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第1 讲 曲线运动 运动的合成与分解
学习目标 1.理解物体做曲线运动的条件及运动性质。 2.理解合运动与分运动的
概念，会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。
1.曲线运动
2.运动的合成与分解
1.思考判断
(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(×)
(2)做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。(×)
(3)做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。(√)
(4)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)
(5)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)
(6)曲线运动一定不是匀变速运动。(×)
(7)运动的合成与分解的实质是对描述运动的物理量(位移、速度、加速度)的合成
与分解。(√)
2.(2023·全国乙卷，15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加，
如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正
确的是( )
答案 D
考点一 曲线运动的条件与轨迹分析
1.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切。
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2.速率变化的判断
例1 (人教版必修第二册改编)在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在
水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁
铁，第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图1 所示，虚线表示小钢球的
运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是( )
图1
A.第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动
B.第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其运动轨迹是一条抛物线
C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同
一直线上
答案 D
解析 第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸引力作用，做直线运
动，并且随着距离的减小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球做非匀变速直线
运动，选项A 错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向
磁铁，是变力，故小钢球的运动不是类平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选
项B 错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度
方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线
方向，选项C 错误，D 正确。
方法总结 合外力与轨迹、速度间的关系分析思路
1.(2024·福建三明高三联考)如图2 是一种创新设计的“空气伞”，它的原理是从
伞柄下方吸入空气将空气加速，并从顶部喷出，形成辐射状气流，从而改变周围
雨水的运动轨迹，形成一个无雨区，起到遮挡雨水的作用。在无风的雨天，若
“空气伞”喷出的气流水平，则雨滴从气流上方某处下落并穿过气流区的运动轨
迹，可能是下列哪一幅图( )
图2
答案 C
解析 气流对雨滴有作用力，当雨滴接近空气伞时，受到水平方向的作用力，将
产生水平方向的加速度，此时雨滴所受的合力与运动的方向不在一条直线上，所
以其运动轨迹将逐渐发生弯曲，速度的方向不能发生突变，故A、B 错误；雨滴
原来的运动方向沿竖直方向向下，当受到水平方向的作用力后，水平方向做加速
直线运动，竖直方向做加速直线运动，从受力点开始，合外力和速度方向成锐角，
雨滴所做的运动的轨迹一定是向合外力方向发生弯曲；穿过气流区后，由于雨滴
的速度方向斜向下，与重力不在同一直线上，雨滴仍做曲线运动，故C 正确，D
错误。
考点二 运动的合成与分解
1.合运动的性质判断
加速度(或合外力)
加速度(或合外力)为0：匀速直线运动
2.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断
