文档文本内容
第13 讲 曲线运动、运动的合成与分解
目录
01
考情解码·命题预警2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................2
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................3
考点一 曲线运动.............................................................................................................................3
知识点 曲线运动......................................................................................................................................... 3
考向1 曲线运动的条件..............................................................................................................................4
考向2 力与物体运动轨迹的关系..............................................................................................................6
考点二 运动的合成与分解.............................................................................................................8
知识点 运动的合成与分解.................................................................................................................9
考向 位移和速度的合成与分解...............................................................................................................10
考点三 小船渡河模型...................................................................................................................15
知识点 小船渡河模型............................................................................................................................... 15
考向 小船渡河模型................................................................................................................................... 16
考点四 关联速度问题...............................................................................................................19
知识点 关联速度....................................................................................................................................... 20
考向1 杆关联模型....................................................................................................................................20
考向2 绳关联模型....................................................................................................................................23
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................26
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
曲线运动
选择题
非选择题
\
\
\
运动的合成与分
解
选择题
非选择题
\
\
\
考情分析：
1．近几年的四川高考试题中没有涉及到该内容，但考过。
2．考到这部分内容的时候，题目难度并不大，常以选择题的形式出现。
复习目标：
目标一：理解曲线运动，并能够准确判断曲线运动，解决比较简单的曲线运动问题。
目标二：掌握简单的运动的合成与分解问题。
目标三：加深对小船渡河、关联运动问题的理解。
考点
一
曲线运动
知识点 曲线运动
一、定义
1.运动轨迹是
曲线
的运动，运动轨迹夹在速度方向和
合力
方向之间。
二、条件
1.物体所受合力的方向与它的速度的方向
不在
同一条直线上。
2.所受的合力一定不为0：合力可以是恒力，也可以是变力，合力指向运动轨迹的
凹
侧。
3.若合力为变力，则为一般变速曲线运动；若合力为恒力，则为
匀变速
曲线运动。
三、理解
1.运动轨迹的判断
（1）若物体所受合力方向与它的速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
