第五部分 机械能 第一节 功
知识点一 功
1、定义：物体受到力的作用，并在力的方向上发生一段位移,就说力对物体做了功.
2、做功的两个不可缺少的因素:力和物体在力的方向上的位移.
3、公式:W=FLcosα(α 为F 与L 的夹角)
功是标量,在国际单位制中,功的单位是焦耳(J).
4、正功与负功
功是标量,有正、负之分.功的正、负既不表示大小,也不表示方向,只表示是动力做功还是阻力做功.
①当0≤α<90°时,cosα>0,W 为正值,力对物体做正功,力是物体运动的动力,使物体的动能增加.
②当α=90°时,cosα=0,W=0,表示力对物体不做功,力对物体既不起动力作用,也不起阻力作用,力没
有使物体的动能发生变化.
③当90°<α≤180°时,cosα<0,W 为负值,力对物体做负功(或者说物体克服阻力做功),力是物体运
动的阻力,使物体的动能减少
注:力对物体做负功,常说成“物体克服某力做功”(取正值).这两种说法是等效的,意义相同,例如竖
直向上抛出的篮球,在上升过程中,重力做负功,也可以说成篮球克服重力做功.
知识拓展：正功和负功
α 范围
cos α 范围
W 正、负
动力学角度
能量角度
0≤α＜
cos α>0
W>0，正功
表示这个力对物体来说
是动力
力对物体做正功，
使物体获得能量
α＝
cos α＝0
W＝0，不做
功
<α≤π
cos α<0
W<0，负功
表示这个力是阻力，对
物体的运动起阻碍作用
物体克服外力做
功，使物体失去能
量
(1)功是标量，只有正、负，没有方向，功的正负不表示大小。
(2)一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功。
典例1、如图所示，小物块P 位于光滑的斜面上，斜面Q 位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小
物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力( )
A.垂直于接触面，做功为零 B.垂直于接触面，做功不为零
C.不垂直于接触面，做功为零 D.不垂直于接触面，做功不为零
随堂练习：如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ 角的恒定拉力F 作用
下，沿水平地面向右移动了一段距离L.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速
度为g，则雪橇受到的( )
A．支持力做功为mgL B．重力做功为mgL
C．拉力做功为Flcos θ D．滑动摩擦力做功为－μmgL
知识点二 功的计算公式的适用条件
1、公式中的F 一般是恒力(大小、方向都不变),即此式是求恒力做功的公式.若是变力,且力随位移均
匀变化,则仍可用平均力代入.
2、公式中的位移L 一般是相对地面而言的.在物体可以看做质点时,L 是物体的位移.
3、力所做的功,只和有力作用的那一段位移有关,若力取消后物体仍在运动,则力对物体所做功与力
取消后物体发生的位移无关(即力F 与位移L 具有同时性).
知识拓展：
3、总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功等于：
(1)各个分力分别对物体所做功的代数和，即W＝W1＋W2＋……
(2)几个力的合力对物体所做的功，即W＝F 合Lcos α。
4、恒力做功的求法
（1）一个恒力F 对物体做功W＝FLcosα 有两种处理方法：
①W 等于力F 乘以物体在力F 方向上的分位移Lcosα，即物体的位移分解为沿F 方向上和垂直于F
方向上的两个分位移L1 和L2，则F 做的功W＝
L＝FLcosα；
②W 等于力F 在位移L 方向上的分力Fcos α 乘以物体的位移L，即将力F 分解为沿L 方向上和垂
直于L 方向上的两个分力
和
，则F 做的功W＝
L＝FLcos α。
（2）计算恒力做功要注意的三个问题：
①某力对物体做功只跟这个力和物体的位移以及力与位移间的夹角有关，跟物体是否还受其他力的作用无关。
②力F 与位移L 必须具有同时性，即L 必须是力F 作用过程中的位移。
③计算功时一定要明确在哪段位移过程中对哪个物体做的功。
典例2、（多选）如图所示,质量为m 的物块始终固定在倾角为θ 的斜面上.下列说法中正确的是（
）
A.若斜面向右匀速移动距离x,斜面对物块没有做功
B.若斜面向上匀速移动距离x,斜面对物块做功为mgx
C.若斜面向左以加速度a 匀加速移动距离为x,斜面对物块做功max
D.若斜面向下以加速度a 匀加速移动距离为x,斜面对物块做功m(g+a)x
随堂练习：足球运动员用20 N 的力把质量为1 kg 的足球踢出10 m 远，则运动员对足球做的功为(
)
A．200 J B．100 J C．98 J D．条件不足，无法确定
解题思路与方法
一、功的计算方法总结
1、利用功的定义式W=FLcosα 求功
（1）公式中F、L 必须对应同一物体，L 为物体相对地面的位移、α 为F、L 的夹角.
