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专题10 动能定理的应用
题型一 动能定理的理解.........................................................................................................................1
题型二 动能定理与图像的结合.............................................................................................................3
类型1 Ek-x 图像问题.......................................................................................................................4
类型2 F-x 图像与动能定理的结合................................................................................................6
类型3 其他图像与动能定理的结合..............................................................................................8
题型三 动能定理在多过程问题中的应用...........................................................................................11
类型1 动能定理在直线运动与圆周运动的结合的应用............................................................11
类型2 动能定理在直线运动与平抛运动的结合的应用............................................................13
类型3 动能定理在往返运动问题中应用....................................................................................14
题型一 动能定理的理解
1．表达式：W＝Ek2－Ek1＝ΔEk.
其中Ek2＝mv 表示一个过程的末动能，Ek1＝mv 表示这个过程的初动能．W 表示这个过程中合力做的功．
2．关于动能定理的几点说明
(1)W 的含义：包含重力在内的所有外力所做功的代数和．
(2)W 与ΔEk的关系：合力做功是引起物体动能变化的原因．如果合力对物体做正功，物体的动能增
加；如果合力对物体做负功，物体的动能减少；如果合力对物体不做功，物体的动能不变．
(3)动能定理的实质：功能关系的一种具体体现，物体动能的改变可由合外力做功来度量．
3．应用动能定理解题的优点
(1)动能定理对应的是一个过程，只涉及到物体初、末状态的动能和整个过程合力做的功，无需关心
中间运动过程的细节，而且功和能都是标量，无方向性，计算方便．
(2)当题目中不涉及a 和t，而涉及F、x、m、v 等物理量时，优先考虑使用动能定理．
(3)动能定理既适用于恒力作用过程也适用于变力作用过程，既适用于直线运动也适用于曲线运动，
既适用于单个物体也适用于多个物体，特别是变力及多过程问题，动能定理更具有优越性．
4．应用动能定理解题的一般步骤
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程．
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和．
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2.
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的解题方程，求解并验算．
1.
如图所示，质量为m 的物体静止在倾角为θ 的斜面上，现将斜面沿水平方向向右匀速
移动了距离x，物体相对斜面静止。则（ ）
A．重力对物体做正功
B．支持力对物体不做功
C．摩擦力对物体不做功
D．合力对物体做功为零
2.
物体a、b 质量分别为ma 和mb，且ma<mb，它们的初动能相同。若a 和b 分别只受
到恒定阻力Fa 和Fb 的作用，经过相同的时间停下来，它们的位移分别为xa 和xb。下列说法
正确的是（ ）
A．Fa>Fb，xa<xb
B．Fa>Fb，xa>xb
C．Fa<Fb，xa>xb
D．Fa<Fb，xa<xb
3.
投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，
射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”如图所示，甲、乙两人在不同位置沿水平方
向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为37°和53°。已知两支箭的质量、竖
直方向下落高度均相等，忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响（sin 37°＝0.6，cos 37°
＝0.8，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6），下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人所射箭的初速度大小之比为16 9∶
B．甲、乙两人所射箭落入壶口时的速度大小之比为3 4∶
C．甲、乙两人投射位置与壶口的水平距离之比为9 16
∶
D．甲、乙两人所射箭落入壶口时的动能之比为16 9∶
4.
某个雨滴从空中由静止开始下落，在速度不太大时，其受到的阻力与速率成正比，即
，其中k =1×10
-4 N ⋅s⋅m
-1。雨滴下落过程中，重力的功率P 随加速度a 变化的P -a
图像如图所示。重力加速度取g=10 m /s
2。下列说法正确的是（ ）
A．雨滴的质量为1×10
-3kg
B．雨滴所能达到的最大速度为100 m /s
C．当重力功率为5×10
-3 W时，雨滴受到的阻力为5×10
-3 N
D．当雨滴速度为5 m /s时，其动能增加最快
5.
如图所示，光滑斜面底端与半径为R的光滑半圆形轨道平滑连接，整个轨道和斜面都
在竖直平面内。一个小球（可视为质点）从斜面顶端A 处由静止释放，通过半圆形轨道最高点
B时，恰好对轨道的压力为零。小球过B点后垂直打在斜面上。重力加速度为g，不计空气阻
力，求：
(1)斜面顶端到地面的高度；
(2)斜面与水平面夹角θ的正切值。
题型二 动能定理与图像的结合
1．解决物理图像问题的基本步骤
(1)观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义。
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式。
(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图
线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函
数关系式求物理量。
2.图像所围“面积”和图像斜率的含义
3.解决动能定理与图像问题的基本步骤
类型1 Ek-x 图像问题
6.