依据：看合初速度方向与合加速度(或合外力)方向是否共线。
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变
速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线
运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直
线运动
如果v 合与a 合共线，为匀变速
直线运动
如果v 合与a 合不共线，为匀变
速曲线运动
例2 (2023·江苏卷，10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中
沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图
中能反映空中沙子排列的几何图形是( )
答案 D
解析
2.(2024·重庆模拟预测)如图3 所示，某跳伞运动员从一定高度跳伞，在降落过程
中受到水平恒向风力影响，最后降落到同一水平面上，下列说法正确的是( )
图3
A.该运动员一定做曲线运动
B.其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越短
C.其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越长
D.其他条件不变，风力越大，该运动员着地时的速率越大
答案 D
解析 若运动员跳伞时的速度方向与运动员所受的合力方向相同，则运动员做直
线运动，A 错误；竖直方向，根据h＝gt2，可得t＝，可知该运动员在空中运动
时间与风力无关，B、C 错误；水平方向风力越大，水平方向的加速度越大，落
地时的水平速度就越大，可知其他条件不变，该运动员着地时的速率越大，D 正
确。
考点三 小船渡河模型
1.船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度：船在静水中的速度v 船、水流的速度v 水、船的实际速度v。
3.两类问题、三种情景
渡河
时间
最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，
最短时间tmin＝
渡河
位移
最短
如果v 船＞v 水，当船头方向与上游河岸夹
角θ 满足v 船cos θ＝v 水时，合速度垂直于
河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v 船＜v 水，当船头方向(即v 船方向)与
合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于
例3 (2024·河南名校联盟期末)在某次抗洪救援演练中，一条可视为质点的救灾
冲锋舟要渡过一条两岸平行的河流。已知冲锋舟在静水中的速度大小为v1＝5
m/s，河水的流速大小为v2＝4 m/s，冲锋舟渡河的最短时间为t＝40 s。若冲锋舟
在静水中的速度大小为v2，河水的流速大小为v1，河宽不变，则冲锋舟渡河的最
短距离为( )
图4
A.225 m
B.238 m
C.242 m
D.250 m
答案 D
解析 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，由题意可知，冲锋舟渡河的最
短时间为t＝40 s，由运动学公式有河宽d＝v1t＝200 m。若冲锋舟在静水中的速
度大小为v2，河水的流速大小为v1，则冲锋舟在静水中的速度小于水速，设合速
度方向与河岸夹角为θ，由几何关系可知，当船头方向垂直于合速度时，此时小
船渡河位移最短，sin θ＝，则渡河的最短距离s＝＝＝250 m，D 正确。
方法总结 小船渡河问题的分析思路
3.(2023·福建福州模拟)洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身
影。如图5 所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟行驶，若冲锋舟沿与平直河岸
成30°角的线路把被困群众从A 处送到对岸安全地B 处，采取以最小速度和最短
时间两种方案行驶，则两种方案中冲锋舟的最小速度v1和以最短时间行驶冲锋
舟的速度v2之比为( )
图5
A.1∶2
B.1∶
C.2∶
D.∶2
答案 D
解析 冲锋舟以最小速度v1和最短时间分别从A 到B，冲锋舟最小速度v1垂直
于AB 连线，有v1＝vsin 30°，最短时间行驶时冲锋舟速度v2垂直于平直河岸，
有v2＝vtan 30°，可知＝cos 30°＝，故选项D 正确。
考点四 绳(杆)端速度分解模型
1.模型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，沿绳(杆)方向的速度分量
大小相等。
2.常见模型
模型
绳端速度分解模型
例4 (多选)如图6 所示，物体P 套在光滑的细杆上，P 和Q 通过轻质细绳连接并
跨过定滑轮，一水平力F 拉着水平面上的物体Q 向左运动。在某一小段时间内，
P 沿细杆匀速向上运动通过AB 段的过程中，下列说法正确的是( )
图6
A.Q 做加速直线运动
