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板块四 曲线运动
（考试时间：100 分钟 试卷满分：90 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题，共48 分)
一、选择题(本题共12 小题，每小题4 分，共48 分。在每个小题给出的四个选项中，第1～8 小题，只有
一个选项符合题意；第9～12 小题，有多个选项符合题意，全部选对的得4 分，选对而不全的得2 分，错
选或不选的得0 分)
1．
小米SU7 Ultra 正在水平路面减速向左转弯，假设车速为v，受到合外力为F，下列描述此刻
汽车速度和合外力方向可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】汽车正在水平路面减速向左转弯，汽车速度方向沿切线方向向前，所受合力F 方向位于轨迹
的凹侧，且合力F 方向与速度方向的夹角大于
。
故选B。
2．
“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”是唐诗《渔歌子》中描述下雨的诗句。假设有一雨
滴从静止开始自由下落一段时间，进入斜风区再下落一段时间，然后又进入无风区继续运动直至落地。若
雨滴受到的阻力忽略不计，则下图中最接近雨滴真实运动轨迹的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】雨滴在斜风区受风力与重力作用，两个力的合力与速度方向不共线，所以雨滴在此区域内做曲
线运动，且风力与重力合力的方向应该指向运动轨迹曲线内侧，在无风区重力方向与速度方向也不共线，
雨滴运动轨迹也是曲线，曲线向重力方向弯曲。
故选B。
3．
直角侧移门（如图甲所示）可以解决小户型浴室开关门不方便的问题，其结构可简化成如图
乙和图丙（俯视图）所示，玻璃门的两端滑轮
通过一根可自由转动的轻杆连接，滑轮可沿直角导轨
自由滑动，已知滑轮可视为质点，在某次关门的过程中，使用者拉住把手使滑轮
从初始位置由静止开始
运动，当玻璃门与滑轮
达到丁图示位置时，滑轮
的速度为
，则此时滑轮
的速度大小为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】沿杆方向速度大小相同，则有
，代入题中数据，解得
故选C。
4．
2025 年5 月，河南省防汛抗旱指挥部组织开展“应急使命-2025”河南防汛应急综合演练。如
图所示，在某次救援中，某河道水流速度大小恒为v=10m/s，河岸上A 处的下游C 处有个半径r=10m 的圆
形漩涡，漩涡与河岸相切于B 点，A、B 两点间的距离为
m。某解放军战士驾驶冲锋舟把被困群众从
河岸的A 处沿直线避开漩涡送到对岸，冲锋舟在静水中的最小速度为（ ）
A．5m/s
B．
m/s
C．10m/s
D．10
m/s
【答案】B
【详解】冲锋舟速度最小且避开漩涡沿直线运动到对岸时，合速度方向恰好与漩涡相切，如图所示
由于水流速度不变，合速度与漩涡相切，冲锋舟相对河岸速度为水流速度末端矢量到合速度上任一点的
连线。可知当冲锋舟相对河岸与合速度垂直时速度最小，即
，
，解得冲锋舟在静
水中的最小速度
m/s
故选B。
5．
记里鼓车是中国古代用于计量车辆行驶距离的机械装置。如图所示为《宋史》记载卢道隆所
制记里鼓车：马匹拉车使车轮转动，带动一套齿轮传动。车轮转动100 圈时，车行距离恰好为一里。因为
立轮和车轮固定在同一轴上，立轮也转动100 圈，下平轮和旋风轮转动33.3 圈，中平轮转动1 圈。此时通
过凸轮杠杆机构，拉动木人，实现车每行1 里下层木人击鼓。下列说法正确的是（ ）
A．中平轮与旋风轮的周期之比为1:33.3
B．中平轮与旋风轮轮缘上线速度之比为1:33.3
C．立轮轮缘上的线速度小于车轮轮缘上的线速度
D．立轮与下平轮的角速度之比为33.3:100
【答案】C
【详解】A．中平轮与旋风轮的角速度之比为1:33.3
根据
，中平轮与旋风轮的周期之比为33.3:1，A 错误；
B．旋风轮带动中平轮转动，中平轮与旋风轮轮缘上线速度之比为1:1，B 错误；
C．立轮和车轮同轴，立轮半径小，车轮半径大。根据
，立轮轮缘上的线速度小于车轮轮缘上的
线速度，C 正确；