将一个小球竖直向上抛出，一段时间后，小球落回抛出点。上升和下降的过程中，小
球的动能Ek随高度h（相对于抛出点）的变化关系如图所示。若小球受到的空气阻力大小恒定，
重力加速度g=10 m /s
2，则小球的质量m 和空气阻力f 的大小正确的是（ ）
A．f =2.5 N
B．f =5 N
C．m=2kg
D．m= 4 kg
7.
质量为1kg的物体以50J的初动能在粗糙的水平面上滑行，其动能的变化与位移的关
系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．物体运动的初速度大小为10 m /s
B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.1
C．物体运动过程中摩擦力的平均功率为20 W
D．物体运动的加速度大小为2.5 m /s
2
8.
如图甲所示，水平传送带在电动机的带动下保持速度v0顺时针运转，一物块从传送带
的左端轻放，此后物块在传送带上运动整个过程的动能与位移的关系图像如图乙所示，重力加
速度为g，图中Ek❑0、x0均为已知量，求：
(1)物块的质量以及物块在传送带上运动的时间；
(2)物块与传送带之间的动摩擦因数以及因摩擦而产生的热量。
9.
冬梦飞扬，冬奥梦圆。第二十四届冬季奥林匹克运动会在北京开幕。跳台滑雪是一项
深受勇敢者喜爱的滑雪运动。图（甲）为某跳台滑雪运动员从跳台a（长度可忽略不计）处沿
水平方向飞出、经2s 在斜坡b 处着陆的示意图，图（乙）为运动员从a 到b 飞行时的动能Ek
随飞行时间t 变化的关系图像。不计空气阻力作用，重力加速度g 取10 m /s
2，则下列说法正
确的是（ ）
A．斜坡的倾角为30°
B．运动员在a 处的速度大小为20m/s
C．运动员运动到b 处时重力的瞬时功率为1.2×10
4 W
D．运动员在0.8s 末时离坡面的距离最大
10. 新能源汽车（纯电汽车）的储能装置可以将减速时的部分动能转化为电能并储存在蓄
电池中。某次新能源汽车测试过程记录如下：汽车以额定功率匀速行驶一段距离后关闭驱动电
机，测出了新能源汽车的动能Ek与位移x关系图像如图所示，其中①是关闭储能装置仅在摩擦
阻力作用下的关系图线，②是开启储能装置时的关系图线。已知新能源汽车的质量为1000kg，
为便于讨论，设其运动过程中所受摩擦阻力恒定。根据图像所给的信息可求出
A．汽车行驶过程中所受阻力为2000 N
B．汽车的额定功率为120kW
C．汽车开启储能装置后向蓄电池提供的电能为5×10
5J
D．汽车开启储能装置后储存电能的功率逐渐增大
类型2 F-x 图像与动能定理的结合
11. 如图甲所示，轻质弹簧放置在倾角为30°的光滑斜面上，底部固定，上端与质量为m
的物块相连，当弹簧压缩量为l1时，物块由静止开始向下运动，当弹簧压缩量为l2时，物块的
速度正好为0。在此运动过程中，弹簧对物块的弹力F 与弹簧的压缩量l 的关系图像如图乙所
示，重力加速度为g，下列说法中错误的是（ ）
A．物块的动能与弹簧的弹性势能都增加
B．物块重力势能变化量的大小为1
2 mg(l2-l1)
C．此过程中物块克服弹簧弹力做功为(F1+ F2)(l2-l1)
2
D．当弹簧的压缩量等于mg(l2-l1)
2(F2- F1)
时，物块的速度最大
12. 有一段粗糙轨道AB 长为S，第一次物块以初速度v0由A 出发，向右运动达到B 时速
度为v1，第二次物块以初速度v0由B 出发向左运动。以A 为坐标原点，物块与地面的摩擦力f
随x 的变化如图，已知物块质量为m，下列说法正确的是（ ）
A．物块在第一次运动中做匀减速直线运动
B．f-x 图像的斜率为m
2s
2 （v0
2- v1
2）
C．第二次能到达A 点，且花费时间较第一次长
D．两次运动中，在距离A 点1
2 s处摩擦力功率大小相等
13. 如图甲所示，小物块置于粗糙水平面上的O 点，每次用水平拉力F，将物块由O 点从
静止开始拉动，当物块运动到斜面顶端P 点时撤去拉力。小物块在不同拉力F 作用下落在斜面
上的水平射程x 不同，如图乙所示为F-x 图像，若物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，斜面与
水平地面之间的夹角θ=45°，g 取10m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则（ ）
A．小物块每次落在斜面上的速度方向不同
B．小物块质量m=0.2kg
