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第1 讲 机械振动
学习目标 1.认识简谐运动，理解简谐运动的表达式和图像。 2.知道单摆，理解
并熟记单摆的周期公式。 3.认识受迫振动，了解产生共振的条件及其应用。
一、简谐运动
2.两种模型
模型
弹簧振子
单摆
示意图
简谐运
动条件
(1)弹簧质量可忽略
(2)无摩擦等阻力
(3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻细线
(2)无空气阻力
(3)摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向
(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π
能量
转化
弹性势能与动能的相互转化，
系统的机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，
摆球机械能守恒
二、简谐运动的表达式和图像
三、受迫振动和共振
1.思考判断
(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(×)
(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同
的。(×)
(3)做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。(√)
(4)振动物体经过半个周期，路程等于2 倍振幅；经过个周期，路程等于振幅。
(×)
(5)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(×)
(6)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(√)
(7)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(×)
(8)简谐运动的振动图像一定是正弦曲线。(√)
2.[2021·广东卷，16(1)]如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将
小球向下拉动距离A 后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，
周期为T。经时间，小球从最低点向上运动的距离________(填“大于”“小
于”或“等于”)；在时刻，小球的动能________(填“最大”或“最小”)。
答案 小于 最大
3.[2022·河北卷，16(1)]一列简谐横波沿x 轴正方向传播，波速为10 m/s。在传播
方向上有P、Q 两质点，坐标分别为xP＝1 m，xQ＝6 m。波传播到P 点开始计时，
该点的振动图像如图所示，则简谐波的波长为________m，经过________s，Q
点第一次到达正向最大位移处。
答案 2 0.55
4.如图所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8
Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz。当支架受到沿竖直方向且频率为9 Hz 的
驱动力作用做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是( )
A.甲的振幅较大，且振动频率为8 Hz
B.甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz
C.乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz
D.乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz
答案 B
考点一 简谐运动的基本特征
简谐运动的五个特征
受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x 的大小成正比，方向相反
运动特征
靠近平衡位置时，a、F、x 都减小，v 增大；远离平衡位置时，
a、F、x 都增大，v 减小
能量特征
振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系
统的机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变
化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变
化，其变化周期为
对称性特征
关于平衡位置O 对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动