D．立轮与下平轮的角速度之比为100:33.3，D 错误。
故选C。
6．如图所示，倾角为60°的光滑斜面上固定着半径
的光滑三分之二圆弧形轨道ABC，以圆心O
为原点、沿斜面向下为正方向建立坐标轴Ox，OA、OC 与x 轴间的夹角均为60°。一质量m=0.1kg 的小球
（可看成质点）从x 轴上的M 点沿垂直x 轴方向以速度v0抛出，小球恰好从A 点沿切线方向进入圆弧轨道，
重力加速度
，下列说法正确的是（ ）
A．小球的初速度v0的大小为
B．M 点的坐标为
C．小球对轨道的最大压力为
D．小球在圆弧BC 中间某点脱离轨道
【答案】B
【详解】A．小球先做类平抛运动，有
，
，
，解得
，
故A 错误；
B．M 点的坐标
，故B 正确；
C．小球到达B 点时速度最大，对轨道的压力最大，根据动能定理有
，
根据牛顿第二定律有
，解得
，根据牛顿第三定律得, 小球对轨道的最大
压力为
，故C 错误；
D．根据对称性可知，小球不可能在圆弧BC 中间某点脱离轨道，故D 错误。
故选B。
7．
如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端P 点水平射出的同时乙黄豆从另一吸
管末端M 点斜向上射出，经过一段时间后两黄豆在N 点相遇，曲线1 和2 分别为甲、乙黄豆的运动轨迹。
若M 点在P 点正下方，且PM 长度等于MN 的长度，M 点和N 点位于同一水平线上，不计空气阻力，可将
黄豆着成质点，则（ ）
A．两黄豆相遇时甲的速度与水平方向的夹角的正切值为乙的速度与水平方向的夹角的正切值的2 倍
B．甲黄豆在P 点的速度与乙黄豆在最高点的速度不相等
C．两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的2 倍
D．乙黄豆相对于M 点上升的最大高度为PM 长度的一半
【答案】A
【详解】D．设
，甲、乙两黄豆自射出后经时间在
点相遇，则有
，对于乙黄
豆，根据斜抛运动的对称性可知其从最高点（设为
）到
点的运动时间为
，
两点之间的水平
距离为
，竖直距离为
，选项D 错误。
A．根据平抛运动规律的推论可知，甲黄豆到达
点时速度方向与水平方向的夹角
的正切值为位移方
向与水平方向的夹角
的正切值的2 倍，即
，乙黄豆到达
点时速度方向与水平方向
的夹角
的正切值为从
点到
点的位移方向与水平方向的夹角
的正切值的2 倍，即
，所以
，选项A 正确。
B．甲黄豆在P 点的速度与乙黄豆在最高点的速度都等于各自运动过程中水平方向的分速度，二者在整
个运动过程的水平位移和时间均相同，所以水平分速度相等，则甲黄豆在P 点的速度与乙黄豆在最高点
的速度相等，选项B 错误。
C．设甲、乙两黄豆在
点时的水平分速度大小均为
，竖直分速度大小分别为
，合速度大小
分别为
，则
，所以
，
，根据平行四边形定则有
，所以
，选项C 错误。
故选A。
8．如图所示，质量分别为
、
的物块A、B 分居圆心两侧放在水平圆盘上，用不可伸长的
轻绳相连，与圆心距离分别为
和
，其中
。A、B 与圆盘的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑
动摩擦力。当圆盘以不同角速度
轴
匀速转动时，绳中弹力F 随
的变化关系如图所示。当角速度为
时，A 物块恰好不受摩擦力作用，取
。下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．物块与圆盘间的动摩擦因数
D．当角速度为
时，物块恰好与圆盘相对滑动
【答案】C
【详解】ABC．当角速度较小时，绳中没有拉力，对A、B 有
，
，由于
所以，随着角速度增大，B 所受摩擦力先达到最大，此后
，
，随着
角速度增大，B 所受摩擦力不变，则有
，结合图像可得
，
，
解得
，
，当角速度为
时，A 物块恰好不受摩擦力，则有
，
，联立解得
故AB 错误，C 正确；
D．当物块恰好与圆盘相对滑动时，A 所受摩擦力达到最大，且沿半径向外，则有
，
，联立解得
，D 错误。
故选C。
9．下列关于生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（ ）
A．甲图中汽车通过拱桥的最高点时处于超重状态
B．乙图中洗衣机里衣物随着滚筒做匀速圆周运动时，衣物运动到最低点