（2）此式一般情况下只适用于求恒力的功.
2、根据动能定理计算合力的功
用动能定理W=ΔEk求功.当F 为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功.这里求得的功是该过
程中外力对物体做的总功（或者说是合力做的功）。
3、利用功能关系求功
功是能量转化的量度.要注意分析参与转化的能量的形式，如重力的功等于重力势能的变化，弹
力的功等于弹性势能的变化.
4、总功的计算
（1） 利用平行四边形定则求出合力，再根据W=F 合Lcosα 计算功.注意α 应是合力与位移L 间的夹
角.
(2) 分别求各个外力做的功：W1=F1Lcosα1,W2=F2Lcosα2……再求各个外力功的代数和.
5、计算变力功的几种方法
（1）用动能定理W=ΔEk或功能关系W=ΔE(功是能量转化的量度），即用能量的增量等效代换变力所
做的功.(可计算变力功或恒力功）
（2）当变力的功率P 一定时，可用W=Pt 求功，如机车牵引力做的功.
(3)将变力做功转化为恒力做功
①当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程（不是位移）
的乘积.如滑动摩擦力、空气阻力做功等.
②当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值F=
,再由
W=FLcosα 计算，如弹簧弹力做功.
(4)做出变力F 随位移L 变化的图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功.
图中（a)图表示恒力F 做的功W，（b)图表示变力F 做的功W.
随堂练习：1、如图所示，一质量为m=2.0 kg 的物体从半径为R=5.0 m 的圆弧的A 端，在拉力作用下
沿圆弧缓慢运动到B 端（圆弧AB 在竖直平面内）.拉力F 大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该
点的切线成37°角.圆弧所对应的圆心角为60°，BO 边为竖直方向，g 取10 m/s2.
求这一过程中：（1）拉力F 做的功;(2)重力mg 做的功;
(3)圆弧面对物体的支持力F N做的功; (4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功.
2、如图所示，水平弹簧劲度系数k=500 N/m,用一外力推物块，使弹簧压缩10 cm 而静止.突然撤去
外力F,物块被弹开，那么弹簧对物体做多少功？（弹簧与物块没连接）
二、摩擦力做功的特点
1、静摩擦力做功的特点
①静摩擦力可以做正功,也可以做负功,还可以不做功.
②相互摩擦的系统内,一对静摩擦力所做功的代数和总为零.
2、滑动摩擦力做功的特点
①滑动摩擦力可以对物体做正功,也可以对物体做负功,当然也可以对物体不做功;
②相互摩擦的系统内,一对滑动摩擦力所做的功总是负值,其绝对值恰好等于滑动摩擦力与相对位
移的乘积.
随堂练习：1、如图所示,滑雪者由静止开始沿斜坡从A 点自由滑下,然后在水平面上前进至B 点停下.