B.Q 做减速直线运动
C.细绳对P 的拉力在增大
D.杆对P 的弹力在减小
答案 BC
解析 设绳与竖直方向夹角为θ，则vPcos θ＝vQ，当P 匀速运动，θ 增大时，Q
做减速运动，故A 错误，B 正确；对P 有mg＝Tcos θ，θ 角增大时绳子拉力T 在
增大，杆对P 的弹力FN＝Tsin θ 在增大，故C 正确，D 错误。
4.(2024·福建宁德高三期末)如图7，一条不可伸长的轻绳跨过一个光滑轻小滑轮，
将A、B 两物体连在一起，B 在外力作用下以速度v0向右匀速运动。当轻绳与水
平方向成θ 角时(0<θ<90°)，下列说法正确的是( )
图7
A.A 物体的速度为v0cos θ，轻绳拉力大于A 物体重力
B.A 物体的速度为v0cos θ，轻绳拉力小于A 物体重力
C.A 物体的速度为v0sin θ，轻绳拉力大于A 物体重力
D.A 物体的速度为v0sin θ，轻绳拉力小于A 物体重力
答案 A
解析 将B 的速度沿绳和垂直于绳进行分解，可知A 的速度为vA＝v0cos θ，当B
向右匀速运动时，夹角θ 不断增大，A 的速度不断减小，因此A 做减速运动，加
速度向上，即轻绳的拉力大于A 物体的重力，A 正确，B、C、D 错误。
模型
杆端速度分解模型
例5 (2023·湖北武汉高三期末)活塞带动飞轮转动可简化为如图8 所示的模型：
图中A、B、O 三处都是转轴，当活塞在水平方向上移动时，带动连杆AB 运动，
进而带动OB 杆以O 点为轴转动。若某时刻活塞的水平速度大小为v，连杆AB
与水平方向夹角为α，AB 杆与OB 杆的夹角为β，此时B 点做圆周运动的线速度
大小为( )
图8
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设B 点做圆周运动的线速度大小为v′，此速度为B 点的实际速度，根据运
动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直杆方向的分速度，如图，
沿杆方向的分速度为vB＝v′cos＝v′sin β，A 点实际速度为水平方向的v，根据运
动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直杆方向的分速度，如图，
沿杆方向的分速度为vA＝vcos α，又二者沿杆方向的分速度相等，即v′sin β＝
vcos α，则v′＝，故B 正确。
5.(2024·辽宁大连高三质检)如图9 所示，质量相同的小球A、B 通过质量不计的
细杆相连接，紧靠竖直墙壁放置。由于轻微扰动，小球A、B 分别沿水平地面和
竖直墙面滑动，滑动过程中小球和杆始终在同一竖直平面内，当细杆与水平方向
成37°角时，小球B 的速度大小为v，重力加速度为g，忽略一切摩擦和阻力，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则下列说法正确的是( )
图9
A.小球A 速度为v
B.小球A 速度为v
C.小球A 速度为v
D.小球A 速度为v
答案 C
解析 小球B 的速度大小为v，设小球A 的速度大小为v′，则由连接体的速度关
联关系有vsin 37°＝v′cos 37°，解得v′＝v，故C 正确，A、B、D 错误。
方法总结
三步法求解绳(杆或接触面)连接体的速度问题
A 级 基础对点练
对点练1 曲线运动的条件与轨迹分析
1.(2024·四川眉山模拟)关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是( )
A.所受合外力可以为零
B.所受合外力一定为恒力
C.所受合外力一定为变力
D.所受合外力的方向与物体的速度方向一定不在一条直线上
答案 D
解析 做曲线运动的物体，速度方向时刻在发生变化，所以一定是变速运动，合
外力一定不为零，合外力可以是恒力，例如平抛运动，合外力也可以是变力，例
如匀速圆周运动，故A、B、C 错误；做曲线运动的条件是所受合外力的方向与
物体的速度方向不在一条直线上，故D 正确。
2.(2023·辽宁卷，1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图1 中虚线所
示，篮球所受合力F 的示意图可能正确的是( )
图1
答案 A
解析 篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹
应向受力的一方发生偏转，故B、C、D 错误；当篮球的速度斜向右上方时，A
选项符合条件，故A 正确。
对点练2 运动的合成与分解
3.如图2 所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动。在与乒乓球路
径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过
筒口正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是(
)
图2
A.乒乓球将保持原有的速度继续前进
B.乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒
C.乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
D.只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
答案 B
解析 当乒乓球经过筒口时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运
动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，则一定
不会进入纸筒，要提前吹才会进入纸筒，故B 正确。
4.(2024·安徽合肥高三期中)某同学用如图3 所示的装置研究运动合成规律，长方
体物块上固定一长为L 的竖直杆，物块及杆的总质量为M，质量为m 的小环套
在杆上，当小环从杆顶端由静止滑下时(小环与杆的摩擦可忽略)，物块在水平恒
力F 的作用下，从静止开始沿光滑水平面向右运动。小环落到杆底端时，物块
移动的距离为2L，重力加速度大小为g，则小环从顶端下落到底端的过程中(
)
图3
A.小环通过的路程为2L
B.小环落到底部的时间为
C.杆对小环的作用力为mg
D.杆对小环的作用力为2mg
答案 D
解析 小环从顶端下落到底端的过程中，其水平位移为2L，竖直位移为L，其
实际位移为x 合＝＝L，所以小环通过的路程大于2L，故A 错误；小环在竖直方
向做自由落体运动，则有L＝gt2，解得t＝，故B 错误；设小环在水平方向的加
速度大小为ax，则有2L＝axt2，又t＝，联立解得ax＝2g，根据牛顿第二定律可得，
小环受到杆的作用力大小为F′＝max＝2mg，故C 错误，D 正确。
对点练3 小船渡河模型
5.(2024·安徽六安高三期中)如图4 所示，一条小船从码头A 过河，小船在静水中
的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA′方向)。当水流速度为v1时，小船
运动到河对岸的码头B 靠岸，AB 与河岸的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，
小船运动到河对岸的码头C 靠岸，AC 与河岸的夹角为β＝30°。下列说法正确的
是( )
图4
A.小船沿AB、AC 过河的时间相等
B.小船沿AC 过河的时间更长
C.v1∶v2＝1∶2
D.当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，船头应指向河的上游且与河岸夹
角为60°
答案 A
解析 因船头始终垂直于河岸，所以小船过河的时间为t＝，即小船沿AB、AC
过河的时间相等，选项A 正确，B 错误；由题意可知tan 60°＝，tan 30°＝，解得
v1∶v2＝1∶3，选项C 错误；当水流速度为v1时，要使小船到达码头A′，则合速
度应该垂直河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角满足cos θ＝＝，则
θ≠60°，选项D 错误。
6.(多选)2023 年夏天，中国多地出现暴雨，导致洪涝灾害。在某次救援中，一冲
锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行
时，恰能到达正对岸下游600 m 处；若冲锋舟船头保持与河岸成30°角向上游航
行时，则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小为5 m/s，下列说法正确的是(
)
A.冲锋舟在静水中的速度大小为10 m/s
B.河的宽度为400 m
C.冲锋舟在静水中的速度大小为 m/s
D.河的宽度为600 m
答案 BC
解析 冲锋舟恰能到达正对岸时，在静水中速度v 静与水的流速v 水的合速度垂直
于河岸，则有v 静cos 30°＝v 水，解得v 静＝ m/s，故A 错误，C 正确；当冲锋舟
船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600 m 处，由于冲锋舟在垂直河岸方
向和沿河岸方向都是匀速运动，所以两个方向的位移之比等于两方向的速度之比，
即＝，式中s 指沿河岸方向的位移，为600 m，d 指河宽，可解得d＝400 m，故
B 正确，D 错误。
对点练4 绳(杆)端速度分解模型
7.(2024·河南安阳高三期末)如图5 所示，水平固定的光滑细长杆上套有一物块
Q，跨过悬挂于O 点的轻小光滑圆环的细线一端连接Q，另一端悬挂一物块P。
设细线的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ 很小，现将P、Q 由静止同
时释放，关于P、Q 以后的运动，下列说法正确的是( )
图5
A.在θ 向90°增大的过程中，P 一直处于超重状态
B.当θ＝90°时，P 的速度最大
C.当θ＝90°时，Q 的速度最大
D.当θ＝60°时，P、Q 的速度大小之比是∶2
答案 C
解析 P 从开始运动到到达最低点的过程中，P 先向下做加速运动，加速度向下，
处于失重状态，然后又减速向下运动，加速度向上，处于超重状态，故A 错误；
当θ＝90°时，P 的速度最小，为零，位置最低，即Q 到达O 点正下方时，Q 的