能、势能均相等，相对平衡位置的位移大小均相等
角度
简谐运动基本物理量的分析
例1 如图1 所示，小球在BC 之间做简谐运动，当小球位于O 点时，弹簧处于原
长，在小球从C 点运动到O 点的过程中( )
图1
A.动能不断增大，加速度不断减小
B.回复力不断增大，系统机械能守恒
C.弹性势能不断减小，加速度不断增大
D.弹性势能不断增大，加速度不断减小
答案 A
解析 做简谐运动的小球，从C 点到O 点的过程中逐渐靠近平衡位置，速度方
向指向平衡位置，弹簧弹力充当回复力，也指向平衡位置，故速度方向与受力方
向相同，合外力做正功，动能不断增大；同时由于偏离平衡位置的位移减小，由
回复力公式F＝－kx 可知，回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知F＝－kx＝
ma，故加速度不断减小，故A 正确；由上述分析可知回复力不断减小，整个系
统只有弹簧弹力做功，故系统的机械能守恒，故B 错误；在小球从C 点到O 点
的过程中，弹簧形变量逐渐减小，故弹性势能逐渐减小，同时由上述分析可知，
加速度也逐渐减小，故C、D 错误。
角度
简谐运动的周期性与对称性
例2 小球做简谐运动，若从平衡位置O 开始计时，经过0.5 s，小球第一次经过
P 点，又经过0.2 s，小球第二次经过P 点，则再过多长时间该振子第三次经过P
点( )
A.1.0 s
B.2.4 s
C.0.8 s
D.2.2 s
答案 D
解析 若小球从O 点开始向指向P 点的方向振动，作出示意图如图甲所示
则小球的振动周期为T1＝(0.5＋0.1)×4 s＝2.4 s，则该小球再经过时间Δt＝T1－
0.2 s＝2.2 s，第三次经过P 点；若小球从O 点开始向背离P 点的方向振动，作出
示意图如图乙所示
则有0.5 s＋0.1 s＝T2，小球的振动周期为T2＝0.8 s，则该小球再经过时间Δt′＝T2
－0.2 s＝0.6 s，第三次经过P 点，A、B、C 错误，D 正确。
以位移为桥梁分析简谐运动中各物理量的变化情况
(1)位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；
反之，则产生相反的变化，各矢量均在位移为零时均改变方向。
(2)位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方
向，由于周期性，运动时间也不确定。
考点二 简谐运动的表达式和图像
1.简谐运动的振动方程和图像
(1)从平衡位置开始计时：x＝Asin ωt，如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时：x＝Acos ωt，如图乙所示。
(3)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质
点运动的轨迹。
2.由图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表
示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移
的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和
加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
3.简谐运动的对称性(如图)
(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都
相同。
(2)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对
称，位移等大反向(或都为零)，速度也等大反向(或都为零)。
例3 (多选)如图2 所示是一简谐运动的振动图像，则下列说法正确的是( )
图2
A.该简谐运动的振幅为6 cm，周期为8 s
B.6～8 s 时间内，振子由负向最大位移处向平衡位置运动
C.图中的正弦曲线表示振子的运动轨迹
D.该振动图像对应的表达式为x＝3sin cm
答案 BD
解析 由题图可知，该简谐运动的振幅为3 cm，周期为8 s，故A 错误；6～8 s
时间内，振子负方向的位移大小减小，8 s 末回到平衡位置，所以振子由负向最
大位移处向平衡位置运动，故B 正确；题图中的正弦曲线表示振子偏离平衡位
置的位移随时间变化的规律，不是振子的运动轨迹，故C 错误；振动图像表达
式为x＝Asin cm，代入振幅A 和周期T，则该振动图像对应的表达式为x＝3sin
cm，故D 正确。
1.(多选)如图3 所示，为一个水平弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是( )
图3
A.t＝1 s 到t＝2 s 内，弹簧振子的动能不断减小
B.该弹簧振子的振动方程为x＝－10sincm
