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第3 讲 曲线运动（抛体与圆周运动）
第3 讲 曲线运动（抛体与圆周运动）......................................................1
2
一．常见命题角度：.....................................................................2
二．常用方法：.........................................................................2
三．思维导图...........................................................................3
3
.7
一．曲线运动与运动的合成与分解.........................................................7
【题型1：曲线运动条件、特征与轨迹判断】................................................7
【题型2：运动的合成与分解】............................................................8
【题型3：蜡块模型与渡河模型】..........................................................8
二．抛体运动...........................................................................9
【题型1：平抛运动基本规律】............................................................9
【题型2：与斜面/曲面结合】............................................................10
【题型3：临界与极值问题】.............................................................10
【题型4：类平抛运动】.................................................................11
【题型5：斜抛运动】...................................................................11
三．圆周运动..........................................................................12
【题型1：圆周运动的基本概念问题】.....................................................12
【题型2：水平面内圆周运动】...........................................................13
【题型3：竖直面内圆周运动】...........................................................14
【题型4：离心现象与临界问题】.........................................................14
.15
一：基础练............................................................................15
二：提能练............................................................................18
三：拔高练............................................................................19
一．常见命题角度：
曲线运动：轨迹与力（速度）方向关系判断；合运动与分运动的性质、等时性、独立性分析；关联速度分
解（沿绳/杆与垂直方向）。
抛体运动：平抛、斜抛与斜面/曲面结合，求时间、位移、速度等；临界问题（如恰好不碰、最小速度）；
多物体平抛比较。
圆周运动：水平面内（圆锥摆、转盘）的临界问题（静摩擦力、绳张力）；竖直面内“绳模型”与“杆模
型”过最高点条件；传动装置中各点线速度、角速度关系
二．常用方法：
合成与分解：处理曲线运动的基本思想，将复杂运动分解为两个直线运动。
运动学公式与推论：平抛运动与斜抛运动的有关计算。
牛顿第二定律：圆周运动的有关计算。适用于水平面上的圆周运动。
能量观点：竖直面圆周运动常结合动能定理求解速度。
三．思维导图
1.(2025·江西省·高考真题)如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以
速率v1水平向右抛球，小孩以速率v2水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人
水平距离为l时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则v1为
( )
A. l √
2g
H -h - v2
B. l √
g
2( H -h) - v2
C. l √
H -h
2g - v2
D. l
√
2( H -h)
g
- v2
2.(2025·云南省·高考真题)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点
和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则( )
A. 两颗鸟食同时抛出
B. 在N点接到的鸟食后抛出
C. 两颗鸟食平抛的初速度相同
D. 在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
3.(2025·江西省·高考真题)如图所示，是“簸扬糠秕”的劳动场景，从同一高度由静止落下因质量不同
的米粒和糠秕(质量小于米粒)，在恒定水平风力作用下，落到地面不同位置而达到分离米粒和糠秕的目
的。若不计空气阻力，下列说法错误的是( )
A. 从释放到落地过程，米粒和糠秕不做平抛运动
B. 糠秕在空中运动的时间等于米粒在空中的时间
C. 落地时，糠秕速率大于米粒速率
D. 从释放到落地的过程中，水平方向上位移较大的是米粒
4.(2025·重庆市·高考真题)“魔幻”重庆的立体交通屋叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。
如图所示，轻轨列车与汽车以速度2v0分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s
的NO段做匀减速直线运动并以速度v0进入半径为R的OP圆孤段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则
( )
A. 汽车到O点时，列车行驶距离为s
B. 汽车到O点时，列车行驶距离为4 s
3
C. 汽车在OP段向心加速度大小为2v0
2
R
D. 汽车在OP段向心加速度大小为4 v0
2
R
5.(2025·江西省·高考真题)铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨对水平面倾角为θ，弯
道处的轨道圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时的速度大于 √gR tanθ，则( )
A. 这时铁轨对火车支持力等于mg
cosθ
B. 这时铁轨对火车支持力小于mg
cosθ
C. 这时外轨对外侧车轮轮缘有挤压
D. 这时内轨对内侧车轮轮缘有挤压
6.(2025·内蒙古自治区·高考真题)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端
系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔
块沿竖直方向匀速下落，则v( )
A. 一直减小
B. 一直增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小
7.(2025·安徽省·高考真题)在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖
直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。t=0 时，M、N与O点位于同一直线上，
如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是( )
A.
