文档内容
2024-2025学年广东省广州八十九中九年级（上）期中数学试卷
一、单选题（共8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列音符中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）二次函数y＝（x+3）2+7的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）
3．（3分）若关于的x方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
5．（3分）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解
析式为（ ）
A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x﹣3）2+2
C．y＝5（x+3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2
6．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥﹣4 B．k≠0 C．k≥﹣4且k≠0 D．k＞﹣4且k≠0
7．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排 28场比赛，
应邀请（ ）个球队参加比赛．
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（3分）点P （﹣1，y ），P （3，y ），P （5，y ）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y ，
1 1 2 2 3 3 1
y ，y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＝y C．y ＞y ＞y D．y ＝y ＞y
3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3
二、多选题（共2个小题，每小题4分，共8分）
（多选）9．（4分）如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中
心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论，正确的是（ ）
第1页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司A．△BO′A≌△BOC B．点O与O′的距离为4
C．∠AOB＝150° D．S四边形AOBO′ ＝6+3
（多选）10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0
B．b2﹣4ac＞0
C．3a+c＜0
D．am2+bm＜a﹣b（m为任意实数）
三、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若x 、x 是方程x2﹣2x+1＝0的两根，则x +x ＝ ．
1 2 1 2
12．（3分）点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是 ．
13．（3分）一个直角三角形的两条直角边的长相差3cm，面积是9cm2，设较短的直角边的长为x cm，
根据题意．可列方程为 ．
14．（3分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝1，则b＝ ．
15．（3分）如图，抛物线 与直线y ＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
2
则y ≥y ，x的取值范围是 ．
1 2
第2页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司16．（3分）已知：如图，在正方形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PD，将△PDA绕点A顺时针旋转
90°得△EBA，连EP．若PA＝2，PB＝2 ，PD＝2 ．下列结论：①EB⊥EP；②点B到直线AE
的距离为 ；③ S△APD +S△APB ＝1+ ；④ S 正方形ABCD ＝16+4 ．其中正确结论的序号是
．
四、解答题（共9小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
17．（4分）解方程：x2+4x﹣12＝0．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
其中D，E分别是A，B的对应点，且点E在斜边AB上，求∠BCE的度数．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A B C ；
1 1 1
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A B C ，并写出点A 的坐标．
2 2 2 2
第3页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司20．（6分）如图，某人以一定的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条
抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数
关系：h＝20t﹣5t2．回答下列问题：
（1）小球最高离地面多少米？
（2）小球从飞出到落地需要多少时间？
21．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为 ；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为 ．
22．（10分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用长
为40m的篱笆围成，已知墙长18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x m，矩形
第4页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司苗圃园ABCD的面积为ym2．（1）写出y与x的函数关系式；
（2）若苗圃园的面积为102m2，求x的值；
（3）当x取何值时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是多少？
23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的动点，连接PC和PB，当△BPC的面积最大时，求点P的坐标
及面积的最大值．
24．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为AB边上一点，连接CP，将线段CP绕点P逆时针旋
转90°，得到线段PQ．
（1）如图1，当BP＝1时，求点Q到直线AB的距离；
（2）如图2，连接CQ，取CQ的中点M，连接AM．求证： ；
第5页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司（3）连接QA，QD，当△ADQ为等腰三角形时，求BP的长．
25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax﹣2a（a＜0）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含有a的代数式表示）；
（2）若M（m．y）和N（n．y）是抛物线上任意两点，且Q＝m2+3m+2mn+3n+n2+2026．求Q的值；
（3）已知点A（﹣3，2）和点B（0，2），若二次函数y＝ax2+2ax﹣2a的图象与线段AB只有一个公
共点，求a的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司2024-2025学年广东省广州八十九中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C C D C C D
一、单选题（共8个小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列音符中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转
180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对
称中心．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重
合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后与原
图重合．
2．（3分）二次函数y＝（x+3）2+7的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）
【分析】因为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y＝（x+3）2+7的顶
点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+3）2+7是顶点式，
∴顶点坐标为（﹣3，7）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考考查重点，同学们应熟练掌
握．
3．（3分）若关于的x方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
第7页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方
程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得1﹣3+a＝0，
解得a＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．
4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平
方式，右边化为常数．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0
∴x2﹣2x＝4
∴x2﹣2x+1＝4+1
∴（x﹣1）2＝5
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程的解法﹣﹣﹣配方法，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．（3分）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解
析式为（ ）
A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x﹣3）2+2
C．y＝5（x+3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2﹣2