（2）若物体所受合力方向与它的速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2.曲线运动
速度方向、合力方向与运动轨迹
的关系
中
之间
（1）速度方向与运动轨迹相切；
（2）合力方向指向轨迹曲线的“凹”侧；
（3）运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间，且弯向合力方向。
3.合力与速
的关系
率变化
（1）当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
（2）当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
（3）当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
思维建模
判断两个直线运动的合运动性质的方法
1.分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关
系判断合运动的性质。
2.常见的情况：
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动
如果v 合与a 合不共线，为匀变速曲线运动
考向1 曲线运动的条件
例1（2025·四川绵阳·高三月考）对于做曲线运动的质点，下列说法正确的是（ ）
A．合外力一定不为0
B．合外力一定是变化的
C．速度可以保持不变
D．加速度可以为0
【答案】A
【详解】ABD．根据物体做曲线运动的条件可知，做曲线运动的质点，所受合外力一定不为0，加速度一
定不为0，且合外力方向与速度方向不在同一直线上，但合外力可以是恒力，故A 正确，BD 错误；
C．做曲线运动的质点，其速度方向时刻发生变化，所以速度一定变化，故C 错误。
故选A。
【变式训练1】（2025·四川德阳·高三月考）某物体同时受到在同一平面内的几个恒力作用而平衡，某时刻
突然撤去其中一个力，以后这物体将不可能做（ ）
A．平抛运动
B．匀速圆周运动
C．匀加速直线运动
D．匀减速直线运动
【答案】B
【详解】物体原受多个恒力平衡，撤去一个力后，剩余力的合力为恒力，故加速度恒定。
A．合力恒定大小恰好等于重力且与初速度垂直时，物体做平抛运动，故A 正确，不符合题意；
B．匀速圆周运动需大小恒定但方向不断变化的向心力，而撤去后的合力为恒力，无法提供变化的向心
力，故B 错误，符合题意；
C．若合力方向与初速度同向，物体做匀加速直线运动，故C 正确，不符合题意；
D．若合力方向与初速度反向，物体做匀减速直线运动，故D 正确，不符合题意。
本题选择错误选项，故选B。
【变式训练2】做曲线运动的物体，其一定变化的物理量是（ ）
A．速率
B．速度
C．加速度
D．合力
【答案】B
【详解】做曲线运动的物体，因速度的方向时刻变化，则速度一定发生变化；而匀速圆周运动的速率一定
不变，匀变速曲线运动的加速度和合力一定不变。
故选B。
【变式训练3】如图所示，光滑水平面上的物体受五个沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率
v0（方向与F4方向相反）沿水平面做匀速直线运动，若撤去其中某个力（其他力不变），则在以后的运动
中，下列说法正确的是（ ）
A．若撤去的是F1，则物体将做圆周运动
B．若撤去的是F2，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
C．若撤去的是F3，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
D．无论撤去这五个力中的哪一个，物体在相同时间内的速度改变量一定都相同
【答案】B
【详解】A．撤去F1后，其他力的合力与F1等大反向，即合力方向与初速度方向垂直，因为受到的是恒
力，则物体做匀变速曲线运动，不会做圆周运动，故A 错误；
B．撤去F2后，其他力的合力方向与F2的方向相反，则物体在水平方向先减速到零，再反向加速，而竖直
方向一直在加速，所以经过一段时间后有可能在某时刻速率再次变为v0，故B 正确；
C．撤去F3后，其他力的合力方向与F3等大反向，可知初速度方向成锐角，速度一直增大，则经过一段时
间后，速率比v0大，经过一段时间后物体的速率不可能再次变为v0，故C 错误；
D．因为这五个力大小不完全相同，撤去其中一个力后，其他四个力的合力也不完全相同，根据牛顿第二
定律可知加速度也不完全相同，根据
a= Δv
Δt
所以物体在相同时间内的速度改变量不一定都相同，故D 错误。
故选B。
考向2 力与物体运动轨迹的关系
例1（2025·四川内江·高三月考）小林积极参加球溪高级中学2025 年春季田径运动会，在实心球比赛项目
中获得第一名，用实力为班级争得了荣誉。如图所示的曲线为小林抛出的实心球运动轨迹（实心球可视为
质点），其中A、B、C 为实心球运动过程中依次经过的三点，关于实心球在B 点的速度方向，下列说法正
确的是（ ）
A．沿BC 方向
B．沿BD 方向
C．沿BE 方向
D．沿BF 方向
【答案】B
【详解】铅球做曲线运动，轨迹由A 到C，B 点的速度方向沿轨迹在该点的切线方向，即BD 方向。
故选B。
例2 图中虚线描述的是一位跳水运动员高台跳水时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v 入
水。整个运动过程中，除运动员入水前一段时间外，与入水时头部速度v 方向相同的位置有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【详解】曲线运动的速度方向沿轨迹对应位置的切线方向，图中箭头指向为速度方向，根据图示，将表示
落地速度的箭头平行移动至与轨迹相切，且箭头指向为运动方向，可知，与入水时头部速度v 方向相同的
位置有2 个，如图所示
故选B。
【变式训练1】如图所示，一物体在水平恒力F 的作用下沿光滑水平面做曲线运动，当物体从M 点运动到