B.
C.
D.
8.(2025·湖北省·高考真题)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为
L
2 、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球
后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为( )
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
6
9.(2025·广东省·高考真题)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运
动，如图所示。已知圆周运动的轨道半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45❑
∘，
小球质量为0.1kg，重力加速度g取10m/ s
2。关于该小球，下列说法正确的有( )
A. 角速度为5rad / s
B. 线速度大小为4 m/ s
C. 向心加速度大小为10m/ s
2
D. 所受支持力大小为1 N
10.(2025·福建省·高考真题)如图甲，水平地面上有A、B两个物块，两物块质量均为0.2kg，A与地面
动摩擦因数为μ=0.25，B与地面无摩擦，两物块用弹簧在外力F的作用下向右前进，F与位移x的图如
图乙所示，P为圆弧最低点，M为最高点，水平地面长度大于4 m。重力加速度g取10m/ s
2。
(1)求0～1m，F做的功；
(2)x =1m时，A与B之间的弹力；
(3)要保证B能到达M点，圆弧半径满足的条件。
一．曲线运动与运动的合成与分解
当合外力（或加速度）方向与速度方向不共线，物体做曲线运动，曲线运动是变速运动，且合力指向
轨迹凹侧；处理方法是运动的合成和分解。运动的合成与分解遵循平行四边形定则，合运动与分运动具有
等时性、独立性和等效性。常用方法：
1. 合外力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与
轨迹相切，合外力方向指向轨迹的凹侧。
2. 合力方向与速率变化的关系：合力方向与速度方向夹角为锐角时物体速率增大，为钝角是时物体速率
减小，垂直时，物体速率不变。
3. 运动的合成与分解：根据运动的实际效果分解。位移、速度、加速度的合成与分解都遵循平行四边形
定则。
【题型1：曲线运动条件、特征与轨迹判断】
1.(2025·辽宁省·联考题)光滑水平面上，一质点在水平恒力作用下，以某一初速度从O点开始运动，如图所
示，它的轨迹可能是图中的( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
2.(2025·河南省·联考题)一列车沿直线向右匀加速运动的过程中，列车车厢顶部落下一个小物块，不计空气
阻力，则物块相对车厢的轨迹a和相对地面的轨迹b均可能正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【题型2：运动的合成与分解】
3.(2025·河南省·联考题)“牡丹文化节”距今已有1600多年历史，2025年4月1日第42届“牡丹文化节”开
幕，电视台摄制组为了拍到更广、更美的景色，采用了无人机拍摄的方法。现通过传感器采集某台无人
机飞行过程中的数据，得到了水平方向的速度v x及竖直方向的加速度a y与飞行时间t的关系图像，如图
甲、乙所示。取水平向前和竖直向上为正方向，竖直方向初速度为零，则下列说法正确的是( )
A. 0∼4 s内，无人机做匀变速曲线运动
B. t = 4 s时，无人机速度为2
√2m/ s
C. t = 4 s时，无人机运动到最高点
D. t =8 s时，无人机竖直方向的速度为10m/ s
【题型3：蜡块模型与渡河模型】
4.(2025·河北省石家庄市·联考题)小河中的河水以6 km/h的速度由东向西流淌，小船在静水中的速度为
18km/h。现小船需要从南岸向北岸垂直河岸沿直线航行，为保持正确航线，小船应( )
A. 北偏东θ角航行，sinθ = 1
3
B. 北偏东θ角航行，tanθ = 1
3
C. 北偏西θ角航行，tanθ = 1
3
D. 北偏西θ角航行，sinθ = 1
3
二．抛体运动
1.平抛运动（类平抛运动）问题的求解方法
(1) 常规分解法（最常用）：
分解原则：将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合外力方向）
的匀加速直线运动。
适用模型：标准的平抛运动（初速度水平，合力竖直向下）和类平抛运动（初速度与恒力合力方
向垂直）。
