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第13 课时 机械振动和机械波
【知识网络】
热点一 机械振动
1.简谐运动的五个特征
受力特征
回复力：F＝－kx，F(或a)的大小与x 的大小成正比，方向相反
运动特征
(1)运动学表达式：x＝Asin (ωt＋φ0)。
(2)靠近平衡位置时，a、F、x 都减小，v 增大；远离平衡位置
时，a、F、x 都增大，v 减小
能量特征
(1)振幅越大，能量越大。
(2)在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变
化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性
变化，其变化周期为
对称性特征
关于平衡位置O 对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，
相对平衡位置的位移大小相等
2.单摆周期公式T＝2π
g 为当地重力加速度，在地球上不同位置g 的取值不同，不同星球表面g 值也不
相同。
例1 (2024·河北卷，6)如图1，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，
轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖
直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上
就画出了描述光点振动的x－t 图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机转速
为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s 内通过的路程分别为( )
图1
A.0.2 rad/s，1.0 m
B.0.2 rad/s，1.25 m
C.1.26 rad/s，1.0 m
D.1.26 rad/s，1.25 m
答案 C
解析 根据题意可知，紫外光笔的光点在纸面上沿x 轴方向做简谐运动，由ω＝
＝2πn 可得，圆频率ω＝0.4π rad/s≈1.26 rad/s，A、B 错误；振动周期T＝＝5 s，
由杆长为0.1 m 知振幅A＝0.1 m，则运动路程s＝·4A＝×4×0.1 m＝1.0 m，C 正
确，D 错误。
例2 (2024·浙江6 月选考，9)如图2 所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1
kg 的小铁球，两端A、B 悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平
衡时，A 端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效
于悬挂点位于小球重垂线与AB 交点的单摆，已知重力加速度g＝10 m/s2，则(
)
图2
A.摆角变小，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A 端拉力为 N
D.小球平衡时，A 端拉力小于B 端拉力
答案 B
解析 由单摆的周期公式T＝2π 可知，单摆的周期与摆角无关，故摆角变小，周
期不变，A 错误；由于同一光滑细线上的拉力大小处处相等，则由题意可知，小
球平衡时，细线A 端拉力等于B 端拉力，D 错误；对平衡时的小球受力分析，如
图所示，则由力的平衡条件可知FAcos 30°＋FBcos 30°＝mg，又FA＝FB，代入数
据解得FA＝ N，C 错误；由几何关系可知单摆的摆长l＝＝1 m，则由T＝2π 可
知小球摆动周期T≈2 s，B 正确。
训练1 (2024·福建福州模拟)一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有记录笔，在竖直
面内放置一张记录纸。当振子上下振动时，以恒定速率v 水平向左拉动记录纸，
记录笔在纸上留下如图3 所示的图像。y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标。