N 点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体从M 点到N 点的运动过程中，力F 的功率（ ）
A．不断增大
B．不断减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
【答案】D
【详解】其速度方向恰好改变了90°，可以判断恒力方向应为右下方，与初速度的方向夹角要大于90°小于
180 才能出现末速度与初速度垂直的情况，根据
P = Fv cosθ
夹角由钝角减小到直角过程中，恒力先做负功，速度减小，cosθ变小，所以功率减小；
当达到速度与恒力方向垂直后，夹角由直角继续减小，恒力做正功，速度增大，cosθ变大，所以功率增
大。
故选D。
【变式训练2】如图，一质点以一定的速度通过P 点时,开始受到一个恒力F 的作用,则此后该质点的运动轨
迹不可能是图中的( )
A．a
B．b
C．c
D．d
【答案】A
【详解】A、轨迹a 表面物体做圆周运动，圆周运动需要向心力，而向心力总是指向圆心，方向不断改
变，而题目中的力是恒力，故A 错误；B、质点受到一个与速度方向垂直的恒力F 的作用，一定做类似平
抛运动的轨迹，故B 正确；C、受到一个与速度方向平行的恒力F 的作用，质点做直线运动，故C 正确；
D、该轨迹类似斜上抛运动的轨迹，质点受到一个与速度方向不垂直的恒力F 的作用，故D 正确．故选A
【变式训练3】2025 年2 月9 日，第九届亚冬会短道速滑女子3000 米接力A 组决赛在哈尔滨举行，中国队
的范可新、公俐、张楚桐和王欣然夺得冠军。运动员经过弯道沿曲线从a 点向b 点运动的过程中，速度逐
渐减小，在此过程中，运动员所受合外力方向可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据曲线运动的特点可知，速度矢量与合力矢量分别在运动轨迹的两侧，合力方向指向轨迹的凹
侧；由于运动员的速度在逐渐减小，所以合力方向与速度方向之间的夹角大于90°。
故选A。
考点
二
运动的合成与分解
知识点1 运动的合成与分解
1.如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫那几个运动的
合运动
；那几个运动叫
这个实际运动的
分运动
。
2.运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程叫运动的
合成
，由合运动求分运动的过程叫运动的
分解
。运动的合成与分解遵循
平行四边形定则
。
3.合运动和分运动的关系
（1）等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等（不同时的运动
不能合成）。
（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
（3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
（4）同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发
生的不同运动。
4.运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合
成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵从平行四边形定则。
得分速记
1. 三步法规范解题
① 确定合运动与分运动
合运动：物体实际发生的运动（如小船的实际位移方向）；
分运动：按效果分解的两个独立运动（如小船的划行运动 + 水流运动）。
② 建立正交分解坐标系
原则：沿加速度方向和垂直加速度方向分解（若无加速度，沿运动效果方向分解）；
示例：小船渡河选 “河岸方向” 和 “垂直河岸方向”，平抛运动选 “水平方向” 和 “竖直方向”。
③ 列方程求解
分运动各自满足运动学规律（匀速直线 / 匀变速直线运动），再通过矢量合成法则（平行四边形定则）求
合运动参数。
思维建模
1.
解运动的合成与分解问题的
求
技巧
（1）求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性。
（2）物体的实际运动是合运动。运动分解时一般按运动效果进行分解。
2.合运动
的判断
性质
（1）合加速度（或合力）{
变化：变加速运动
不变化：匀变速运动
（2）合加速度（或合力）{
共线：直线运动
不共线：曲线运动
考向 位移和速度的合成与分解
例1（多选）关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大
B．合运动的速度可以比两个分运动的速度都小
C．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，可能是曲线运动
D．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，可能是曲线运动
【答案】BC
【详解】AB．合运动的速度可以比两个分运动的速度都大，也可以比两个分运动的速度都小，还可以等
于其中一个分速度的大小，故A 错误，B 正确；
C．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，如果合初速度方向与合加速度方向不在同一直线上，则合
运动为曲线运动，故C 正确；
D．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动，故D 错误。
故选BC。
例2 如图所示，在一段封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R 从坐标原
点以速度v0=3cm /s匀速上浮的同时，玻璃管沿x 轴正方向做初速度为0 的匀加速直线运动，1s 时小圆柱
体的速度为v =5cm /s。下列说法正确的是（ ）
A．小圆柱体做匀加速直线运动
B．小圆柱体的加速度是4cm /s
2
C．0~1s 内小圆柱体沿y 轴方向的位移为2cm
D．该时刻小圆柱体到坐标原点的距离为5cm