已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数皆为μ,滑雪者(包括滑雪板)的质量为m,A、
B 两点间的水平距离为L.在滑雪者经过AB 段运动的过程中,摩擦力所做的功（ ）
A.大于μmgL B.小于μmgL C.等于μmgL D.以上三种情况都有可能
2、
(多选)质量为m 的物体，静止在倾角为θ 的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离
L，如图所示．物体始终相对斜面静止，则下列说法正确的是( )
A．重力对物体做正功 B．合力对物体做功为零 C．摩擦力对物体做负功 D．支持力对物体做正功
3、图甲为一女士站立在台阶式台阶水平自动扶梯上正在匀速上楼，图乙为一男士站立在履带式自
动人行道上正在匀速上楼下列关于两人受到的力做功判断正确的是
A 甲图中支持力对人不做功
B. 甲图中摩擦力对人做负功
C. 乙图中支持力对人不做功
D. 乙图中摩擦力对人做负功
课 堂 练 习
1、以下关于做功的判断，正确的是( )
A. 大小相等的力，在相同的时间里对物体所做的功一定相等
B. 大小相等的力，在相同的位移上对物体所做的功一定相等
C. 大小相等、方向相同的力，在相同的位移上对物体所做的功一定相等
D. 相同的力作用在不同的物体上，发生相同的位移做的功不相等
2、如图所示，物体在力F 的作用下沿水平面发生了一段位移x，三种情形下力F 和位移x 的大小都是
相等的．角θ 的大小、物体运动方向已在图中标明．下列说法正确的是（ ）
A. 三种情形下，力F 做功的大小相等 B. 甲、乙两种情形下，力F 都做负功
C. 乙、丙两种情形下，力F 都做正功 D. 不知道地面是否光滑，无法判断F 做功的大小关系
3、长春是中国汽车工业的摇篮。“红旗”属于一汽的自有品牌，其中红旗HS5 是一款SUV 轿车，自
2019 年5 月上市以来受到广大消费者的好评红旗HS5 的整车质量为1805kg，该车以0.2m/s2的加速
度沿一倾角为37°的斜坡行驶了10m 的直线路程，则在这个过程中汽车受到的合力做的功是（
）
A. 2888J B. 3610J C. 10830J D. 36100J
4、一滑块在水平地面上沿直线滑行，ｔ＝０时其速度为１ｍ／ｓ．从此刻开始在滑块运动方向上再
施加一水平作用力Ｆ，力Ｆ和滑块的速度ｖ随时间的变化规律分别如图甲和图乙所示．设在第１
秒内、第２秒内、第３秒内力Ｆ对滑块做的功分别为Ｗ１、Ｗ２、Ｗ３，则以下关系正确的是 （
）
A.W1=W2=W3 B.W1<W2<W3 C.W1<W3<W2 D.W1=W2<W3
5、（多选）如图所示，质量为m 的物块始终静止在倾角为α 的斜面上，下面说法中正确的是（
）
A.若物块向上匀速移动距离s,斜面对物块的支持力做功mgs
B.若物块向上匀速移动距离s，斜面对物块做功mgs
C.若斜面向左以加速度a 移动距离s,斜面对物块的支持力做功mas
D.若斜面向左以加速度a 移动距离s，斜面对物块做功mas
6、（多选）在加速运动的车厢中,一个人用力向前推车厢,如右图所示,人相对车厢未移动,则下列说
法正确的是（ ）
A.人对车不做功 B.人对车做负功 C.推力对车做正功 D.车对人做正功
7、如图所示，一根木棒擦着水平桌面从A 到B 的过程中，棒与桌面间的滑动摩擦力的大小为Ff，AB
的长为S，求桌面对棒的摩擦力所做的功和棒对桌面的摩擦力所做的功？
8、总质量为80 kg 的跳伞运动员从离地500 m 的直升机上跳下，经过2 s 拉开绳索开启降落伞，如
图所示是跳伞过程中的v-t 图，试根据图象：(g 取10 m/s2)
（1）求t=1 s 时运动员的加速度和所受阻力的大小.