下列说法正确的是( )
图3
A.振子的振幅为
B.振子的振动周期为
C.图像记录了振子相对地面的运动轨迹
D.若记录纸移动的速率减小为原来的一半，振子振动的周期变为原来的2 倍
答案 A
解析 由题图可知，y1为最高点坐标，y2为最低点坐标，所以振幅为A＝，故A
项正确；记录纸匀速运动，振子振动的周期等于记录纸运动2x0所用时间，即T
＝，故B 项错误；图像记录的是振子相对于记录纸的运动轨迹，故C 项错误；
弹簧振子的周期只与弹簧振子本身有关，与记录纸移动速率无关，弹簧振子的周
期不变，故D 项错误。
热点二 机械波
机械波的特点及性质
形成条件
(1)波源；(2)传播介质，如空气、水等
传播特点
(1)机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡
位置附近做简谐运动，并不随波迁移
(2)介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相
同
(3)一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位
移为零
(4)一个周期内，波向前传播一个波长
波的图像
及各量
关系
v＝λf
波的叠加
(1)两个振动情况相同的波源形成的波，振动加强的条件为Δx＝
nλ(n＝0，1，2，…)，振动减弱的条件为Δx＝(2n＋1)(n＝0，
1，2，…)
(2)振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1＋
A2
波的多解问题
由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解
问题
波的特性
波的干涉、波的衍射、多普勒效应、偏振
例3 (多选)(2024·湖北娄底一模)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中传播，甲
波沿x 轴正方向传播，乙波沿x 轴负方向传播，t＝0 时刻两列波的波形图如图4
所示。已知甲波源振动周期T＝1.0 s，下列说法正确的是( )
图4
A.两列波的传播速度均为v＝4 m/s
B.若两列波同时开始传播，则振源振动方向相同
C.两列波叠加后，质点振动的最小振幅为1 cm
D.t＝3 s 时刻，0<x<10 m 区间有4 个振动加强点
答案 AC
解析 由波形图可知两列波的波长均为λ＝4 m，甲、乙两列波在同一均匀介质
中传播速度相同，波速为v＝＝4 m/s，故A 正确；根据波形平移法可知，甲波
源起振方向沿y 轴正方向，乙波源起振方向沿y 轴负方向，则振源振动方向相反，
故B 错误；两列波叠加后，振动减弱点的最小振幅为5 cm－4 cm＝1 cm, 故C 正
确；t＝3 s 时刻， 两列波均传播了3λ，即12 m，两个波源的频率相同，且振动
的步调完全相反，取x 轴上的一点，到两个波源的距离分别为x 和12 m－x，则
当满足|x－(12 m－x)|＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)时，该点是振动加强点，解得x
＝1 m，x＝3 m，x＝5 m，x＝7 m，x＝9 m，x＝11 m，……，即0<x<10 m 区间
有5 个振动加强点， D 错误。
训练2 (2024·山东济南模拟预测)波源O 沿y 轴做简谐运动，形成两列简谐横波，
一列波在介质 Ⅰ 中沿x 轴正方向传播，另一列波在介质 Ⅱ 中沿x 轴负方向传
播。t＝0 时刻完整波形如图5 所示，此时两列波分别传到x1＝6 m 和x2＝－4 m
处。t＝1 s 时质点M 位移不变，振动方向相反，已知波源振动周期大于1 s。则(
)
图5
A.波源的起振方向沿y 轴负方向
B.介质Ⅰ中与介质Ⅱ中波速之比为1∶1
C.介质Ⅰ中与介质Ⅱ中波频率之比为2∶3
D.介质Ⅱ中波的周期为1.5 s
答案 D
解析 t＝0 时，两列波分别传到x1＝6 m 和x2＝－4 m 处，由上下坡法可知，波
源的起振方向沿y 轴正方向，故A 错误；两列波是由同一波源的振动形成的，所