C.t＝3 s 时，弹簧振子的加速度沿x 轴负方向
D.t＝0 到t＝10 s 内弹簧振子的路程为50 cm
答案 BC
解析 t＝1 s 到t＝2 s 内，弹簧振子从位移最大位置向平衡位置运动，则振子的
动能不断增加，选项A 错误；因为ω＝＝ rad/s，振幅A＝10 cm，该弹簧振子的
振动方程为x＝－10sin cm，选项B 正确；t＝3 s 时，弹簧振子的位移正向最大，
则加速度沿x 轴负方向，选项C 正确；因10 s＝2.5T，则t＝0 到t＝10 s 内弹簧
振子的路程为2.5×4A＝100 cm，选项D 错误。
考点三 单摆及周期公式
1.单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F 回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，
负号表示回复力F 回与位移x 的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，Fn＝FT
－mgcos θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，v＝0，Fn＝＝0，FT＝mgcos θ。
②当摆球在最低点时，Fn＝m，Fn最大，FT＝mg＋m。
2.周期公式T＝2π 的两点说明
(1)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g 为当地重力加速度。
例4 如图4 甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位
置时开始计时，相对平衡位置的位移x 随时间t 变化的图像如图乙所示。不计空
气阻力，g 取10 m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是( )
图4
A.单摆的位移x 随时间t 变化的关系式为x＝10 sin(2πt) cm
B.单摆的摆长约为10 cm
C.从t＝2.5 s 到t＝3 s 的过程中，摆球所受的回复力逐渐增大
D.从t＝2.5 s 到t＝3 s 的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐增大
答案 D
解析 由题图乙可知，振幅A＝10 cm，单摆周期T＝2 s，则圆频率ω＝＝π
rad/s，可得单摆的位移x 随时间t 变化的关系式为x＝10sin(πt) cm，A 错误；由
单摆的周期公式T＝2π 解得单摆的摆长约为100 cm，B 错误；由题图乙可知，从
t＝2.5 s 到t＝3 s 的过程中，摆球从最大位移处向平衡位置运动，所以加速度在
减小，回复力在减小，摆球的速度在增大，设绳子与竖直方向的夹角为θ，则绳
子的拉力FT＝Gcos θ＋m，此时θ 减小，v 增大，所以拉力逐渐增大，C 错误，
D 正确。
2.(多选)(2024·海南海口模拟)如图5 所示是两个理想单摆在同一地点的振动图像，
纵轴表示摆球偏离平衡位置的位移。下列说法中正确的是( )
图5
A.t＝2 s 时，甲单摆的摆线拉力为0，乙的速度为0
B.增大乙的摆球质量，乙的周期有可能与甲相等
C.甲摆球和乙摆球永远不可能同时均处于动能最小的状态
D.乙摆球位移随时间变化的关系式为x＝sin cm
答案 CD
解析 t＝2 s 时，甲单摆运动到最低点，摆球速度最大，细线拉力和小球重力的
合力提供向心力，摆线拉力不为0，故A 错误；由周期公式T＝2π 可知，周期与
摆球质量没有关系，故B 错误；由题图可知，乙的周期是甲的2 倍，甲、乙同时
从平衡位置向正方向运动，则永远不可能同时均处于动能最小的状态，故C 正
确；由题图可知，乙单摆的振幅为1 cm，圆频率为ω＝＝ rad/s，又有t＝0 时，
x＝0，且开始向正方向运动，则乙摆球位移随时间变化的关系式为x＝sin cm，
故D 正确。
考点四 受迫振动和共振
简谐运动、受迫振动和共振的关系比较
振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
振动周期或
频率
由系统本身性质决
定，即固有周期T0
或固有频率f0
由驱动力的周期或
频率决定，即T＝
T 驱或f＝f 驱
T 驱＝T0或f 驱＝f0
振动能量
系统的机械能不变
由产生驱动力的物
体提供
振动物体获得的能
量最大
常见例子
弹簧振子或单摆
(θ≤5°)
机械工作时底座发
生的振动
共振筛、声音的共
鸣等
例5 科技馆内有共振秋千，参观者坐上秋千，双脚离地，前后摆动，会发现对
面的球摆也在跟着大幅度摆动。关于这个现象，以下说法不正确的是( )
图6
A.如果改变对面球的质量，会使球摆动幅度变小
B.秋千系统的重心高度与对面球摆的重心高度大致相同
C.如果对秋千施加一个周期性的驱动力，球摆的振动周期与该驱动力周期相同
D.若把共振秋千移到太空舱中则无法实现共振现象
答案 A
