离目
标的距离为
选项A 错B 正确；如果只是要求击中目标，则运动员不一定垂直运动方向射
箭，箭在空中运动的合速度的大小不一定为
，选项D 错.
9、如图所示，重物A、B 由刚性绳拴接，跨过定滑轮处于图中实线位置，此时绳恰好拉紧，重物静止
在水平面上，用外力水平向左推A，当A 的水平速度为vA 时，如图中虚线所示，求此时B 的速度
vB=______
.
答案
解:A、B 通过绳子连接，由于绳子是不可伸长的，故A、B 沿绳子方向的分速度应相等，
即vAcos30°=vBcos60°,推导可得B 的速度
10、有一小船正在横流一条宽为30 m 的河流，在正对岸下游40 m 处有一危险水域，假若水流速度为
5 m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸.那么，小船相对于静水的最小速度是多少？
答案:3 m/s
解: 根据题意，船实际航行方向至少满足与河岸成37°夹角，则根据速度的矢量合成，船的速度为
矢量三角形中图示的v 船时，既能保证沿虚线移动，不进入危险区，又满足速度值最小.
因此v min=v 水·sin37°=3 m/s
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1、如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体M、N 的质量分别为m1 和m2，且
m1<m2。若将N 从位置A 由静止释放，当落到位置B 时，N 的速度为v2，绳子与竖直方向的夹角为
θ，则这时M 的速度大小v1等于( )
A．v2sinθ B. C．v2cosθ D.
答案：C
解：N 的实际运动情况是沿杆竖直下滑，这个实际运动是合运动。M 的速度与绳上各点沿绳方向的速
度大小相等，所以绳的速度等于M 的速度v1，合速度v2可分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳的
分速度。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出M 的速度大小为v1＝v2cosθ，故C 正确。
2、(多选)质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，保持其他力不变，
则质点( )
A．一定做匀变速运动 B．一定做直线运动
C．一定做非匀变速运动 D．可能做曲线运动
答案：AD
解：质点在恒力作用下产生恒定的加速度，加速度恒定的运动一定是匀变速运动，由题意可知，当
突然撤去F1时，质点受到的合力大小等于F1的大小，方向与F1相反，故A 正确，C 错误；在撤去
F1之前，质点保持平衡，有两种可能：一是质点处于静止状态，则撤去F1后，质点做匀变速直线
运动；二是质点处于匀速直线运动状态，则撤去F1后，质点可能做直线运动(条件是：F1的方向
和速度方向在同一条直线上)，也可能做曲线运动(条件是：F1的方向和速度方向不在同一条直线
上)，故B 错误，D 正确。
3、(多选)如图所示，一个质点沿轨道ABCD 运动，图中画出了质点在各处的速度v 和质点所受合力F
的方向，其中可能正确的是( )
A．A 位置 B．B 位置 C．C 位置 D．D 位置
答案：BD
解：当F＝0 时，质点将做直线运动，故A 错误；曲线上点的速度方向为该点的切线方向，轨迹向合
力的方向一侧弯曲，故B、D 正确，C 错误。
4、(多选)在光滑水平面上有一质量为2 kg 的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动。现突然将与
速度反方向的2 N 的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是( )
A．物体做速度大小不变的曲线运动
B．物体做加速度为 m/s2的匀变速曲线运动
C．物体做速度越来越大的曲线运动
D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
答案：BC
解：由题意知，合力与速度方向夹角为45°，物体做速度增大的匀变速曲线运动，合力F＝2 N，故
加速度a＝＝ m/s2，B、C 正确，A、D 错误。
5、(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为
θ 时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时( )
A．人拉绳行走的速度为vcosθ B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为 D．船的加速度为
答案：AC
解：船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将
船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v 人＝v∥＝vcosθ，A 正确，B 错误；绳对船的
拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ 角，因此Fcosθ－f＝ma，解得a
＝，C 正确，D 错误。
6、南风速度为4 m/s，大河中的水流正以3 m/s 的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的
烟柱是竖直的，求轮船相对于水的航行速度是多大？什么方向？
答案：5 m/sθ=37°
解:如图所示，烟柱竖直，轮船实际运动的方向应同风速方向相同，即v 合=4 m/s，所以v 船=5 m/s，
sinθ=
，所以θ=37°.
7、如图所示，A 和B 分别表示足球门的左、右两个门柱.足球以10 m/s 速度运动到C 处时速度方向与
AB 连线平行且向右，设∠BAC=90°,∠ACD=30°，足球运动员朝CD 方向踢球，使球获得沿该方向
的速度至少多大时，才不致使球从B 门柱向右方飞出门外？
解:设足球水平向右的速度为v1=10 m/s，沿CD 方向速度为v2.若使足球正好打到门柱B 上，足球的合
速度方向应沿CB 方向，则速度分解的平行四边形如图所示：
应用正交分解法得：vx=v1+v2sin30°=vcos45° vy=v2cos30°=vsin45°
由上式可得： v1+v2sin30°=v2cos30° v2(cos30°-sin30°)=v1
解得：
/s=27.3 m/s
则，当v2=27.3 m/s 时，足球打到B 门柱上，
当v2＞27.3 m/s 时，足球打进门.
当v2＜27.3 m/s 时，足球从B 门柱向右边飞出去.
由上述可知，要使球不从B 门柱右方飞出门外，应满足v2≥27.3 m/s
8、一条河宽为L＝900 m，水的流速为v＝50 m/s，并在下游形成壮观的瀑布。一艘游艇从距离瀑布
水平距离为l＝1200 m 的上游渡河。
(1)为了不被冲进瀑布，游艇船头指向如何才能使航行速度最小，最小值为多少？
(2)在(1)的情况中游艇在河中航行的时间为多少？
答案：(1)船头与河岸成53°角指向上游 30 m/s (2)37.5 s
解：(1)为了不被冲进瀑布，而且速度最小，则游艇的临界航线OA 如图所示。船头应与航线垂直，并
偏向上游，由几何关系可得tanα＝＝，故α＝37°，
船头与河岸成53°角并指向上游， vmin＝vsinα＝v＝3 0 m/s。
(2)在(1)中情况下，游艇在河中航行的时间为 t＝＝＝37.5 s。