以周期相同，频率相同，故C 错误；由题图可知，两列波的波长分别为λ Ⅰ＝12
m，λⅡ＝8 m，由公式v＝，可得介质 Ⅰ 中与介质 Ⅱ 中波速之比为vⅠ∶vⅡ＝
λⅠ∶λⅡ＝3∶2，故B 错误；当t＝1 s 时质点M 位移不变，振动方向相反可知
(2×T＋)＋nT＝1 s(n＝0，1，2，…)，可得T＝ s(n＝0，1，2，…)，因为波源振
动周期大于1 s，所以当n＝0 时，可得T＝1.5 s，因为两列波的周期相同，则介
质 Ⅱ 中波的周期为1.5 s，故D 正确。
训练3 (多选)(2024·黑龙江哈尔滨一模)如图6 所示，一列简谐横波沿x 轴负方向
传播，振幅为6 cm，周期为T＝2 s。已知在t＝0 时刻，质点A 坐标为(2 cm，－
3 cm)，质点B 坐标为(6 cm，－3 cm)，A、B 都沿y 轴正向运动。下列说法正确
的是( )
图6
A.该列简谐横波波长可能为 cm
B.A、B 两质点可以一个在波峰，一个在波谷
C.从t＝0 时刻起，经历Δt＝0.5 s 时间，质点A 的位移为4 cm
D.在t＝ s 时，质点B 的位移为零
答案 AD
解析 在t＝0 时，质点A、B 都沿y 轴正向运动，且A、B 的位移相同，则振动
刚好相同，故两质点振动总是相同，所以A、B 两质点不可能一个在波峰，一个
在波谷，两质点平衡位置间的距离为4 cm＝nλ(n＝1，2，3，…)，则该列简谐横
波波长可能为 cm，故A 正确，B 错误；根据质点A 的振幅和周期可得，质点A
的振动方程为y＝6sin(πt－) cm，则从t＝0 时刻起，经历Δt＝0.5 s 时间，质点A
的位置为y＝3 cm，位移为(3＋3)cm，故C 错误；根据质点B 的振幅和周期可得，
质点B 的振动方程为y＝6sin(πt－) cm，则在t＝ s 时，质点B 的位移为零，故D
正确。
热点三 振动图像与波的图像的综合应用
例4 (2023·湖北卷，7)一列简谐横波沿x 轴正向传播，波长为100 cm，振幅为8
cm。介质中有a 和b 两个质点，其平衡位置分别位于x＝－ cm 和x＝120 cm 处。
某时刻b 质点的位移为y＝4 cm，且向y 轴正方向运动。从该时刻开始计时，a
质点的振动图像为( )
答案 A
解析 a、b 两质点平衡位置的距离Δx＝cm＝λ＝λ＋，a 质点的振动情况和b 质
点左侧与b 质点的平衡位置相差的质点的振动情况相同，由波向x 轴正向传播，
某时刻b 质点的位移为y＝4 cm，且向y 轴正方向运动，可推出a、b 两质点之间
的波形如图所示，此刻a 质点向下振动，速度增大，且此刻a 质点与b 质点位移
相同，y＝4 cm，振动图像为A，A 正确，B、C、D 错误。
振动图像与波的图像综合问题的分析方法
训练4 (2024·湖北宜荆一模)图7 甲是一列简谐横波在t＝0.1 s 时刻的波形图，P
是平衡位置在x＝1.5 m 处的质点，Q 是平衡位置在x＝12 m 处的质点；图乙为质
点Q 的振动图像，下列说法正确的是( )
图7
A.这列波沿x 轴负方向传播
B.在t＝0.25 s 时，质点P 的位置坐标为(1.5 m，5 cm)
C.从t＝0.1 s 到t＝0.25 s 的过程中，质点Q 的位移大小为30 cm
D.从t＝0 时刻开始计时，质点P 在t＝(0.125＋0.2n)s(n＝0，1，2，…)时到达波
峰
答案 B
解析 根据图乙，t＝0.1 s 时，质点Q 向下振动，所以这列波沿x 轴正方向传播，
A 错误；根据图乙，波的周期为T＝0.2 s，根据图甲，可知t＝0.1 s 时质点P 向
下振动，此时位移为y＝10sin cm＝5 cm，到t＝0.25 s，历时Δt＝0.25 s－0.1 s
＝0.15 s＝T，质点P 回到t＝0.1 s 时的初始位置，坐标为(1.5 m，5 cm)，B 正确；
从t＝0.1 s 到t＝0.25 s 的过程中，历时T，质点Q 运动到波峰，其位移大小为10
cm，C 错误；波速为v＝＝ m/s＝60 m/s，则波从O 传到P 所用的时间为t0＝＝
s＝0.025 s，可知质点P 第一次到达波峰的时间为t′＝t0＋＝0.075 s，则质点P 到
达波峰的时刻为t＝(0.075＋0.2n)s(n＝0，1，2，…)，D 错误。