关键点：两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
(2) 特殊分解法（坐标系旋转法）：
分解原则：过抛出点建立适当的直角坐标系（不一定是水平和竖直方向），将加速度 a 分解为
aₓ、ay，初速度 v₀ 分解为 vₓ、vy，然后分别在 x、y 方向列运动学方程求解。
适用场景：常用于斜面或约束曲面上的抛体运动问题，以简化计算。
例如：物体从斜面顶端平抛落回斜面时，可建立沿斜面和垂直斜面的坐标系，将重力加速度 g 沿
这两个方向分解。
2.斜抛运动（类斜抛运动）的处理方法
（1）斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例（如图所示）
速度：vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ－gt
位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－1
2gt2。
（2）当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。
【题型1：平抛运动基本规律】
5.(2025·江苏省·模拟题)如图所示，小球位于竖直墙MN右侧A点，球的右侧有水平的平行光线．将小球水
平向右抛出，球在墙MN上的影子做
A. 变加速运动
B. 变减速运动
C. 自由落体运动D. 匀速直线运动
【题型2：与斜面/曲面结合】
6.(2025·湖南省·联考题)如图所示，以10m/ s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间后撞在斜面上的B点，
速度方向与斜面成74°角。已知斜面的倾角为37°，B点距地面的高度为3m，sin37° =0.6，重力加速
度g取10m/ s
2，不计空气阻力，以下说法中正确的是
A. 物体在空中飞行的时间是4
3 s
B. 物体撞击斜面时的速度大小为12.5m/ s
C. 抛出点距斜面底端A的水平距离为7.5m D. 抛出点距斜面底端A的水平距离为3.5m
7.(2025·全国·模拟题)如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α =60°，一
小球在圆轨道左侧的A点以速度v0=5m/ s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度
为g=10m/ s
2，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为( )
A. 5
√3
2
m
B. 5
√3m
C. 5
√3
6
m
D. 5
√3
3
m
【题型3：临界与极值问题】
8.(2025·安徽省·联考题)如图所示，竖直挡板(厚度不计)的高度为h=1.6m，挡板与竖直墙壁的距离为
l =1.6m，将一个小球从离地高度H =1.8m的A点以某一初速度水平抛出，小球恰好经过挡板上沿且落
在墙角O点。不计空气阻力，小球可视为质点，重力加速度g取10m/ s
2。下列说法正确的是( )
A. 小球在空中运动的时间为0.2s
B. 小球抛出时的初速度大小为4 m/ s
C. A点到挡板上沿的水平距离为0.2m
D. 小球到达墙角O点时的速度方向与水平地面的夹角为45
∘
9.(2025·云南省普洱市·模拟题)野外，一只小青蛙欲跳到前上方的水田，它从田坎前方2a处起跳，需要跳
跃前方高为2a、宽为a的田坎，其运动轨迹恰好过田坎左前方A点，运动的最高点在B点的正上方。设
青蛙起跳时的速度大小为v，方向与水平方向的夹角为α，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则( )
A. v =
√26 ga
2
tan α = 3
4
B. v =
√26 ga
2
tan α = 3
2
C. v =
√13 ga
2
tan α = 3
2
D. v =
√13 ga
2
tan α = 3
4
【题型4：类平抛运动】
10.(2025·安徽省合肥市·联考题)如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水
平初速度v0，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间
的距离为12.5m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，sin37° =0.6，cos37° =0.8，则初速度v0的大小
和恒力F的大小分别为
A. 10m/ s，0.5 N