时脱水效果最好
C．丙图中铁路的转弯处，外轨比内轨高是为了减小轮缘与外轨的侧向压力
D．丁图中同一小球在光滑固定的圆锥筒内
、
位置先后做匀速圆周运动，在
、
两位置小球角速
度大小相等
【答案】BC
【详解】A．汽车通过拱形桥的最高点时，加速度方向竖直向下，处于失重状态，故A 错误；
B．根据牛顿第二定律，在最低点
，在最高点有
在最低点支持力更大，可知衣物运动到最低点B 点时脱水效果更好，故B 正确；
C．火车转弯时，由外轨的侧压力提供向心力，为了保护铁轨，减小外轨所受的侧压力，往往使外轨略
高于内轨，这样也防止了火车向外脱轨，故C 正确；
D．设筒壁与竖直方向夹角为
，对小球有
，解得
由于小球在A、B 两点做圆周运动的r 不同，故角速度不同，故D 错误。
故选BC。
10．
精彩的飙车比赛为我们解释了什么叫速度与激情。如图为一赛车手驾驶着方程式赛车飙车
的物理模型，该赛车手正以速度v=8m/s 匀速经过半径为16 米的半圆（为简化问题，可视为轮胎所受摩擦
力指向圆心），已知人与赛车质量为1t，重力加速度为g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．赛车受到地面的作用力为4×103N
B．向心加速度a=4m/s2
C．轮胎与地面的摩擦系数
至少为0.2
D．轮胎所受摩擦力不做功
【答案】BD
【详解】A．赛车所需向心力为
，向心力由地面对车的摩擦力提供，地
面的作用力还包含支持力的作用，故赛车受到地面的作用力大于4×103N，故A 错误；
B．向心加速度为
，故B 正确；
C．根据牛顿第二定律可得
，解得
，可知轮胎与地面的动摩擦因数
至少为
0.4，故C 错误；
D．轮胎所受摩擦力提供向心力，方向总是与速度方向垂直，所以轮胎所受摩擦力不做功，故D 正确。
故选BD。
11．如图所示，小球a、b 分别在细绳和轻质细杆作用下在竖直面内做圆周运动，两小球运动的半径均为
R，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球a 经过最高点时的速度可能为
B．小球a 在细绳作用下在竖直面内做圆周运动，绳上拉力不可能为0
C．小球b 经过最高点时，速度最小值为
D．小球b 以角速度
做匀速圆周运动时，运动到左侧与圆心等高的A 点时，杆对球的作用力的大小为
【答案】AD
【详解】AB．当绳子拉力为零时，小球通过最高点的速度最小，根据
，解得
小球a 经过最高点时的速度不得小于
，故A 正确，B 错误；
C．杆可以对物体支持力，当支持力等于重力时，速度最小为0，则小球b 经过最高点时的速度可能小
于
，故C 错误；
D．小球b 以角速度
做匀速圆周运动时，运动到左侧与圆心等高的A 点时，竖直方向
，水平
方向
，根据力的合成可知杆对球的作用力的大小
，联立可得
，故D 正确。
故选AD。
12．
跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图甲所示为一城墙
的入城通道，通道宽度
，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，加速到M 点时斜
向上跃起，设跃起瞬间可突然获得一个竖直方向的速度，水平速度不变，到达右墙壁P 点时，竖直方向的
速度恰好为零，P 点距离地面高
，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得
一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁上的Q 点，P 点与Q 点等高，后与Q 点发生弹性碰撞并落至地面（水
平方向速度不变，竖直方向速度反向），至此完成整个挑战过程，在规定时间内完成挑战即可获得奖励。
飞跃过程中人距地面的最大高度为
，重力加速度g 取
，整个过程中人的姿态可认为保持
不变，如图乙所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．人助跑的距离为
B．人助跑的加速度为
C．人刚离开右墙壁时的速度大小为
D．若总时长控制在
内即可获奖，则该挑战者将无法获得奖项
【答案】BCD
【详解】A．人到达右墙壁P 点时，竖直方向的速度恰好为零，根据逆向思维，可知从M 点到P 点的逆