1.(2024·湖南卷，2)如图8，健身者在公园以每分钟60 次的频率上下抖动长绳的
一端，长绳自右向左呈现波浪状起伏，可近似为单向传播的简谐横波。长绳上
A、B 两点平衡位置相距6 m，t0时刻A 点位于波谷，B 点位于波峰，两者之间还
有一个波谷。下列说法正确的是( )
图8
A.波长为3 m
B.波速为12 m/s
C.t0＋0.25 s 时刻，B 点速度为0
D.t0＋0.50 s 时刻，A 点速度为0
答案 D
解析 由题意可知xAB＝λ＝6 m，则该波的波长为λ＝4 m，A 错误；根据振源的
振动频率为f＝1 Hz，可知该波的周期T＝1 s，则波速为v＝＝4 m/s，B 错误；
由于t0时刻A 点、B 点分别位于波谷、波峰位置，则t0时刻A 点、B 点的速度均
为0，从t0时刻到t0＋0.25 s 时刻，B 点振动了个周期，运动至平衡位置，速度最
大，C 错误；从t0时刻到t0＋0.50 s 时刻，A 点振动了个周期，运动至波峰位置，
速度为0，D 正确。
2.(多选)(2024·新课标卷，19)位于坐标原点O 的波源在t＝0 时开始振动，振动图
像如图9 所示，所形成的简谐横波沿x 轴正方向传播。平衡位置在x＝3.5 m 处的
质点P 开始振动时，波源恰好第2 次处于波谷位置，则( )
图9
A.波的周期是0.1 s
B.波的振幅是0.2 m
C.波的传播速度是10 m/s
D.平衡位置在x＝4.5 m 处的质点Q 开始振动时，质点P 处于波峰位置
答案 BC
解析 由波源的振动图像可知T＝0.2 s，A＝0.2 m，波源起振方向向上，A 错误，
B 正确；波源第2 次处于波谷位置的时间t1＝1T＝0.35 s，波速为v＝＝10 m/s，
C 正确；设t2时刻波传播到Q，t2＝＝0.45 s，Δt＝t2－t1＝0.1 s＝，此时P 正好振
动半个周期，处于平衡位置向下振动，D 错误。
3.(多选)(2024·山东卷，9)甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中沿x 轴相向传播，
波速均为2 m/s。t＝0 时刻二者在x＝2 m 处相遇，波形图如图10 所示。关于平
衡位置在x＝2 m 处的质点P，下列说法正确的是( )
图10
A.t＝0.5 s 时，P 偏离平衡位置的位移为0
B.t＝0.5 s 时，P 偏离平衡位置的位移为－2 cm
C.t＝1.0 s 时，P 向y 轴正方向运动
D.t＝1.0 s 时，P 向y 轴负方向运动
答案 BC
解析 由于两列波的波速均为2 m/s，则t＝0.5 s 时，题图所示平衡位置在x＝1
m 处和x＝3 m 处两质点的振动形式传到P 点处，则由波的叠加可知，t＝0.5 s 时，
P 偏离平衡位置的位移为－2 cm，A 错误，B 正确；同理，t＝1.0 s 时，题图所示
平衡位置在x＝0 处和x＝4 m 处两质点的振动形式(均向y 轴正方向运动)传到P
点处，根据波的叠加可知，t＝1.0 s 时，P 向y 轴正方向运动，C 正确，D 错误。
4.(2024·江西卷，6)如图11(a)所示，利用超声波可以检测飞机机翼内部缺陷。在
某次检测实验中，入射波为连续的正弦信号，探头先后探测到机翼表面和缺陷表
面的反射信号，分别如图(b)、(c)所示。已知超声波在机翼材料中的波速为6 300
m/s。关于这两个反射信号在探头处的叠加效果和缺陷深度d，下列选项正确的
是( )
图11
A.振动减弱；d＝4.725 mm
B.振动加强；d＝4.725 mm
C.振动减弱；d＝9.45 mm
D.振动加强；d＝9.45 mm
答案 A
解析 根据反射信号图像可知，超声波的传播周期T＝2×10－7 s，又波速v＝6
300 m/s，则超声波在机翼材料中的波长λ＝vT＝1.26×10－3 m，结合题图(b)和题
图(c)可知，两个反射信号传播到探头处的时间差为Δt＝1.5×10－6 s，故两个反
射信号的路程差为2d＝vΔt＝9.45×10－3 m＝λ，解得d＝4.725×10－3 m＝4.725
mm，因路程差等于半个波长的奇数倍，则两个反射信号在探头处振动减弱，A
正确。
5.(2024·北京卷，9)如图12 甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速