B. 10m/ s，1.5 N
C. 8m/ s，1.5 N D. 6m/ s，0.5 N
【题型5：斜抛运动】
11.(2025·吉林省延边朝鲜族自治州·联考题)如图，在峡谷救援行动中，救援队员需将物资包(视为质点)从
断崖一侧的M点抛射到另一侧较低的平台N点，抛出速度大小v0=15
√2m/ s，方向与水平方向成45
∘角
向上。抛出点M和落点N的连线与水平方向成45
∘角(俯角)。重力加速度大小取10m/ s
2，忽略空气阻力，
下列说法正确的是( )
A. 物资包从抛出点M到落点N的运动时间为6 s
B. 物资包在落点N的速度方向与水平方向夹角为45
∘
C. 物资包在运动轨迹最高点处的速度大小为15m/ s
D. 抛出点M和落点N之间的距离为90m
三．圆周运动
解决圆周运动问题的通用流程可概括为 “一审、二定、三析、四列”：
一审（确定研究对象）：明确是哪个物体在做圆周运动。
二定（确定轨道几何要素）：
确定圆周运动的轨道平面；
确定圆心位置和轨道半径。
三析（受力分析与运动分析）：
受力分析：画出受力示意图，不单独画“向心力”。
分析向心力来源：分析物体所受合外力，找出指向圆心的合力分量（匀速圆周运动中，合外力即
为向心力）。
运动分析：明确物体的线速度v、角速度ω、周期T等运动参量。
四列（列方程求解）： 根据牛顿第二定律和向心力公式列核心方程：
F合向= Fn=man=m v
2
r =mω
2r =m 4 π
2
T
2 r
结合几何关系、临界条件等补充方程，联立求解。
【题型1：圆周运动的基本概念问题】
12.(2025·湖北省武汉市·模拟题)物理课堂上老师带来了一个可控制转速的游乐设施“大摆锤”简化模型，
如图所示，摆锤a和配重锤b分别固定在不可伸长的摆臂两端，并可绕摆臂上过O点垂直于纸面的转轴在
纸面内做匀速圆周运动。若a、b到O的距离之比为5:2，则做匀速圆周运动过程中摆锤a和配重锤b( )
A. 转速之比
na
nb
= 5
2
B. 周期之比
T a
T b
= 5
2
C. 线速度之比
va
vb
= 5
2
D. 向心加速度之比
ana
anb
= 25
4
【题型2：水平面内圆周运动】
13.(2025·四川省·联考题)如图，可视为质点的小球用细线悬于O点，使小球在水平面内以O'为圆心做匀速
圆周运动，忽略空气阻力。悬挂小球的绳长l保持不变，改变悬点O到圆心O'的距离h，则小球做匀速圆
周运动的角速度ω、周期T、向心加速度大小a、绳对小球的拉力大小F随h变化的关系图像中可能正确
的是( )
A.
B.
C.
D.
14.(2025·广东省·联考题)如图所示，两个质量均为m的物体A、B用不可伸长的细线相连，放在匀速转动的
水平转盘上，细线过圆心，A、B在圆心两侧，与圆心距离分别为r和2r，且与转盘之间的动摩擦因数
相同，均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当转盘由静止开始转速逐渐增大至两物体恰好相对转
盘发生滑动过程中，说法正确的是( )
A. B受到摩擦力先增大后不变
B. A受到的摩擦力一直增大
C. 角速度为ω= √
μg
r 时物块A不受摩擦力
D. 两物体恰好相对转盘发生滑动时，细线上拉力最大为4 μmg
【题型3：竖直面内圆周运动】
15.(2025·辽宁省·联考题)如图所示，用一轻杆将一质量为0.22kg、半径为0.5m的光滑细圆管(圆管内径远
小于管道半径)悬挂，使其位于竖直平面内，直径略小于细圆管的内径、质量为0.1kg的小球(可视为质
点)某时刻从圆管最低点A以某一初速度v A向左运动，运动到最高点B时轻杆对管道恰好无弹力，该过程
中细管道始终静止。则小球在最低点的初速度大小v A为(取g=10m/ s
2)( )
A. 2
√5m/ s
B. 4 m/ s
C. 6m/ s
D. 8m/ s
16.(2025·辽宁省鞍山市·联考题)如图所示，AB为竖直光滑圆弧轨道的直径，其半径R =0.9m, A端切线水
平。水平轨道BC与半径r =0.5m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道
CD对应的圆心角θ =37
∘。一质量为M =1kg的小球(视为质点)从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆
轨道，并从A点飞出，取g=10m/ s
2,sin37
∘=0.6,cos37
∘=0.8。
(1)若小球恰好能从A点飞出，求小球落地点与B点的水平距离；
(2)若小球从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，求小球在A点对圆弧轨道的压力大小；