过程为平抛运动，则
，从P 点到Q 点的过程为斜抛运动，根据对称性可得
，
，联立，解得
，
，
，人助跑的距离为
，故A 错误；
B．人助跑时，根据
，解得
，故B 正确；
C．人刚离开墙壁时竖直方向的速度大小为
，人刚离开右墙壁时的速度大小为
，故C 正确；
D．该挑战者助跑用时为
，设由Q 点落至地面用时为
，则
，解得
，则该挑战者共用时
，所以，该挑战者将无法获
得奖项，故D 正确。
故选BCD。
第Ⅱ卷(非选择题，共52 分)
二、填空题(本题共2 小题，共14 分)
13．（6 分）某探究小组用图甲装置，来探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，已知挡板A、C
到左、右塔轮中心轴的距离相等，挡板B 到左塔轮中心轴距离是挡板A 的2 倍，皮带按图乙三种方式连接
左、右变速塔轮，每层半径之比由上至下依次为
、
和
。
(1)若要探究向心力大小与半径的关系，则需要将皮带放在第 层，小球放在挡板C 处和挡板
（选填“A”或“B”）处。
(2)若将皮带放在第二层，将质量为m、3m 两金属球分别放在挡板A、C 处，匀速摇动手柄，左、右两标尺
格数的比值为 。
【答案】(1) 一 B (2)
【详解】（1）[1][2]根据
可知在探究向心力大小与半径的关系时，需控制角速度和质量相同，小球运动半径不同，根据
变速塔轮边缘线速度相同，则需要塔轮半径相同，需要将皮带放在第一层，小球放在挡板C 处和挡板B
处。
（2）根据
将皮带放在第二层，塔轮半径比为
，根据
可知角速度比为
，又因为质量之比为
，半径之比为
，所以向心力大小之比为
，即左、右
两标尺格数的比值为
。
14．（8 分）在“研究平抛运动”实验中：
(1)如图甲，用小锤轻击弹簧金属片，A 球向水平方向飞出，同时B 球被松开，竖直向下运动。用不同的力
击打弹簧金属片，可以观察到______。（多选）
A．A、B 两球同时落地
B．A、B 两球的运动路线都不变
C．A 球的运动路线改变，B 球的运动路线不变D．击打的力越大，A、B 两球落地时间间隔越大
(2)如图是横挡条卡住平抛小球，用铅笔标注小球最高点，确定平抛运动轨迹的方法，坐标原点应选小球在
斜槽末端点时的______
A．球心
B．球的上端
C．球的下端
(3)在此实验中，下列说法正确的是______（多选）
A．斜槽轨道必须光滑
B．记录的点应适当多一些
C．用光滑曲线把所有的点连接起来
D．y 轴的方向根据重垂线确定
(4)如图是利用图装置拍摄小球做平抛运动的频闪照片，由照片可判断实验操作错误的是______
A．释放小球时初速度不为0
B．释放小球的初始位置不同C．斜槽末端切线不水平
(5)如图所示，是研究小球做平抛运动过程中所得到小球的平抛运动轨迹，某同学忘了记录平抛运动的起始
点，于是他在平抛轨迹上选出一点为坐标原点，沿竖直方向建立y 轴，垂直y 轴方向建立x 轴。已知轨迹
上A 点的坐标是：
，
，B 点的坐标是：
，
，若g 取10m/s2，则：
小球平抛的初速度大小为 m/s
【答案】(1)AC (2)B (3)BD (4)C (5)3
【详解】（1）A．A、B 两小球竖直方向均为自由落体运动，下落高度相同，所以同时落地，故A 正确；
B C．击打力不同，A 球的水平初速度不同，平抛运动轨迹（运动路线）改变。B 球自由下落路线不变，
故B 错误，C 正确；
D．A、B 两球竖直方向运动时间仅由高度决定，高度相同则落地时间相同，与击打力无关，故D 错误。
故选AC。
（2）实验中是用横挡条卡住平抛小球，用铅笔标注小球最高点，确定平抛运动轨迹，坐标原点需与标
记部位一致（小球上端），以保证轨迹记录准确。故B 正确，AC 错误。
故选B。
（3）A．斜槽轨道无需光滑，只需保证小球每次从同一位置由静止释放即可，这样就可以保证小球离
开斜槽末端的速度是一样的，故A 错误；
B．记录点越多，轨迹描绘越准确，故B 正确；
C．作图时应让尽可能多的点位于图线上，并不一定把所有的点连接起来，故C 错误。
D．
轴必需沿竖直方向，由重垂线确定，故D 正确。
故选BD。
（4）平抛运动要求初速度水平，即斜槽末端水平。若斜槽末端不水平，小球初速度有竖直分量，轨迹
会偏离平抛规律。由照片可知轨迹不满足水平抛出的平抛特征，故操作错误为斜槽末端不水平。故C 正