度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过
程中加速度a 随时间t 变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(
)
图12
A.t＝0 时，弹簧弹力为0
B.t＝0.2 s 时，手机位于平衡位置上方
C.从t＝0 至t＝0.2 s，手机的动能增大
D.a 随t 变化的关系式为a＝4sin(2.5πt) m/s2
答案 D
解析 由题图乙可知，t＝0 时，手机加速度为0，则此时手机所受合力为0，可
知此时弹簧弹力大小F＝mg，A 错误；由题图乙可知，t＝0.2 s 时，手机加速度
向上，则此时弹簧弹力向上且大于重力，由胡克定律可知，此时弹簧伸长量大于
平衡位置弹簧的伸长量，故此时手机处于平衡位置下方，B 错误；从t＝0 至t＝
0.2 s，手机由平衡位置向下运动，又合力方向向上，则合力对手机做负功，由动
能定理可知，该过程手机的动能减小，C 错误；由题图乙可知ω＝＝ rad/s＝
2.5π rad/s，则a 随t 变化的关系式为a＝4sin(2.5πt) m/s2，D 正确。
基础保分练
1.(2024·江苏卷，7)如图1 所示，水面上有O、A、B 三点共线，OA＝2AB，零时
刻在O 点的水面给一个扰动，t1时刻A 点开始振动，则B 点开始振动的时刻为(
)
图1
A.t1
B.
C.2t1
D.
答案 B
解析 水波的传播速度大小不变，设水波传播的速度为v，由题意可知OA＝
vt1、AB＝vt2，又OA＝2AB，则t2＝t1，则B 点开始振动的时刻为t3＝t1＋t2＝，B
正确。
2.(2024·甘肃卷，5)如图2 为某单摆的振动图像，重力加速度g 取10 m/s2。下列
说法正确的是( )
图2
A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m，A、C 点的速度相同
D.摆长为2.5 m，A、B 点的速度相同
答案 C
解析 根据题图可知，单摆的周期T＝1.0π s－0.2π s＝0.8π s，结合单摆的周期公
式T＝2π 可得单摆的摆长l＝1.6 m，起始时刻，单摆的位移最大，加速度最大，
速度为零，A、B 两点速度大小相等，方向相反，A、C 两点速度相同，A、B、D
错误，C 正确。
3.(多选)(2024·海南卷，10)一歌手在湖边唱歌，歌声通过空气和水传到距其2 km
的湖对岸，空气中的声速为340 m/s，水中声速为1 450 m/s，歌声可视为频率为
400 Hz 的声波，则下列说法正确的是( )
A.歌声在水中传播频率会改变
B.歌声由空气和水传到湖对岸的时间差约为4.5 s
C.歌声在空气中波长为0.85 m
D.歌声在水中的波长为5 m
答案 BC
解析 频率只与波源有关，同一波源产生的波在不同介质中的频率相同，A 错误；
根据匀速直线运动规律可得t 空＝，t 水＝，Δt＝t 空－t 水，联立并代入数据解得
Δt≈4.5 s，B 正确；根据v＝λf 可得，λ 空＝＝ m＝0.85 m，λ 水＝＝ m＝3.625
m，C 正确，D 错误。
4.(2023·广东卷，4)渔船常用回声探测器发射的声波探测水下鱼群与障碍物。声
波在水中的传播速度为1 500 m/s，若探测器发出频率为1.5×105 Hz 的声波，下
列说法正确的是( )
A.两列声波相遇时一定会发生干涉
B.声波由水中传播到空气中，波长会改变
C.该声波遇到尺寸约为1 m 的被探测物时会发生明显衍射
D.探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运动的速度无关
答案 B
解析 根据多普勒效应可知，探测器接收到的回声频率与被探测物相对探测器运
动的速度有关，而两列声波发生干涉的条件是频率相等，所以两列声波相遇时不
一定发生干涉，A、D 错误；声波由水中传播到空气中时，声波的频率不变，但
波速发生变化，所以波长会发生改变，B 正确；根据波长的计算公式可得λ＝＝
m＝1×10－3 m，当遇到尺寸约1 m 的被探测物时不会发生明显衍射，C 错误。5.