(3)若小球从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，求小球在C点受到的支持力的大小。
【题型4：离心现象与临界问题】
17.(2025·河南省·模拟题)如图所示，半径为r3=5r的圆形餐桌中心有一转盘，其半径为r2=3r，可绕其中
心轴转动。a、b为两个相同的杯子，其中a置于距中心轴r1=r处，b置于转盘边缘。两个杯子与转盘间
的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，转盘厚度及转盘与餐桌的间隙不
计，餐桌始终保持静止，两个杯子均可视为质点，现缓慢增大转盘的角速度。
(1)求a、b分别相对转盘刚发生滑动时转盘的角速度之比；
(2)b相对转盘滑下后，恰不从餐桌边缘掉下，求杯子与桌面间的动摩擦因数μ'。
一：基础练
1.(2025·江苏省·模拟题)狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶，下图为雪橇受到的牵引力F
及摩擦力f 的示意图(图中O为圆心)，其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2.(2025·江苏省·模拟题)如图所示，光滑大圆环固定在竖直平面内，一小环套在大圆环上，小环从大圆
环顶端由静止开始下滑至底部．则小环下滑过程中大圆环对地面的压力大小
A. 一直大于两者的总重力
B. 一直小于两者的总重力
C. 先大于后小于两者的总重力
D. 先小于后大于两者的总重力
3.(2025·江苏省·模拟题)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩
具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好
由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是
( )
A. 将击中P点，t大于L
v
B. 将击中P点，t等于L
v
C. 将击中P点上方，t大于L
v
D. 将击中P点下方，t等于L
v
4.(2025·江苏省·模拟题)有一竖直放置的光滑半圆轨道，圆轨道的最低点为b，圆心为O，d为圆弧轨道
最高点，c为圆轨道上一点，且Oc与水平方向夹角30
∘。小物块以一定速度冲上圆轨道，从c点脱离圆轨
道，圆轨道半径为R，重力加速度为g。则小物块从c点脱离时的速度大小为( )
A. 0
B.
❑√2 gR
2
C. ❑√
❑√3
2 gR
D. ❑√gR
5.(2025·江苏省·模拟题)将一根不可伸长的轻绳穿过竖直杆上的光滑圆孔，轻绳两端连接质量分别为m1、
m2的小球A、B，旋转直杆使两球在水平面内做匀速圆周运动。如图所示，稳定时，轻绳和杆始终共面，
连接A、B的轻绳与杆的夹角分别为θ1、θ2，圆孔与A、B间轻绳长度分别为l1、l2。若θ1<θ2，则
( )
A. m1=m2，l1=l2
B. m1<m2，l1<l2
C. m1>m2，l1>l2
D. m1>m2，l1<l2
6.(2025·江苏省·模拟题)如图所示，距离水平地面一定高度的水平线上有A、B两点，两点间距离为L，
两石子分别在A、B两点以大小相等的初速度抛出，初速度方向与水平方向夹角均为θ.已知A处石子的
运动轨迹恰好经过B点，不计空气阻力，则两石子在地面上的落点距离为
A. 0
B. 0.5 L
C. L
D. 1.5 L
7.(2025·广东省·模拟题)（多选）如图所示，游乐场的旋转飞椅装置共有4条吊臂，每条吊臂长均为r，
吊绳长均为L，每名游客与座椅的总质量均为m.吊臂绕过O点的竖直轴匀速转动，游客在水平面内做匀
速圆周运动，吊绳与竖直方向的夹角为θ.重力加速度为g，不计空气阻力和吊绳的质量．下列说法正确
的是( )
A. 游客的线速度大小为 √gr tanθ B. 游客的角速度大小为 √
g tanθ
r + Lsinθ
C. 游客的向心加速度大小为
g
tanθ D. 吊绳上的拉力大小为mg
cosθ
二：提能练
8.(2025·浙江省·模拟题)2025年7月12日，浙江省第五届体育大会在台州市体育中心网球馆开幕。如图甲所
示是嗒嗒球比赛的场景，图乙为嗒嗒球在空中飞行的轨迹图，图中C、D为同一轨迹上等高的两点，A
为该轨迹的最高点，则下列关于嗒嗒球的说法正确的是( )
A. 嗒嗒球从C点经最高点A到达D点的过程中机械能守恒
B. 嗒嗒球在最高点A的加速度方向竖直向下
C. 在嗒嗒球飞行的整个过程中，最高点A的动能最小
D. 上升阶段CA段的飞行时间小于下降阶段AD段的运动时间