解析 球发生摆动是因为参观者晃动秋千使球做受迫振动，受迫振动的周期和频
率等于驱动力的周期和频率，故球摆的振动周期与对该秋千施加的周期性的驱动
力的周期相同，C 正确；球的摆动幅度和参观者晃动秋千的频率与球摆的固有频
率有关，根据T＝2π，可知球摆的固有频率只与摆长和重力加速度有关，与质量
没有关系，A 错误；发现对面的球摆也在跟着大幅度摆动，说明发生了共振，周
期相同，则摆长相同，说明重心高度大致相同，B 正确；球摆的重力沿切线方向
的分力提供回复力，共振秋千移到太空舱中处于完全失重状态，则不能形成单摆，
所以无法实现共振现象，D 正确。
3.(2024·山东枣庄高三期中)某种减噪装置结构如图7 所示，通过装置的共振可吸
收声波。已知其固有频率为f0＝(SI 制)，其中σ 为薄板单位面积的质量，L 为空
气层的厚度。经测试发现它对频率为200 Hz 的声音减噪效果最强，若外界声波
频率由200 Hz 变为300 Hz，则( )
图7
A.系统振动频率为200 Hz
B.系统振动频率为300 Hz
C.为获得更好减噪效果，可仅增大L 的大小
D.为获得更好减噪效果，可仅换用σ 更大的薄板
答案 B
解析 系统做受迫振动，振动时的频率等于驱动力的频率，即为300 Hz，故A
错误，B 正确；由于驱动力的频率大于系统的固有频率，在驱动力的频率一定时，
为获得更好减噪效果，应使系统的固有频率增大，由f0＝(SI 制)可知，应减小σ
或L，故C、D 错误。
A 级 基础对点练
对点练1 简谐运动的基本特征
1.如图1 所示，弹簧振子在A、B 之间做简谐运动，O 为平衡位置，测得A、B 间
距为6 cm，小球完成30 次全振动所用时间为60 s，则( )
图1
A.该振子振动周期是2 s，振幅是6 cm
B.该振子振动频率是2 Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是12 cm
D.小球过O 点时开始计时，3 s 内通过的路程为24 cm
答案 C
解析 由题意可知T＝ s＝2 s，A＝ cm＝3 cm，A 错误；频率T＝，解得f＝0.5
Hz，B 错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4 倍，即s0＝4A＝12
cm，C 正确；小球在3 s 内通过的路程为s＝×4A＝×4×3 cm＝18 cm，D 错误。
2.(2024·浙江杭州联考)如图2 为某鱼漂示意图。当鱼漂静止时，水位恰好在O 点。
用手将鱼漂往下按，使M 点到达水位处。松手后，鱼漂会上下运动，鱼漂上的
M、N 两点在水位上下来回移动，且鱼漂的运动是简谐运动。下列说法正确的是
( )
图2
A.水位在O 点时，鱼漂的速度最大
B.N 点到达水位处时，鱼漂的位移向下最大
C.M 点到达水位处时，鱼漂具有向下的加速度
D.M、N 之间的距离即鱼漂的振幅
答案 A
解析 O 点是平衡位置，根据简谐运动的特点可知，水位在O 点时，鱼漂的速
度最大，故A 正确；鱼漂的N 点到达水位处时，说明鱼漂向上运动，位移方向
向上且最大，速度为零，故B 错误；M 点到达水位处时，鱼漂向下的位移最大，
具有向上的加速度，故C 错误；鱼漂上下做简谐运动，偏离平衡位置的最大位
移叫振幅，M 点或N 点到达水位处时，位移最大，振幅等于OM 的长度或者ON
的长度，故D 错误。
对点练2 简谐运动的表达式和图像
3.某质点的振动图像如图3 所示，下列说法正确的是( )
图3
A.1 s 和3 s 时刻，质点的速度相同
B.1 s 到2 s 时间内，质点的速度与加速度方向相同
C.简谐运动的表达式为y＝2sin(0.5πt＋1.5π) cm
D.简谐运动的表达式为y＝2sin(0.5πt＋0.5π) cm
答案 D
解析 y－t 图像上某点切线的斜率表示速度；1 s 和3 s 时刻，质点的速度大小相
等，方向相反，故A 错误；1 s 到2 s 时间内，质点做减速运动，加速度与速度方
向相反，故B 错误；振幅为A＝2 cm，周期为T＝4 s，ω＝＝ rad/s＝0.5π rad/s，
t＝0 时，y＝2 cm，则φ＝0.5 π，简谐运动的表达式为y＝Asin(ωt＋φ)＝2sin(0.5πt
＋0.5π) cm，故C 错误，D 正确。
4.(多选)一个质点经过平衡位置O，在A、B 间做简谐运动，如图4 甲所示，它的
振动图像如图乙所示，设向右为正方向，则下列说法中正确的是( )
图4
A.OB＝5 cm
B.第0.2 s 末，质点的速度方向是A→O
C.第0.4 s 末，质点的加速度方向是A→O
D.第0.7 s 末，质点位置在O 点与A 点之间
答案 AC
解析 由题图乙可知振幅为5 cm，则有OB＝OA＝5 cm，A 正确；0～0.2 s 内质
点从B 向O 运动，即第0.2 s 末质点的速度方向是O→A，B 错误；第0.4 s 末质
点运动到A 点处，则此时质点的加速度方向是A→O，C 正确；第0.7 s 末时质点