(2024·重庆名校联盟联考)如图3 甲所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平地
面上，上端连接一质量为m 的物块，物块在竖直向下的压力F 的作用下保持静
止。t＝0 时，撤去压力F，物块在竖直方向做简谐振动，取竖直向上为正方向，
弹簧振子的振动图像如图乙所示。弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，F＝
2mg。以下说法正确的是( )
图3
A.弹簧振子的振幅为
B.弹簧振子的频率为2.5 Hz
C.t＝0.2 s 时，物块的加速度最大
D.t＝0.4 s 到t＝0.6 s 的时间内，物块加速度和速度方向相同
答案 D
解析 物块在振动过程中回复力为零的位置为平衡位置，由题知，在平衡位置弹
簧弹力等于物块重力mg，则弹簧回复力为F＝2mg，则弹簧振子的振幅为A＝
＝，A 错误；由弹簧振子的振动图像知周期为T＝0.8 s，弹簧振子的频率为f＝
＝1.25 Hz，B 错误；t＝0.2 s＝T 时，物块处于平衡位置，物块的回复力最小，加
速度最小，C 错误；t＝0.4 s 到t＝0.6 s 的时间内，物块由最高点到平衡位置，速
度由0 变化到最大，速度方向指向平衡位置，回复力指向平衡位置，故物块加速
度和速度方向相同，D 正确。
6.(2024·河北张家口模拟预测)如图4 所示，一根长为l、粗细均匀且横截面积为S
的木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大装有水的容器中。现把木筷往上提起一小
段距离后放手，木筷就在水中上下做简谐振动。已知铁丝与木筷总质量为m0，
木筷与铁丝整体的等效密度为ρ1，水的密度为ρ2。简谐运动的周期公式T＝2π，
其中k 是回复力与位移的比例系数，m 为系统的质量。当地重力加速度为g。忽
略铁丝的体积，则该系统振动的周期为( )
图4
A.T＝2π
B.T＝2π
C.T＝2π
D.T＝2π
答案 C
解析 平衡时，有m0g＝F 浮＝ρ2gSh，取向下为正，向下移动位移为x 时，浮力
增大了ΔF 浮＝ρ2gSx，木筷就在水中上下做简谐振动，所以F 回＝－ΔF 浮＝－
ρ2gSx＝－kx，可得k＝ρ2gS，该系统振动的周期为T＝2π＝2π，故C 正确，D 错
误；由题知m0＝ρ1Sl，代入可得T＝2π，故A、B 错误。
7.(2024·浙江湖州二模)如图5 甲，小球在光滑球面上的A、B 之间来回运动。t＝
0 时刻将小球从A 点由静止释放，球面对小球的支持力大小F 随时间t 变化的曲
线如图乙，若弧长AB 远小于半径，则( )
图5
A.小球运动的周期为0.2π s
B.光滑球面的半径为0.1 m
C.小球的质量为0.05 kg
D.小球的最大速度约为0.10 m/s
答案 C
解析 小球在一个周期内两次经过最低点，根据图乙可知，小球的运动周期为
0.4π s，故A 错误；小球在光滑球面上做简谐运动，根据单摆周期公式T＝2π，
式中的l 即为光滑球面的半径R，代入数据可得R＝l＝0.4 m，故B 错误；设小球
在光滑球面上最高点时与其做圆周运动的圆心连线与竖直方向的夹角为θ，小球
到达最低点时的速度的最大值为v，则在最高点有mgcos θ＝F1，在最低点有F2
－mg＝m，从最高点到最低点由动能定理有mgR·(1－cos θ)＝mv2，其中F1＝