【答案】B
【详解】A．小圆柱沿y 轴方向做匀速直线运动，x 轴方向上做初速度为0 的匀加速直线运动，合运动为匀
变速曲线运动。故A 错误；
B．由
v =
❑√v x
2+ v y
2
可得1s 时
v x = 4cm /s
由
v x =axt
可得
a=ax = 4cm /s
2
故B 正确；
C．由
y = v0t
可得
y =3cm
故C 错误；
D．1s 内x 轴上的位移为
x = 1
2 v xt =2cm
小圆柱体到坐标原点的距离
s=
❑√y
2+ x
2= ❑√13cm
故D 错误。
故选B。
【变式训练1】无人机表演越来越多地出现在各种节日庆祝活动中。某次无人机表演时，t =0时刻无人机
水平方向上的速度为0，根据数据接收端收到的数据绘制出的无人机水平方向上的加速度
时间
—
(ax−t)图
像和竖直方向上的位移
时间
—
( y −t )图像分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．0∼t1时间内无人机做曲线运动
B．0∼t1时间内无人机处于超重状态
C．t1∼t2时间内无人机做曲线运动
D．t1∼t2时间内无人机所受的合力不为0
【答案】A
【详解】A．由图可知，0∼t1时间内无人机在水平方向上做匀加速直线运动，在竖直方向上做匀速直线运
动，所以0∼t1时间内无人机做曲线运动，故A 正确；
B．0∼t1时间内无人机在竖直方向上做匀速直线运动，竖直方向上的加速度为零，故B 错误；
CD．t1∼t2时间内无人机的水平加速度和竖直加速度都为零，即无人机所受的合力为零，做直线运动，故
CD 错误。
故选A。
【变式训练2】升降机沿竖直方向匀速下降的同时，一工人在升降机水平平台上向右匀速运动，以出发点
为坐标原点O 建立平面直角坐标系，水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向，工人可视为质点，
则该过程中站在地面上的人看到工人的运动轨迹可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设工人沿x 轴方向速度为v x，沿y 轴方向速度为v y，设运动时间为t，则
x = v xt
y = v yt
得工人的运动轨迹方程为
y = v y
v x
x y和x成正比，运动轨迹为过原点的倾斜直线。
故选B。
【变式训练3】某架飞机在进行航空测量时，需要严格按照从南到北的航线进行飞行。如果在无风时飞机
相对地面的速度是414 km/h，飞行过程中航路上有速度为54 km/h的持续东风。则（ ）
A．飞机的飞行方向为北偏西为θ角度，且sinθ = 1
23
B．飞机的飞行方向为北偏东为θ角度，且sinθ = 3
23
C．飞机实际的飞行速度为100 ❑√2m/s
D．飞机实际的飞行速度为100 ❑√3 m/s
【答案】B
【详解】AB．飞机的飞行方向为北偏东为θ角度，且
sinθ = v 风
v机
= 54
414 = 3
23
选项A 错误，B 正确；
CD．飞机实际的飞行速度为
v =
❑√v机
2 −v 风
2 =
❑√414
2−54
2km/h= 410.5km/h=114 m/s
选项CD 错误。
故选B。
【变式训练4】在一次施工中，塔吊将重物从O 点吊起，从起吊开始计时，以O 为原点，设水平向右为x
方向、竖直向上为y 方向，重物x、y 方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则（ ）
A．重物的运动轨迹为直线运动
B．t=0 时，重物的速度为零
C．t=8s 时重物的位置坐标为（24m，16m ）
D．重物在相等时间内的速度变化量不相等
【答案】C
【详解】AB．由图乙可知，重物沿y 轴做匀加速直线运动，初速度和加速度分别为vy0=0 ，ay=0.5m/s2
由图甲可知，沿x 轴正方向做匀速直线运动，速度大小为vx0=3m/s，t=0 时，重物的速度不为零，合初速度
与加速度方向不在同一直线，所以重物做匀变速曲线运动，故AB 错误；
C．重物8s 内由图可知在x 轴、y 轴的位移分别为x=24m，y=1
2 ×4×8m=16m
所以C 正确；
D．以上分析可知，重物的加速度为0.5m/s2，且为恒定值，根据a= Δv
Δt ，可知在相等时间内的速度变化量
相等，故D 错误。
故选C。
【变式训练5】一质点在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时
间变化如图所示。则（ ）
A．3s末质点速度的大小为7 m /s
B．前3s质点做匀变速直线运动，加速度大小为1m /s
2
C．3−4s内质点做匀变速曲线运动，加速度大小为5 m /s
2
D．3−4s内质点的位移大小为7.5 m
【答案】D
【详解】A．3s末质点x 轴方向和y 轴方向的速度分别为3m/s、4m/s，根据矢量的合成可知
v =
❑√v x
2+ v y
2 =5 m/s
故A 错误；
B．初始质点y 轴方向有速度，x 轴方向有加速度，二者不共线，则质点做曲线运动，加速度为
a= Δv
Δt =1m/s
2
故B 错误；
C．3−4s内质点x 轴和y 轴方向的加速度分别为
ax = Δv x
Δt x
= 6−3
4−3 m/s
2=3 m/s
2
a y = Δv y
Δt y
= 8−4
4−3 m/s
2= 4 m/s
2
合加速度为
a
′ =
❑√ax
2+a y
2=5 m/s
2
与x 轴方向的夹角为
tanθ = a y
ax
= 4
3
3s 末，速度与x 轴方向夹角为
tan α = v y
v x
= 4
3
可知3−4s内质点做匀变速直线运动，加速度大小为5 m /s
2，故C 错误；
D．3s末质点的速度为5m/s，加速度为5 m /s
2，做匀变速直线运动，则3s~4s 的位移为
x = vt + 1
2 a
′ t
2=7.5m
故D 正确；
故选D。
考点
三
小船渡河模型
知识点 小船渡河模型
1.船的
运动
实际
：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.