C．小物块质量m=0.5kg
D．O、P 间的距离s=0.25m
14. 如图甲所示，通过轻质弹簧连接的质量均为0.1kg 的两物体A、B 放在水平桌面上，
系统处于静止状态。现用竖直向上的力F 作用在物体A 上，以x 表示物体A 离开静止位置时的
位移，F-x 的图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数k=20N/m，取g=10m/s2，下列说法正确的
是（ ）
A．A 发生10cm 位移的过程中，F 对A 做的功为0.15J
B．B 离开地面时，A 的速度大小为2m/s
C．B 离开地面后的最大速度为1m/s
D．若F 大小为0.5N 且保持不变，则A 上升至最高点时B 对水平桌面的压力为0
15. 已知做功公式W=Fx，则F-x 图像与坐标轴围成的面积可以表示W。现有一均匀变小
的力F 拉着物体在粗糙水平地面从静止开始滑动，物体质量m=1kg，物体与地面间动摩擦因数
μ=0.7。F 随物体位移x 的变化如图所示，当物体位移为3m 时停止运动。g 取10m/s2，则下列
说法正确的是（ ）
A．F0=17.5N
B．物体动能的最大值为2.25J
C．物体在1.5m 时的速度最大
D．物体速度的最大值为3 ❑√2
2
m/s
类型3 其他图像与动能定理的结合
16. 如图（a）所示，可视为质点的a、b 两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，b 球在
外力作用下静止悬空，绳恰好伸直但无拉力。以地面为重力势能零势能面，从静止释放b 球，
在b 球落地前的过程中，a、b 两球的重力势能随时间t 的变化关系如图（b），图中两图像交
点对应时刻t=0.4s，a 球始终没有与定滑轮相碰，a、b 始终在竖直方向上运动，忽略空气阻力，
g=10 m/s
2。则（ ）
A．b 球质量4kg
B．b 球落地前瞬间a 球的速度大小为6m/s
C．b 球下落前距地面的高度为0.5m
D．t=0.4s 时b 球离地面的高度为0.48m
17. 机场一般用可移动式皮带输送机给飞机卸货（如图甲），其可简化为倾角为θ，以一
定的速度v2逆时针匀速转动的传送带。某时刻货物以初速度为v1滑上传送带顶端（如图乙），
以此时为t =0时刻，记录货物在传送带上运动的速度随时间变化的关系图像（如图丙），取沿
斜面向下为正方向，传送带足够长，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（ ）
A．货物与传送带间的动摩擦因数μ<tanθ
B．货物下滑过程中，传送带一直对货物做正功
C．0∼t1时间内，传送带对货物做功等于1
2 mv2
2- 1
2 mv1
2
D．货物在传送带上留下的划痕长度为v2- v1
2
t1
18. 质量m=200kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图甲表示汽车运动的速
度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，
在18s末汽车的速度恰好达到最大。下列说法正确的是（ ）
A．汽车受到的阻力1000N
B．汽车的最大牵引力为1200N
C．8s~18s过程中汽车牵引力做功为不可求解
D．8s~18s过程中汽车的位移大小可以求解出
19. 动能回收是电动汽车的核心技术之一，通过将车辆减速时的动能转化为电能并存储回
电池，从而提升能量利用效率、延长续航里程。某电动汽车质量m=1.0×10
3kg，在平直公路
上沿坐标轴x正方向匀速行驶，其动能为Ek 1=5.0×10
4J。当经过原点O时切断动力，在滚动
摩擦阻力的作用下运动，滑行至x1=10 m位置时动能减为Ek 2= 4.8×10
4J。此时立即开启动能
回收装置，电动机切换为发电机模式，产生阻碍汽车运动的电磁阻力，当运动至x2=25 m位置
时停下。汽车动能随位移的变化如图所示，除滚动摩擦阻力和电磁阻力外其它阻力不计。
(1)求匀速行驶时汽车发动机的功率；
(2)回收效率是指回收的电能占用于发电的机械能的百分比，若本次动能回收效率η=80 %，求汽车
回收的电能。
20. 一可视为质点的物体在水平外力的作用下由静止开始沿平直的轨道运动，通过传感器
描绘了其加速度随时间的变化规律，图像如图所示，已知物体的质量为m=2kg。则下列说法正
确的是（ ）
A．0~2s 的时间内，物体的位移大于2m