0.495 N，F2＝0.510 N，联立以上各式解得m＝0.05 kg，v＝ m/s，故C 正确，D
错误。
8.(2024·海南海口一模)如图6 所示，实线和虚线分别是沿x 轴传播的一列简谐横
波在t1＝0 和t2＝0.45 s 时刻的波形图，0 时刻x＝2 m 处的质点沿－y 方向运动。
该波( )
图6
A.沿x 轴正方向传播
B.波长为2 m
C.周期可能为0.4 s
D.传播的速度大小可能为15.6 m/s
答案 D
解析 根据同侧法可判断该波沿x 轴负方向传播，故A 错误；由波形图可知波长
为4 m，故B 错误；根据波形图的周期性可得Δt＝t2－t1＝(＋n)T(n＝0，1，2，
3，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，3，…)，当n＝0 时，解得T＝0.6 s；当n＝1
时，解得T＝0.26 s，故C 错误；波的传播速度为v＝＝ m/s(n＝0，1，2，
3，…)，当n＝0 时，解得v＝6.7 m/s；当n＝1 时，解得v＝15.6 m/s，故D 正确。
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9.(多选)(2024·福建龙岩模拟)某一B 超探头发送的简谐超声波沿x 轴正方向传播，
其波的图像如图7 所示，此刻(t＝0)处于平衡位置的质点M 刚开始振动。已知波
的频率为1×107 Hz，下列说法正确的是( )
图7
A.质点M 开始振动的方向沿y 轴正方向
B.t＝2.0×10－7 s 时，N 点第一次出现波峰
C.t＝1.25×10－7 s 时，质点M 运动到N 点处
D.经过1.25×10－7 s 质点M 运动的路程为2 mm
答案 BD
解析 根据同侧法，由题图可知，质点M 开始振动的方向沿y 轴负方向，故A
错误；由图可知，该波的波长为14×10－2 mm，波的周期为T＝＝1×10－7 s，
经过1.25×10－7 s，质点M 振动T，运动的路程为s＝5A＝2 mm，故D 正确；波
的传播速度为v＝＝1.4×103 m/s，波传播到N 点处的时间为t′＝＝1.25×
10－7 s，t＝2.0×10－7 s 时，质点N 振动的时间为Δt＝t－t′＝0.75×10－7 s＝T，
可知，N 点第一次出现波峰，故B 正确；质点不随波移动，则质点M 不能运动
到N 点处，故C 错误。
10.(2024·河北保定二模)花样游泳被誉为水中芭蕾。运动员在花样游泳表演赛中，
用手拍皮球，水波向四周散开，可简化为如图8 所示的模型，t＝0 时，波源O 开
始振动(起振方向向下)，激发的简谐横波沿水面向四周传播，水面上的各点均在
竖直方向做振幅为4 cm 的简谐运动。已知t＝3 s 时，离O 点10 m 的质点P 第一
次到达波谷，t＝7 s 时，离O 点20 m 的质点Q 第一次到达波峰，下列说法正确
的是( )
图8
A.简谐横波的波长为10 m
B.简谐横波的波速大小为4 m/s
C.0～10 s 内，质点P 通过的路程为12 cm
D.0～10 s 内，质点Q 通过的路程为24 cm
答案 D
解析 t＝3 s 时，离O 点10 m 的质点P 第一次到达波谷，则t1＝＋T＝3 s，t＝7
s 时，离O 点20 m 的质点Q 第一次到达波峰，则t2＝＋T＝7 s，解得v＝5 m/s，
T＝4 s，简谐横波的波长为λ＝vT＝20 m，故A、B 错误；波源O 传播至质点P