速度
三种
：船在静水中的速度v 船、水的流速v 水、船的实际速度v。
3.
问题、
情
两类
三种
景
渡河时间最
短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝d
v船
渡河位移最
短
如果v 船＞v 水，当船头方向与上游河岸夹角θ 满足v 船cos θ＝v 水
时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v 船＜v 水，当船头方向（即v 船方向）与合速度方向垂直时，渡
河位移最短，等于d v水
v船
考向 小船渡河模型
例1（2025·四川德阳·高三月考）某船在静水中划行的速率为6m/s，河水的流速为10m/s，要渡过60m 宽
的河，下列说法正确的是（ ）
A．该船渡河所用的时间至少为6s
B．该船用最短时间渡河时所通过的位移大小为80m
C．该船渡河所通过的位移大小至少为100m
D．该船以最短位移渡河时所用的时间为11s
【答案】C
【详解】A．当船头垂直于河岸行驶时，船渡河所用时间最短为tmin= d
vc
=10s
故A 错误；
B．该船用最短时间渡河时，则沿水流方向位移为x = vstmin=100 m
所通过的位移大小为s=
❑√x
2+d
2=20 ❑√34 m
故B 错误；
C．因为vc<vs，所以船不能垂直于河岸行驶，如图所示
当船合速度沿AC 方向时，船渡河位移最小，则xmin=
d
cosθ
其中cosθ = vc
vs
联立解得，该船渡河所通过的位移大小最小为xmin=100 m
故C 正确；
D．该船以最短位移渡河时所用的时间为t = s
v合
=
s
❑√vs
2−vc
2 =12.5s
故D 错误。
故选C。
例2 小船横渡一条两岸平行的河流，水流速度与河岸平行，船相对于水的速度大小不变，船头始终垂直指
向河岸，小船的运动轨迹如图虚线所示。则小船在此过程中（ ）
A．运动的加速度不变
B．越接近河岸速度越大
C．加速度的方向先指向下游后指向上游
D．水流速度变化，渡河的时间也会改变
【答案】C
【详解】AC．已知小船垂直河岸方向的速度不变，沿河岸方向的水流速度在变化，故小船所受合外力方
向一定平行于河岸，根据曲线运动的合外力指向凹侧，小船所受合外力先指向下游，后指向上游，故小船
做的不是匀变速运动，运动的加速度是变化的，故A 错误，C 正确；
B．小船渡河过程中的速度方向沿轨迹切线方向，由船相对水的速度垂直河岸方向且大小不变，可知越靠
近河中央，水流速度越大，故B 错误；
D．小船渡河时间等于河宽除以小船垂直河岸方向的速度，即小船渡河时间与水流速度无关，故D 错误。
故选C。
【变式训练1】（多选）民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧
向的固定目标。如图甲所示，选手骑马沿如图乙所示直线O1O2匀速前进，速度大小为v1，运动员静止时
射出的箭速度大小为v2，且有v2>v1，靶中心P 到O1O2的距离为d，垂足为D，忽略箭在竖直方向的运
动，下列说法正确的是（ ）
A．为保证箭能命中靶心，选手应瞄准靶心P 放箭
B．为保证箭能命中靶心，选手在D 点放箭也可以命中靶心
C．为保证箭能命中靶心，且运动时间最短，箭射中靶心的最短时间为d
v2
D．为保证箭能命中靶心，且运动位移最短，箭射中靶心的时间为
d
❑√v2
2−v1
2
【答案】BCD
【详解】A．为保证箭能命中靶心，则箭的合速度方向应该指向靶心，而选手应瞄准靶心P 左侧位置放
箭，选项A 错误；
B．为保证箭能命中靶心，选手在D 点放箭也可以命中靶心，此时箭头应该指向P 点左侧，合速度方向指
向P 点，选项B 正确；
C．为保证箭能命中靶心，且运动时间最短，则箭应该垂直O1O2方向射出，此时箭射中靶心的最短时间为
tmin= d
v2
选项C 正确；
D．为保证箭能命中靶心，且运动位移最短，即合速度方向指向P 点且垂直于O1O2方向，此时箭射中靶心
的时间为
t = d
v合
=
d
❑√v2
2−v1
2
选项D 正确。
故选BCD。
【变式训练2】（多选）经过治理的护城河成为城市的一大景观，河水看似清浅，实则较深。某次落水救
人的事件可简化如图，落水孩童抓住绳索停在A 处，对面河岸上的小伙子从B 处直线游过去，成功把人救
起。河宽和间距如图中标注，假定河水在各处的流速均为1m/s，则（ ）
A．游泳时小伙子面对的方向是合运动的方向
B．小伙子在静水中游泳的速度至少应为0.6m/s
C．小伙子渡河的时间一定少于16s