速度最大，故B 错误，C 正确；由题可知，P、Q 用同一根绳连接，则Q 沿绳子
方向的速度与P 的速度相等，则当θ＝60°时，vQcos 60°＝vP，解得vP∶vQ＝
1∶2，故D 错误。
8.(2024·河南省驻马店高级中学月考)如图6 所示，一根长为l 的轻杆OA，O 端用
铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h 的物块上。不计摩擦，
则当物块以速度v 向右运动至轻杆与水平面的夹角为θ 时，物块与轻杆的接触点
为B，下列说法正确的是( )
图6
A.小球A 的线速度大小为
B.轻杆转动的角速度为
C.小球A 的线速度大小为
D.轻杆转动的角速度为
答案 C
解析 物块的速度v 在垂直于杆方向的分速度等于B 点的线速度，即vB＝vsin
θ，根据v′＝ωr 可知＝＝，联立以上两式解得vA＝，故A 错误，C 正确；轻杆转
动的角速度为ω＝＝，故B、D 错误。
B 级 综合提升练
9.今年夏天暴雨灾害频发。若雨滴(可视为球形、密度一定)在空中下落时受到的
空气阻力为f＝kR2v2，k 是常量，R 为雨滴半径，v 为雨滴速度。所有雨滴从同一
足够高高度由静止下落，无风时最终匀速落到地面上。重力加速度为g，落地过
程雨滴保持球形不变，下列说法正确的是( )
A.无风时，雨滴开始下落做匀加速直线运动
B.无风时，半径不同的雨滴落到地面时的速度可能相等
C.刮水平风时，雨滴落地的竖直速度不会改变
D.刮水平风时，雨滴落地速率与无风时相等
答案 C
解析 由mg－kR2v2＝ma 可知，无风时，雨滴开始下落做加速度减小的加速直线
运动，故A 错误；落地前匀速下落，由kR2v2＝mg，其中m＝πR3ρ，解得v＝
∝，可知无风时，半径不同的雨滴落到地面时的速度不相等，故B 错误；刮水平
风时，雨滴落地的竖直速度不受水平风力的影响，则落地的竖直速度不会改变，
故C 正确；刮水平风时，雨滴落地的水平速度改变，竖直速度不变，则落地的
速率与无风时不相等，故D 错误。
10.如图7 所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N 分别是甲、乙
两船的出发点，两船头与河岸均成α 角，甲船船头恰好对准N 点的正对岸P 点，
经过一段时间乙船恰好到达P 点，如果划船速度大小相等，且两船相遇不影响
各自的航行，下列判断正确的是( )
图7
A.甲船也能到达正对岸
B.甲船渡河时间一定短
C.两船相遇在NP 直线上的某点(非P 点)
D.渡河过程中两船不会相遇
答案 C
解析 甲船航行的方向与河岸成α 角，水流速度水平向右，合速度一定不会垂直
河岸，则甲船不能垂直到达对岸，故A 错误；在垂直河岸方向上，v 甲＝vsin
α，v 乙＝vsin α，渡河时间为t 甲＝＝，t 乙＝＝，两船渡河时间相等，因为在垂直
河岸方向上的分速度相等，又是同时出发的，所以两船相遇在NP 直线上的某点
(非P 点)，故B、D 错误，C 正确。
11.如图8，甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平
地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微
小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m 时，下列说法正
确的是( )
图8
A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
答案 B
解析 设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，
v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，图示位置时，有cos θ＝，
sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为＝，选项A 错误，B 正确；当
甲球即将落地时，θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项
C、D 错误。
12.(2024·山西大同模拟)如图9 所示，在风洞实验室中，从A 点以水平速度v0向
左抛出一个质量为m 的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方
向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A 点正下方的B 点处，重力加速度为
g，在此过程中，求：
图9
(1)小球离A、B 所在直线的最远距离；
(2)A、B 两点间的距离；
(3)小球到达B 点时的速率vB。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，
v＝2axxmax
解得xmax＝。
(2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝
由对称性知小球从A 运动到B 的总时间t＝2t1
竖直方向上有y＝gt2＝。
(3)小球运动到B 点时，有vx＝v0
vy＝gt，则vB＝＝。