确，AB 错误。
故选C。
（5）平抛运动水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体，由图像可知
故小球从
到B 的时间间隔和从B 到C 的时间间隔相等，设该时间间隔为
，故竖直方向有
代入数据解得
所以小球平抛的初速度大小为
三、计算题(本题共4 小题，共38 分。要有必要的文字说明和演算步骤。有数值计算的要注明单位)
15．(9 分)在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，
可以视为平抛运动。摩托车后轮落到壕沟对面才算安全，摩托车可视为质点。g 取
求：
(1)摩托车飞跃壕沟的时间？
(2)摩托车的速度至少要多大才能越过这个壕沟？
(3)摩托车恰好飞跃壕沟落地时的速度大小？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）依题意可知摩托车竖直方向上做的是自由落体运动，设下落高度为，飞跃壕沟的运动
时间为，则有
所以摩托车飞跃壕沟的时间
（2）要想越过壕沟，摩托车的水平位移至少是
，由于水平方向做的是匀速直线运动，故
可得摩托车越过这个壕沟的最小初速度为
（3）摩托车落地时的竖直方向速度为
根据矢量运算法则可得摩托车恰好飞跃壕沟落地时的速度大小为
方向与水平方向夹角为
16．(9 分)我们常常在公园和占村落中见到拱形桥，如图甲所示。一辆质量为1200kg 的小车，以10m/s 速
度经过半径为40m 的拱形桥最高点，如图乙所示，取g=10m/s²。求：
(1)小车对拱形桥的压力；
(2)为保证安全，小车经过桥顶时不能离开桥面，则此时的最大速度为多少？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由牛顿第二定律有
代入数据解得
由牛顿第三定律可知小车对拱形桥的压力为
（2）小车恰好与拱形桥的压力为0，由牛顿第二定律有
解得
即此时的最大速度为
17．(9 分)如图1 所示，小朋友用发光跳跳球健身。情境简化如下：长度
不可伸长的轻绳一端系
着质量
的小球，另一端系在固定竖直轴上。某次锻炼时，小球绕轴做角速度
的匀速圆
周运动，此时轻绳与地面平行，如图2 所示。不计小球的一切阻力，小球可视为质点，且始终未离开地面，
，
。
(1)求轻绳拉力大小
；
(2)小球绕轴做角速度
的匀速圆周运动，此时轻绳与轴的夹角
，如图3 所示。求：
①小球所需向心力大小
；
②轻绳拉力大小
。
【答案】(1)
(2)①
；②
【详解】（1）由题可知，轻绳的拉力为小球做圆周运动提供向心力，根据牛顿第二定律可得
代入数据解得轻绳拉力大小
（2）①根据牛顿第二定律可得
代入数据解得
②此时轻绳沿水平方向的分力为小球圆周运动提供向心力，则有
结合上述结论解得
18．
(11 分)如图所示，在倾角为θ 的光滑斜面EFMN 上（FM 为斜面与地面的交线），有一根
长R=0.1m 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端连接着一个可视为质点的小球，过O 点平行于EF 的
直线交FM 于C 点，FC 的长度x1=0.5m。现使小球刚好能在斜面上做完整的顺时针圆周运动，从某次过B
点细线被割断瞬间开始计时（不影响小球速度），经t=1s 落到地面上的D 点（图中未画出D 点）。不考虑
小球反弹，忽略空气阻力，sinθ=0.2，g=10m/s2。求：
(1)小球经过B 点时速率vB；
(2)小球离开斜面时的G 点和地面上H 点间的竖直高度h；
(3)水平面内D 点到H 点的距离L。
【答案】(1)1m/s
(2)1.35m
(3)0.7m
【详解】（1）因为小球刚好能在斜面上做完整的顺时针圆周运动，所以在A 点由牛顿第二定律
从A 点到B 点的过程中，由动能定理
联立解得小球经过B 点时速率为
（2）小球在BG 间做类平抛运动，则
作出小球在G 点的侧视图，如图所示
G 点沿GF 方向的分速度为
G 点沿竖直方向的分速度为
离开G 点后，竖直方向的位移为
联立解得小球离开斜面时的G 点和地面上H 点间的竖直高度为
（3）如图所示
vGF沿水平方向的分速度为
G 点沿水平方向的分速度为
D 和H 之间的距离为
联立可得水平面内D 点到H 点的距离