D．若总面对着A 处游，小伙子将到达不了A 处
【答案】BD
【详解】AB．由题可知，设小伙子在静水中的游泳的速度为v1，小伙子的合运动方向是从B 到A，作出小
伙子游泳时合速度与两个分速度的关系，如图所示
当v1与合速度垂直时v1有最小值，设AB 与河岸的夹角为θ，根据几何关系有
sinθ =
12
❑√12
2+16
2 =0.6
解得
θ =37
∘
即游泳时小伙子面对的方向是与合速度方向垂直，此时最小的速度为
v1= v水sinθ =0.6 m/s
故A 错误，B 正确；
C．由AB 分析可知，小伙子相对水的速度存在不确定性，其沿流水方向和垂直河岸方向的速度大小及合
速度大小都不能确定，则渡河的时间不确定，故C 错误；
D．若总面对着A 处游，如图所示
由图可知v1的方向会不断变化，则有加速度产生，而v水的方向大小不变，根据运动的合成与分解，可知
它们的合运动是变速曲线运动，位移变大，故达不了A 处，故D 正确。
故选BD。
【变式训练3】（多选）一小船过河的运动轨迹如图所示。河中各处水流速度大小相同且恒定不变，方向
平行于岸边。若小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度均相同
（且均垂直于岸边）。 由此可以确定（ ）
A．船沿AC 轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动
B．船沿AC 轨迹渡河所用的时间最短
C．船沿AD 轨迹到达对岸前瞬间的速度最小
D．船沿三条不同轨迹渡河所用的时间相同
【答案】ABC
【详解】ABD．加速度的方向指向轨迹的凹侧，依题意可知，AC 轨迹是匀加速运动，AB 轨迹是匀速运
动，AD 轨迹是匀减速运动，故船沿AC 轨迹过河所用的时间最短，选项D 错误，AB 正确；
C．船沿AD 轨迹在垂直河岸方向的运动是减速运动，故船到达对岸的速度最小，选项C 正确。
故选ABC。
考点四 关联速度问题
知识点 关联速度
1.模型
点
特
两物体或杆子之间通过绳（或杆）连接，且两物体在运动过程中绳（或杆）发生转动，这里隐含沿绳（或
杆）方向的速度分量大小相等。
2.思
与方
路
法
合运动→绳（或杆）拉物体的实际运动速度v
分运动→{
其一：沿绳（或杆）的速度v∥
其二：与绳（或杆）垂直的分速度v⊥
方法：两分速度的合成遵循平行四边形定则。
3.解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，这两分速度一定是相互垂直的，根
据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
考向1 杆关联问题
例1 如图甲是智慧工厂里常用的机械手臂，结构简图如图乙所示。机械手臂由金属杆PQ、QO 在Q 点链接
而成，金属杆PQ 抓取到工件后，金属杆QO 绕O 点从竖直位置顺时针匀速转动β 角( β <90°)到图示虚线
位置，金属杆PQ 始终保持水平，则工件在水平方向上（ ）
A．一直加速
B．一直减速
C．一直匀速
D．无法判断
【答案】B
【详解】工件与Q 点运动状态相同，将Q 点的速度v 分解，如图所示，水平方向有v1= v cos β
β增大，cos β减小，所以工件在水平方向速度v1一直减小
故选B。
例2（2025·四川·高三月考）汽车发动机的曲柄连杆机构其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O 点自
由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A 点和活塞上的B 点，若曲轴绕O 点做匀速圆周运动，速率12m/s，
OA =15cm，AB =20cm。当OA 与AB 垂直时，活塞的速度为（ ）
A．7.2 m/s
B．9 m/s
C．12m/s
D．15m/s
【答案】D
【详解】因OA 与AB 垂直，可知vA=12m/s 将活塞B 的速度沿杆和垂直杆分解，如图所示，由几何关系有
可得vBcosθ=vA
由几何关系得cosθ=0.8
可得vB=15m/s
故选D。
【变式训练1】（2025·四川绵阳·高三月考）如图所示，水平地面上固定了一个倾角为θ的光滑斜面，一端
拴有光滑小球B 的轻杆在另一端通过铰链与斜面底部连接，小球B 静置于斜面上。物块A 从斜面顶部由静
止释放，碰到B 球后，继续紧贴斜面下滑，轻杆则绕铰链顺时针转动。当轻杆转动到与斜面夹角为θ时，