位置在O 与B 之间，D 错误。
对点练3 单摆及周期公式
5.摆球质量为m 的单摆做简谐运动，其动能Ek随时间t 的变化关系如图5 所示，
重力加速度为g，则该单摆( )
图5
A.摆长为
B.摆长为
C.摆球向心加速度的最大值为
D.摆球向心加速度的最大值为
答案 C
解析 由题图可知，单摆的周期T＝4t0，根据单摆周期公式T＝2π，解得l＝，
故A、B 错误；摆球到最低点的动能Ek＝E0＝mv2，向心加速度的最大值为a＝，
解得a＝，故C 正确，D 错误。
6.(2024·广东广州模拟)将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座
椅边缘平行(图6 甲)，让秋千以小摆角(小于5°)自由摆动，此时秋千可看作一个
理想的单摆，摆长为l。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的a－t 关系
图如图乙所示。则以下说法正确的是( )
图6
A.忽略空气阻力，秋千的回复力由重力和拉力的合力提供
B.当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力等于手机所受的重力
C.秋千摆动的周期为t3－t1
D.该地的重力加速度g＝
答案 C
解析 忽略空气阻力，秋千的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，A 错误；
在最低点，合力提供向心力有FN－mg＝m，秋千对手机的支持力FN＝mg＋m＞
mg，故秋千对手机的支持力大于手机的重力，B 错误；秋千的周期为从最大位
移处到另外一最大位移处再回到最大位移处位置所用的时间，所以两次经过最低
点，有两次向心加速度最大，根据垂直手机平面方向的a－t 关系图，可知周期
为T＝t3－t1，C 正确；根据单摆周期公式T＝t3－t1＝2π，可知当地重力加速度g
＝，D 错误。
对点练4 受迫振动和共振
7.(2024·江苏连云港模拟)飞力士棒是物理治疗师发明的一种康复器材，它由一根
PVC 软杆、两端的负重头和中间的握柄组成，棒的固有频率为4.5 Hz，如图7 所
示。下列说法正确的是( )
图7
A.用力越大，棒振动得越快
B.增大手驱动的频率，棒的振幅一定变大
C.增大手驱动的频率，棒的振动频率可能减小
D.双手驱动该棒每分钟振动270 次，则棒的振幅最大
答案 D
解析 使用者用力大小影响的是振幅，与振动快慢没有关系，故A 错误；增大
手驱动的频率，飞力士棒振动的频率随之增大，但是振幅不一定越来越大，故
B、C 错误；双手驱动该飞力士棒每分钟振动270 次，则驱动力的频率为f＝ Hz
＝4.5 Hz，驱动力的频率与飞力士棒的固有频率相等，此时振幅最大，故D 正确。
8.(多选)(2024·辽宁沈阳高三月考)共振现象是指一个物理系统在其自然的振动频
率(所谓的共振频率)下趋于从周围环境吸收更多能量的趋势。自然中有许多地方
有共振的现象。人类也在其技术中利用或者试图避免共振现象。如图8 所示为一
个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线(振幅A 与驱动力频率f 的关系)，重力加
速度g 取10 m/s2，下列说法正确的是(π2≈10)( )
图8
A.此单摆的固有周期为2 s
B.此单摆的摆长约为2 m
C.若仅摆长增大，单摆的固有频率增大
D.若仅摆长增大，共振曲线的峰将向左移
答案 AD
解析 当驱动力的频率等于单摆的固有频率时，发生共振现象，振幅达到最大，
由题图知，驱动力的频率为0.5 Hz 时，振幅最大，则此单摆的固有频率为0.5
Hz，固有周期为2 s，故A 正确；根据单摆周期公式T＝2π，解得此单摆的摆长
约为L＝＝ m＝1 m，故B 错误；若仅摆长增大，根据单摆周期公式，单摆的固
有周期增大，固有频率减小，共振曲线的峰将向左移，故C 错误，D 正确。
B 级 综合提升练
9.(2024·山东青岛高三期中)如图9 甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上
端连接一轻质薄板。t＝0 时刻，一物块从其正上方某处由静止下落，落至薄板上
后和薄板始终粘连，粘接时间可忽略，其位置随时间变化的图像(x－t)如图乙所
示，其中t＝0.2 s 时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不
计，重力加速度g＝10 m/s2，则( )
图9
A.t＝0.4 s 时物块的加速度等于重力加速度
B.t＝0.7 s 时物块的加速度小于重力加速度
C.该物块与薄板粘连后振动的周期为0.1 s
D.t＝0.2 s 后物块坐标位置随时间变化关系为x＝0.3＋0.2sin (m)
答案 D
解析 薄板为轻质薄板，质量可忽略不计。由题图乙可知，t＝0.4 s 时的B 点对