9.(2025·广东省·模拟题)如图所示，射击枪水平放置，射击枪与目标靶中心位于离地面足够高的同一水平线
上，枪口与目标靶之间的距离x =100m，子弹射出的水平速度v =100m/ s，子弹从枪口射出的瞬间目
标靶由静止开始释放，不计空气阻力，重力加速度取g=10m/ s
2，下列有关说法正确的是( )
A. 子弹从枪口射出到击中目标靶经历的时间t =1s
B. 目标靶由静止开始释放到被子弹击中，下落的距离h=0.5m
C. 若子弹从枪口射出的水平速度v =200m/ s，一定击不中目标靶
D. 若子弹从枪口射出的瞬间目标靶以某速度竖直下抛，子弹可能击中目标靶中心
10.(2025·浙江省·模拟题)如图所示，在倾角为37
∘足够长的斜面顶点O处，以速度v0水平抛出一小球，小球
落在斜面上反弹，反弹前后瞬间垂直于斜面方向的速度等大反向，沿斜面方向的速度不变。取重力加速
度为g，空气阻力不计，sin37
∘=0.6,cos37
∘=0.8，则下列说法正确的是( )
A. 小球第1、2次落在斜面上的速度方向相同
B. 第1次落在斜面上离开O点距离为5 v0
2
8 g
C. 第2次落点与第1次落点的距离为129 v0
2
40 g
D. 从抛出到第2次落在斜面上的时间为3 v0
2g
11.(2025·广东省·模拟题)新春佳节的焰火晚会上，某烟花燃放过程中通过不断改变出射方向来改变运动轨
迹，某时刻从H点喷出质量相等可视为质点的两烟花分别落于Q1和Q2。如图所示，两轨迹交于P点，两
条轨迹最高点等高，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A. 两束烟花在最高点的速度相同B. 落在Q2处的烟花在空中运动的时间更长
C. 两束烟花运动过程中动能的变化量相同D. 两束烟花运动过程中动量的变化量相同
12.(2025·辽宁省大连市·模拟题)如图所示，竖直平面内的3
4 圆弧形光滑轨道半径为R，A端与圆心O等高，
AD为与水平方向成45°角的斜面，B端在O的正上方，一个质量为m的小球在A点正上方某处由静止开
始释放，自由下落至A点后进入圆形轨道并能沿圆形轨道到达B点，最后落到斜面上C点，且到达B处时
小球的速度为2
√gR(忽略空气阻力)。求：
(1)小球到达B点时对轨道的压力；
(2)小球从B点运动到C点所用的时间t；
(3)小球离开B后，距离斜面的最远距离d。
三：拔高练
13.(2025·江苏省·模拟题)如图所示，竖直放置的光滑半圆轨道ABC右侧有一堵竖直的墙面，一质量为m的
滑块(视为质点)从水平地面出发，恰好能经过半圆轨道最高点，然后打到竖直墙面上的P点。已知半圆
轨道的半径R =0.9m，其最低点与墙之间的距离s=1.2m，重力加速度g取10m/ s
2，sin37
∘=0.6，
cos37
∘=0.8，不计空气阻力。求：
(1)滑块通过最高点时的速度大小；
(2)滑块打在P点时速度方向与墙面所成的夹角θ；
(3)若增大滑块出发的速度，当滑块运动到最高点C时对轨道的压力为3mg，最后打在墙面上的Q点(图
中未标出)，则P、Q两点之间的距离为多少？
14.(2025·北京市·模拟题)如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导轨半径为
R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离
弹簧，它经过B点的速度为v1，之后沿半圆形导轨运动，恰好能运动到最高点C，重力加速度为g。求：
(1)弹簧压缩至A点时的弹性势能E p；
(2)物体沿半圆形轨道运动过程中阻力所做的功W f；
(3)物体离开C点，落至水平面时距B点的距离x。
15.(2025·江西省鹰潭市·模拟题)如图所示，A点距水平面BC的高度h=1.8m，BC与半径R =1m的光滑圆
弧轨道CDE相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，CE处于同一水平面，圆弧轨道DE对应的圆心角
θ =37
∘，圆弧和倾斜传送带EF相切于E点，EF的长度为l =10m，一质量为m=2kg的小物块从A点
以速度v0水平抛出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E点，随后物块滑上传送带EF，已知物
块与传送带EF间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10m/ s
2,sin37
∘=0.6，cos37
∘=0.8。求：
(1)物块到达C点时的速度；
(2)物块刚过C点时，物块对C点的压力；
(3)若物块恰好能被送到F端，则传送带顺时针运转速度及物块从E端到F端所用时间。