（2）估算14 s 内运动员下落的高度及克服阻力做的功.
（3）估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间.
课 后 练 习
1、如图所示，粗糙的斜面与光滑的水平面相连接，滑块沿水平面以速度v0运动.
设滑动运动到A 点的时刻为t=0，跟A 点的水平距离为x，水平速度为vx，由于v0不同，从A 点到B
点的几种可能的运动图象如下列选项所示，其中表示摩擦力做功最大的是( )
2、如图所示,劈a 放在光滑的水平桌面上,斜面光滑,把b 物体放在a 斜面顶端由静止滑下,则在下滑
过程中,a 对b 的弹力对b 做的功为W1,b 对a 的弹力对a 做的功为W2,对下列关系正确的是（ ）
A.W1=0,W2=0 B.W1>0,W2=0 C.W1=0,W2>0 D.W1<0,W2>0
3、一个人乘电梯从1 楼到20 楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯支
持力对人做功情况是( )
A.加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功 B.加速时做正功，匀速和减速时做负功
C.加速和匀速时做正功，减速时做负功 D.始终做正功
4、小物块位于光滑的斜面Q 上，斜面位于光滑的水平地面上（如图所示），从地面上看，在小物块
沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力( )
A.垂直于接触面，做功为零 B.垂直于接触面，做功不为零
C.不垂直于接触面，做功为零 D.不垂直于接触面，做功不为零
5、在水平面上，有一弯曲的槽道
槽道由半径分别为
和R 的两个半圆构成.如图所示，现用大小
恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时时刻刻均与小球运动方向一
致，则此过程中拉力所做的功为( )
A.0 B.FR C.
πFR D.2πFR
6、（多选）如图所示，分别用恒力F1、F2先后将质量为m 的物体由静止开始沿同一粗糙的固定斜面
由底端拉至顶端，两次所用的时间相同，第一次力F1沿斜面向上，第二次力F2沿水平方向.则两
个过程( )
A.合外力做的功相同 B.物体机械能变化量相同
C.F1做的功与F2做的功相同 D.F1做的功比F2做的功多
7、(多选)一辆汽车在平直的公路上以速度v0开始加速行驶，经过一段时间t，前进了距离x，此时
恰好达到其最大速度vmax.设此过程中汽车发动机始终以额定功率P 工作，汽车所受的阻力恒定为
F，则在这段时间里，发动机所做的功为 ( )
A.Fvmaxt B.Pt C.
mvmax2+Fx-
mv0
2 D.Ft
8、（多选）物体沿直线运动的v-t 关系如图所示，已知在第1 秒内合外力对物体做功为W，则( )
A.从第1 秒末到第3 秒末合外力做功为4W B.从第3 秒末到第5 秒末合外力做功为-2W
C.从第5 秒末到第7 秒末合外力做功为W D.从第3 秒末到第4 秒末合外力做功为-0.75W
提 高 练 习
1、人的心脏每跳动一次大约输送8×10-5 m3血液，人的收缩压为90 mm 汞柱～130 mm 汞柱，计算他
的心脏每收缩一次所做的功大约是 ______J（汞的密度是13.6×103 kg/m3,g 取10 m/s2）.
2、如图所示，在长为L 的细线下挂一质量为m 的小球，用水平恒力F 拉小球直到细线偏离竖直方向
60°角.求该过程中F 所做的功和重力所做的功.
3、如图所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F 开始提升原来静止的质量为m=10 kg 的物体，以
大小为a=2 m/s2的加速度匀加速上升，求头3 s 内力F 做的功.（取g=10 m/s2）
4、质量为M 的长板放在光滑水平面上，一个质量为m 的滑块以速度v 沿木板表面从A 点滑到B 点，
在木板上前进了L，而木板在水平面上前进了s，如图，设滑块与木板间的动摩擦因数为μ,求：
摩擦力做的总功和转化为内能的大小.