B．3s 末物体距离出发点最远
C．5s 末物体的速度为0
D．0~3s 与3s~5s 的时间内，外力对物体做功的绝对值之比为4:3
题型三 动能定理在多过程问题中的应用
1.应用动能定理解决多过程问题的两种思路
(1)分阶段应用动能定理
①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。
②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况
也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击
破。
(2)全过程(多个过程)应用动能定理
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动
过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大减少
运算。
2.全过程列式时要注意
(1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。
(2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。
类型1 动能定理在直线运动与圆周运动的结合的应用
21. 如图所示，学校科技小组设计了“e”字型竖直轨道固定放置，由光滑半圆形轨道
AB、BC 和粗糙的水平直轨道CD 及光滑的四分之一圆弧轨道DE 平滑连接组成，BC 弧的半径
r =0.2m，AB 弧的半径为2r、DE 弧的半径为1.5r，轨道两端分别与地面、竖直墙壁相切于A
点和E 点。质量m=0.3kg的滑块从A 端以水平向左的速度v0=5 m /s进入轨道。已知CD 长为
6r，滑块第二次经过D 点时对轨道的压力为FD=8 N，不计空气阻力，滑块可视为质点，重力
加速度为g=10 m /s
2。
(1)求滑块与CD 之间的动摩擦因数μ；
(2)求滑块最终停止的位置与C 点的距离d；
(3)若改变滑块的初速度v0，使滑块能停在CD 上，且运动过程中不脱离轨道BC，求v0的范围；
(4)若v0=2❑√10 m /s，求滑块脱离BC 时，速度大小与方向。
22. 如图实验装置由斜面轨道ab，竖直圆轨道cdebc
'（圆心为O点），水平直轨道c
' f 连
接而成，斜面轨道ab与竖直圆轨道cdebc
'相切于b点，竖直圆轨道在最低点略微错开并与水平
直轨道c
' f 相接，各段轨道均平滑连接。小钢球从斜面轨道上静止滑下，进入R =0.2m圆轨道
后沿圆轨道运动。小钢球可视为质点，重力加速度g取10 m /s
2，不计一切摩擦与空气阻力。
求：
(1)若小钢球恰能通过轨道的最高点e，在e点的速度ve；
(2)若小钢球不会脱离轨道，则h的取值范围；
(3)若小钢球从斜面轨道h=0.4 m处静止释放，则将在距离地面多高处脱离轨道。
23. 在航空托运中，行李的缓冲转运装置简化图如图所示，缓冲装置A紧靠飞机，转运车
B紧靠缓冲装置A。包裹C沿缓冲装置A的光滑曲面由静止滑下，经过D点后进入粗糙的水平轨
道，然后滑上转运车B并最终相对转运车B静止而被运走，整个过程中飞机始终保持静止。已
知包裹C的质量为m=20kg，缓冲装置A和转运车B的质量均为M =100kg，缓冲装置A的曲面
是半径为R =2.4 m的四分之一圆弧，且在D点与水平部分相切，水平部分的长度为L0= 4 m，
包裹C与缓冲装置A的水平部分、转运车B间的动摩擦因数均为μ=0.4，转运车B与地面间的摩
擦力忽略不计，重力加速度为g=10 m /s
2，不计空气阻力，求：
(1)包裹C滑到光滑曲面的最低点D时，对缓冲装置A的压力FN的大小；
(2)要求包裹C在缓冲装置A上运动时缓冲装置A不动，则缓冲装置A与地面间的动摩擦因数μ
'要满足
什么条件？
(3)在（2）的基础上，要使包裹C能被转运车B拖走，则转运车B的长度L至少为多少？
类型2 动能定理在直线运动与平抛运动的结合的应用
24. 如图所示，现将一质量为m=1kg 的滑块轻放在传送带A 端。传送带以恒定速度
v0=2m/s 顺时针转动，长度l=3m。传送带的B 端正下方是水平地面的最左端C，地面长度
L=2m，右侧接1
4
圆弧。滑块与地面和传送带间的动摩擦因数μ 均为0.2，圆弧轨道光滑。若滑
块掉至地面后竖直方向速度变为0，水平速度不变。不考虑空气阻力，g 取10m/s2。
(1)求滑块轻放在传送带瞬间的加速度a；