的时间为t3＝＝2 s，0～10 s 内，质点P 的振动时间为8 s，即两个周期，质点P
通过的路程为s1＝2×4A＝32 cm，故C 错误；波源O 传播至质点Q 的时间为t4
＝＝4 s，0～10 s 内，质点Q 的振动时间为6 s，即T，质点Q 通过的路程为s2＝
×4A＝24 cm，故D 正确。
11.(多选)(2024·山东泰安一模)在同一均匀介质中，位于x＝－6 m 和x＝12 m 处
的两个波源M 和N 均沿y 轴方向做简谐运动，形成横波a 和b。如图9 所示，t＝
0 时波a、b 分别传播到x＝－2 m 和x＝8 m 处；t＝5 s 时波a、b 恰好相遇，则下
列说法正确的是( )
图9
A.波a、b 相叠加后，会出现稳定的干涉现象
B.x＝3 m 处质点的位移最大值为2 cm
C.t＝2 s 时，质点P 沿y 轴正方向运动
D.t＝11 s 时，x＝2 m 处质点的位移为10 cm
答案 AB
解析 横波a 和b 的波长相同，同种介质中波的传播速度相同，故两列波的频率
相同，满足产生稳定干涉现象的条件，A 正确；两列波同时到达x＝3 m 处，两
列波振动步调相反，故在此处处于减弱状态，所以此处质点的位移最大值为2
cm，B 正确；由题意可知， t＝5 s 时两列波恰好相遇，且两列波的波速相同，
故横波a 的波速为v＝＝1 m/s，周期为T＝＝4 s，t＝0 时质点P 沿y 轴正方向运
动，故经过2 s＝T 质点P 沿y 轴负方向运动，C 错误；t＝11 s 时，x＝2 m 处质
点同时参与了a 波和b 波的运动，都在波谷位置，所以此时刻x＝2 m 处质点的
位移为y＝(－4) cm＋(－6) cm＝－10 cm，D 错误。
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12.(2024·湖南永州模拟)“地震预警”是指在地震发生以后，抢在地震波传播到
受灾地区前，向受灾地区提前发出警报，通知目标区域从而实现预警。科研机构
对波的特性展开研究，某机械波沿x 轴传播，图10 甲为t＝0.6 s 时的波动图像，
图乙为x＝5 m 处A 质点的振动图像，此时P、Q 两质点的位移均为－1 cm，下
列说法正确的是( )
图10
A.这列波沿x 轴正方向传播
B.P 质点的振动方程为y＝2sincm
C.t＝0.6 s 时，P、Q 两质点加速度大小相同，方向相反
D.从t＝0.6 s 开始经过0.3 s，P、Q 两质点经过的路程相等
答案 B
解析 由乙图可知，在t＝0.6 s 时，A 质点正在沿y 轴负方向运动，根据“同侧
法”可知，波沿x 轴负方向传播，故A 错误；设P 质点的振动方程为y＝Asin(ωt
＋φ)，而ω＝＝ rad/s＝ rad/s，A＝2 cm，将t＝0.6 s，y＝－1 cm 代入解得φ＝
或，因t＝0 时刻，质点P 沿＋y 方向运动，故取φ＝，因此P 质点的振动方程为
y＝2sin(t＋)cm，故B 正确；t＝0.6 s 时，质点P、Q 点在x 轴下方，加速度方向
都沿y 轴正方向，P、Q 两质点位移相同，加速度大小相同，故C 错误；波向x
轴负方向传播可知t＝0.6 s 时质点P 在x 轴下方并向y 轴负方向减速运动，Q 在x
轴下方并向y 轴正方向加速运动，又0.3 s＝，所以从t＝0.6 s 开始经过0.3 s，
P、Q 两质点经过的路程不相等，故D 错误。