物块A 速度恰好为v，并依然与小球B 紧密接触，则小球B 此时的速度为（ ）
A．v cosθ
B．
v
2sinθ
C．v sinθ
D．2v sinθ
【答案】B
【详解】A 物块与B 小球通过彼此之间的接触面发生速度关联，A 物块的实际运动速度平行于斜面向下，
B 小球的实际运动速度垂直于轻杆向上，将A 与B 的实际运动速度分别沿平行于接触面（即竖直方向）以
及垂直于接触面（即水平方向）进行分解，根据A 与B 沿垂直于接触面方向的速度大小相等
vBsin2θ = v cosθ
得
vB=
v
2sinθ
故选B。
【变式训练2】如图所示，细杆AB 的A 端紧挨竖直墙面，B 端贴着水平地面，在A 端沿着墙面下移的过
程中，当AB 杆与地面的夹角为30°时，A 端与B 端的速度大小之比为（ ）
A．1：3
B．3：1
C．❑√3：1
D．1：❑√3
【答案】C
【详解】A、B 两端沿杆的方向的速度相等，有
v A sin30° = vBcos30°
解得
v A
vB
= ❑√3
故选C。
【变式训练3】如图，一长度为❑√3R 的轻杆两端分别固定两个小球A 和B（均可视为质点），将其放在一
个半径为 R 的光滑球形容器中从位置1 开始下滑，当轻杆到达位置2 时 A 球与球形容器球心O 等高，其
速度大小为v1， 此时B 球的速度大小为v2， 则 （ ）
A．v2=2v1
B．v2= ❑√3 v1
C．v ₂= v ₁
D．v2=
❑√3
3 v1
【答案】C
【详解】
由沿杆分速度相等可得
v ₁sin α = v ₂sin β
由几何关系可知α=β=30°
解得v2= v1
故选C。
考向2 绳关联问题
例1 如图所示，物体A 和B 质量均为m，分别与轻绳连接跨过定滑轮（不计绳与滑轮之间的摩擦），用水
平变力F 拉物体B，使A 以v 竖直向上做匀速直线运动，下列判断正确的是（ ）
A．物体B 也做匀速直线运动
B．绳子拉力始终大于物体A 所受的重力
C．物体A 的速度小于物体B 的速度
D．物体B 的速度为vcosα
【答案】C
【详解】ACD．用水平变力F 拉物体B，使A 以v 竖直向上做匀速直线运动，讲B 的速度分解为沿绳方向
和垂直绳方向，其中沿绳方向分速度大小等于A 的速度大小，则有vBcosα = v
解得vB=
v
cosα >v
可知随着α的减小，B 的速度逐渐减小，所以B 做减速直线运动，故AD 错误，C 正确；
B．由于A 竖直向上做匀速直线运动，根据受力平衡可知，绳子拉力等于物体A 所受的重力，故B 错误。
故选C。
例2 如图所示为某联动装置，竖直面内的两固定杆AB 倾斜、BC 水平，AB 与BC 间的夹角为30
∘，C 端装
有一定滑轮（大小不计），小球a 套在AB 杆上，绕过定滑轮的轻绳一端连接在小球a 上，另一端吊着小
球b。由静止释放小球a，当小球a 运动到位置D 时，CD 段轻绳与水平方向的夹角为30
∘，此时a、b 两球
的速度大小之比为（ ）
A．1：2
B．2：1
C．❑√3：1
D．1：❑√3
【答案】B
【详解】CD 段轻绳与水平方向的夹角为30
∘时，设小球a 的速度大小为v1，小球b 的速度大小为v2，则有
v1cos60
∘= v2
解得v1∶v2=2∶1
故选B。
【变式训练1】（2025·四川南充·高三月考）如图所示，轻质不可伸长的细绳，绕过光滑定滑轮C，与质量
为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑固定斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现B
、C间细绳恰沿水平方向，从当前位置开始，B在外力作用下以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为T，在此
后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体A 做匀加速运动
B．物体A 做匀速运动
C．T可能小于mgsinθ
D．T一定大于mgsinθ
【答案】D
【详解】由题意可知，将B 的实际运动分解成两个分运动，如图所示
根据平行四边形定则，可知vBsin α = v绳；因B 以速度v0匀速下滑，又α增大，所以v绳增大，则物体A 做
变加速运动；对A 进行受力分析，结合牛顿第二定律，则有T >mgsinθ。
故选D。
【变式训练2】（2025·四川南充·高三月考）如图所示，阻拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通过阻