(2)求滑块离开传送带B 端的速度v；
(3)若滑块从传送带滑落后掉落在地面上，且最终停在距C 端1m 的位置。求滑块从圆弧轨道上滑时
距地面能达到的最大高度h。
25. 如图所示为一款游戏的装置结构图，整个轨道固定在竖直平面内，由光滑圆弧轨道
AB、水平轨道BC 及光滑半圆形轨道CD 组成，圆弧轨道AB 与水平轨道在B 点相切，圆弧AB
所对的圆心角为53°，半圆形轨道CD 与水平轨道在C 点相切，圆弧轨道半径R=1m，半圆形轨
道半径为0.5m，BC 长为2m。在P 点以大小为v0=3m/s 的初速度水平抛出一个质量为1kg 的物
块，物块刚好从A 点无碰撞进入轨道，不计物块大小，不计空气阻力，重力加速度g=10 m/s
2，
sin53° =0.8，cos53° =0.6。
(1)求P 点与A 点的高度差；
(2)求物块运动到B 点对圆弧轨道的压力大小；
(3)要使物块能滑上半圆轨道且在半圆形轨道上运动时不脱离轨道（只从半圆形轨道两端点C、D 离
开轨道），则物块与水平轨道间的动摩擦因数应满足什么条件？
26. 在学校组织的趣味运动会上，唐中“加速度社”为大家提供了一个游戏。如图所示，
将一质量为0.1 kg 的钢球放在O 点，用弹射装置将其弹出，钢球沿着光滑的半圆形轨道OA 和
AB 运动。BC 段为一段长为L＝2.0 m 的粗糙平面，DEFG 为接球槽。半圆形轨道OA 和AB 的
半径分别为r＝0.2 m、R＝0.4 m，小球与BC 段的动摩擦因数为μ＝0.7，C 点离接球槽的高度
为h＝1.25 m，水平距离为x＝0.5 m，接球槽足够大，g 取10 m/s2。求：
(1)要使钢球恰好不脱离半圆形轨道，钢球在A 点的速度大小；
(2)钢球恰好不脱离轨道时，在B 位置对半圆形轨道的压力大小；
(3)要使钢球最终能落入槽中，弹射速度v0至少多大。
类型3 动能定理在往返运动问题中应用
27. 滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示是
滑板运动的轨道，BC 和DE 是两段光滑圆弧形轨道，BC 段的圆心为O 点，圆心角为60°，半
径OC 与水平轨道CD 垂直，水平轨道CD 段粗糙且长8m，一运动员从轨道上的A 点以3m/s
的速度水平滑出，在B 点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC，经CD 轨道后冲上DE 轨
道，到达E 点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量为60kg，B、E 两点与水
平面CD 的竖直高度分别为h 和H，且h=2m，H=2.8m，g=10m/s2。求：
(1)运动员从A 运动到达B 点时的速度大小vB和在空中飞行的时间tAB；
(2)运动员第一次离开圆弧BC 轨道末端时滑板对轨道的压力，轨道CD 段的动摩擦因数μ；
(3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B 点？如能，请求出回到B 点时的速度大小；如
不能，则最后停在何处？
28. 如图所示，一装置处于竖直平面内，该装置由弧形轨道AB、竖直圆形轨道BCD，水
平直轨道DE和反冲装置组成。弧形轨道AB足够高，圆形轨道BCD在最低点B (D)略微错开并
与弧形轨道、水平轨道相切（圆形轨道的B端只与弧形轨道接通，D端只与水平直轨道接通），
O为圆心，C为最高点，半径R =0.4 m；反冲装置是一端固定的轻弹簧，弹簧处于原长时其自
由端恰好在水平直轨道DE的末端E。滑块（可视为质点）的质量m=0.2kg，滑块与水平直轨
道DE间的动摩擦因数为0.2，其他部分均光滑。滑块由弧形轨道上不同位置静止释放，滑块在
通过圆形轨道BCD的MCN部分时若脱落，则会掉落到收集盒（图中未画出）内。已知水平直
轨道DE长为2m，不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，g取10 m /s
2。
(1)若滑块由弧形轨道上某位置静止释放后掉落到了收集盒，且没有一次通过圆形轨道最高点C，求
滑块释放位置距水平直轨道的高度范围；
(2)若滑块在弧形轨道上释放的位置距水平直轨道的高度为2m。
①求滑块在运动过程中弹簧具有的最大弹性势能；
②滑块最终落在了收集盒内还是停在了水平直轨道DE上？若落在了收集盒内，求出滑块在圆形轨
道上脱落的位置；若停在了水平直轨道DE上，求出滑块停止位置距E点的距离。