应的速度为零，物块处于最低点位置；t＝0.7 s 时的C 点对应的速度为零，物块
处于与薄板粘连后的最高点；根据简谐运动的对称性可知，最高点的加速度和最
低点的加速度大小相等，即aB＝aC，由于C 点对应物块处于最高点，此时弹簧处
于伸长状态，根据牛顿第二定律可得aC＝>g，故A、B 错误；物块从最低点B
到最高点C 所用时间为tBC＝0.7 s－0.4 s＝0.3 s，该物块与薄板粘连后振动的周期
为T＝2tBC＝0.6 s，故C 错误；因为ω＝＝ rad/s，振幅为A＝ cm＝0.2 m，t＝0.2
s 后物块坐标位置随时间变化关系为x＝0.3＋0.2sin m，当t＝0.4 s 时，x＝0.5
m，代入上式得φ0＝－，所以x＝0.3＋0.2sin (m)，故D 正确。
10.(2022·浙江6 月选考，11)如图10 所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端
分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速
度v 向右运动，小球将做周期为T 的往复运动，则( )
图10
A.小球做简谐运动
B.小球动能的变化周期为
C.两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D.小球的初速度为时，其运动周期为2T
答案 B
解析 物体做简谐运动的条件是它在运动中所受回复力与位移成正比，且方向总
是指向平衡位置，可知小球在杆中点到接触弹簧的过程，所受合力为零，此过程
做匀速直线运动，故小球不是做简谐运动，A 错误；假设杆中点为O，小球向右
压缩弹簧至最大压缩量时的位置为A，小球向左压缩弹簧至最大压缩量时的位置
为B，可知小球做周期为T 的往复运动，过程为O→A→O→B→O，根据对称性
可知小球从O→A→O 与O→B→O，这两个过程小球的动能变化完全一致，两根
弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为，两根弹簧的总弹
性势能的变化周期为，B 正确，C 错误；小球的初速度为时，可知小球在匀速运
动阶段的时间变为原来的2 倍，接触弹簧过程，根据弹簧振子周期公式T0＝2π，
可知与弹簧接触过程所用时间与速度无关，即与弹簧接触过程时间保持不变，故
小球的初速度为时，其运动周期应小于2T，D 错误。
11.(多选)如图11 甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，
图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t 图像，其中F 的最大值Fmax
＝1.02 N。已知摆球质量m＝100 g，重力加速度g 取9.8 m/s2，π2取9.8，不计摆
线质量及空气阻力。下列说法正确的是( )
图11
A.单摆周期为0.8 s
B.单摆摆长为0.64 m
C.F 的最小值Fmin＝0.96 N
D.若仅将摆球质量变为200 g，单摆周期不变
答案 BCD
解析 分析可知小球在最低点时摆线受到的拉力最大，在F－t 图像上相邻的两
次最大拉力的时间间隔刚好为单摆振动的半个周期，故T＝2×(0.9－0.1)s＝1.6
s，选项A 错误；根据单摆的周期公式T＝2π 可知单摆做简谐振动的周期与摆球
的质量无关，只与摆长和当地的重力加速度有关，选项D 正确；由T＝2π 得l＝
＝0.64 m，选项B 正确；分析可知当摆球上升到最高点时对摆线的拉力最小，设
此时摆线与竖直方向的夹角为θ，故Fmin＝mgcos θ，从最高点到最低点的过程中
只有重力对摆球做功，摆球的机械能守恒，则有mgl(1－cos θ)＝mv2，在最低点
根据牛顿第二定律有Fmax－mg＝m，联立解得Fmin＝＝0.96 N，选项C 正确。
C 级 培优加强练
12.(多选)(2023·山东卷，10)如图12 所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次
通过相距L 的A、B 两点。已知质点在A 点的位移大小为振幅的一半，B 点位移
大小是A 点的倍，质点经过A 点时开始计时，t 时刻第二次经过B 点，该振动的
振幅和周期可能是( )
图12
A.，3t
B.，4t
C.，t
D.，t
答案 BC
解析 当A、B 两点在平衡位置的同侧时有A＝Asin φA，A＝Asin φB，可得φA
＝，φB＝或者φB＝，因此可知第二次经过B 点时φB＝，T＝t，解得T＝4t，此时
位移关系为A－A＝L，解得A＝，故A 错误，B 正确；当A、B 两点在平衡位置
两侧时，有－A＝Asin φA，A＝Asin φB，解得φA＝－或者φA＝－(由图中运动方
向，舍去)，φB＝或者φB＝，当第二次经过B 点时，φB＝，则T＝t，解得T＝t，
此时位移关系为A＋A＝L，解得A＝，故C 正确，D 错误。