拦索对飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止，飞机挂钩与阻拦索间不滑动。若某一
时刻两端阻拦索夹角是θ，飞机沿中线运动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动速度大小是（ ）
A．v绳=
v
cosθ
B．v绳= v cosθ
C．v绳=
v
2cos θ
2
D．v绳= v cos θ
2
【答案】D
【详解】将飞机的速度分解为沿阻拦索方向的速度和垂直阻拦索方向的速度，如图所示
可知v绳= v cos θ
2
故选D。
【变式训练3】（2025·四川南充·高三月考）某人用轻绳通过光滑的定滑轮拉小船，小船沿着河面向左运
动。若人匀速拉绳的速度为v0，如图，绳某时刻与水平方向夹角为α (α <90
∘)。不计一切阻力，则小船靠
岸之前做（ ）
A．加速运动
B．减速运动
C．匀速运动
D．先匀速运动，再减速运动
【答案】A
【详解】船的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，如图
根据平行四边形定则，有v x =
v0
cosα
小船靠岸之前，α逐渐增大，则v x逐渐增大，所以小船做加速运动，故A 正确，BCD 错误。
故选A。
1.（2023·辽宁·高考真题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F
的示意图可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧。
故选A。
2.（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直
位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、v x、v y表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为v0，加速度为大小a，斜面倾角
为θ
AB．物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为v0 x = v0cosθ，加速度大小为ax =acosθ，则有
v x
2−v0 x
2 =−2ax x
整理可得v x = ❑√(v0cosθ)
2−2acosθ⋅x
可知，v x−x图像为类似抛物线的一部分，故AB 错误；
CD．物块在竖直方向上做匀减速直线运动，速度为v0 y = v0sinθ，加速度大小为a y =asinθ，则有
v y
2 −v0 y
2 =−2a y y
整理可得v y = ❑√(v0sinθ)
2−2asinθ⋅y
可知，v y−y图像为类似抛物线的一部分，故C 正确，D 错误。
故选C。
3.（2023·江苏·高考真题）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加
速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间Δt内水平方向增加量a Δt
2，竖直方向做在自
由落体运动，在时间Δt增加g Δt
2；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的
倾角就是一定的。
故选D。
4.（江苏·高考真题）如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原
路线返回到O 点，OA、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA = OB。若水流速度不变，两人在静水中
游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为（ ）
A．t 甲 < t 乙
B．t 甲 = t 乙
C．t 甲 > t 乙
D．无法确定
【答案】C
【详解】设游速为v，水速为v0，由于OA = OB = l，则甲整个过程所用时间
t❑甲＝
l
v + v0
+
l
v −v0
=
2vl
v
2−v0
2
乙为了沿OB 运动，速度合成如图
则乙整个过程所用时间
t乙＝
l
❑√v
2−v0
2 ×2= 2l
❑√v
2−v0
2
v
2−v0
2
由于
v >
❑√v
2−v0
2
则t 甲 > t 乙
故选C。