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位所得函数的
解析式为：y＝5（x﹣3）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝5（x﹣2）2的图象先向下平移2个单位所得函数的解析式
为：y＝5（x﹣3）2﹣2．
故选：D．
第8页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
6．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥﹣4 B．k≠0 C．k≥﹣4且k≠0 D．k＞﹣4且k≠0
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得
出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣4）2+4k≥0，
解得：k≥﹣4且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解
题的关键．
7．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排 28场比赛，
应邀请（ ）个球队参加比赛．
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝ ．即可列方程
求解．
【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）÷2＝28，
解得x＝8或﹣7（舍去）．
故应邀请8个球队参加比赛．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
8．（3分）点P （﹣1，y ），P （3，y ），P （5，y ）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y ，
1 1 2 2 3 3 1
y ，y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＝y C．y ＞y ＞y D．y ＝y ＞y
3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大
而减小，据二次函数图象的对称性可知，P （﹣1，y ）与（3，y ）关于对称轴对称，可判断y ＝y ＞
1 1 1 1 2
y ．
3
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x＝1，开口向下，
第9页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司P （3，y ），P （5，y ）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
2 2 3 3
∵3＜5，
∴y ＞y ，
2 3
根据二次函数图象的对称性可知，P （﹣1，y ）与（3，y ）关于对称轴对称，
1 1 1
故y ＝y ＞y ，
1 2 3
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．
二、多选题（共2个小题，每小题4分，共8分）
（多选）9．（4分）如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中
心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论，正确的是（ ）
A．△BO′A≌△BOC B．点O与O′的距离为4
C．∠AOB＝150° D．S四边形AOBO′ ＝6+3
【分析】结合等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定可证明△BO′A≌△BOC；由题
意得，△BOO'是等边三角形，则OO'＝OB＝4，即点O与O′的距离为4；结合勾股定理的逆定理可
得∠AOO'＝90°，则∠AOB＝∠AOO'+∠BOO'＝150°；根据S四边形AOBO′ ＝S△BOO '+S△AOO '可得答案．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°，
∴∠ABO+∠CBO＝60°．
由旋转得，BO＝BO'，∠OBO'＝60°，
∴△BOO'是等边三角形，∠ABO'+∠ABO＝60°，
∴∠ABO'＝∠CBO，
∴△BO′A≌△BOC（SAS）．
故选项A正确，符合题意；
连接OO'，
第10页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司∵△BOO'是等边三角形，
∴OO'＝OB＝4，
∴点O与O′的距离为4．
故结选项B正确，符合题意；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O'A＝OC＝5，
∴O'A2＝OA2+OO'2，
∴∠AOO'＝90°．
∵△BOO'是等边三角形，
∴∠BOO'＝60°，
∴∠AOB＝∠AOO'+∠BOO'＝150°．
故结选项C正确，符合题意；
过点B作BD⊥OO'于点D，
∴BD＝OB•sin60°＝4× ＝ ，
∴S四边形AOBO′ ＝S△BOO '+S△AOO '＝ + ＝ + ＝ +6．
故D选项不正确，不符合题意．
故选：ABC．
【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理，
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（多选）10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
第11页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司A．abc＜0
B．b2﹣4ac＞0
C．3a+c＜0
D．am2+bm＜a﹣b（m为任意实数）
【分析】二次函数图象可知：抛物线开口向下，交于y轴的正半轴于一点，可得a＜0，c＞0，即有﹣c
＜0，即：a﹣c＜0，根据顶点坐标为（﹣1，n），可得抛物线对称轴为：x＝﹣ ＝﹣1，即有b＝2a
＜0，二次函数图象可知：当x＝﹣3时，y＜0，根据抛物线对称轴为：x＝﹣1，可知当x＝1时，y＜
0，即有y＝ax2+bx+c＝a+b+c＜0；当m＝﹣1时，m（am+b）＝a﹣b，据此逐项判断即可作答．
【解答】解：由二次函数图象可知：抛物线开口向下，交于y轴的正半轴于一点，
∴a＜0，c＞0，
∴﹣c＜0，即：a﹣c＜0，
∵顶点坐标为（﹣1，n），
∴抛物线对称轴为：x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故A项错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故B项正确；
由二次函数图象可知：当x＝﹣3时，y＜0，
∵抛物线对称轴为：x＝﹣ ＝﹣1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴y＝ax2+bx+c＝a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，故C项正确，
当m＝﹣1时，m（am+b）＝a﹣b，故D项错误，
第12页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司故选：BC．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质，注重数形结合是解答
本题的关键．
三、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若x 、x 是方程x2﹣2x+1＝0的两根，则x +x ＝ 2 ．
1 2 1 2
【分析】根据根与系数关系定理解答即可．
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣2x+1＝0的两个根，a＝1，b＝﹣2，
1 2
∴x +x ＝2，
1 2
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
12．（3分）点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是 （ 1 ，﹣ 2 ） ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标
符号相反．
13．（3分）一个直角三角形的两条直角边的长相差3cm，面积是9cm2，设较短的直角边的长为x cm，
根据题意．可列方程为 x （ x +3 ）＝ 9 ．
【分析】根据两直角边长之间的关系，可得出较长的直角边的长为（x+3）cm，再结合三角形的面积
是9cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵两条直角边的长相差3cm，且较短的直角边的长为x cm，
∴较长的直角边的长为（x+3）cm．
根据题意得： x（x+3）＝9．
故答案为： x（x+3）＝9．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
14．（3分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝1，则b＝ ﹣ 2 ．
【分析】根据二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝1，可知﹣ ＝1，然后计算即可得到b的
第13页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司值．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝1，
∴﹣ ＝1，
解得b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣ ．
15．（3分）如图，抛物线 与直线y ＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
2
则y ≥y ，x的取值范围是 x ≤﹣ 2 或 x ≥ 1 ．
1 2
【分析】可直接由图象进行求解即可．
【解答】解：由图象可知：当y ≥y 时，则x的取值范围是x≤﹣2或x≥1；
1 2
故答案为：x≤﹣2或x≥1．
【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解
题的关键．
16．（3分）已知：如图，在正方形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PD，将△PDA绕点A顺时针旋转
90°得△EBA，连EP．若PA＝2，PB＝2 ，PD＝2 ．下列结论：①EB⊥EP；②点B到直线AE
的距离为 ；③ S△APD +S△APB ＝1+ ；④ S 正方形ABCD ＝16+4 ．其中正确结论的序号是
①②④ ．
第14页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司【分析】①根据旋转的性质可得：△AEP是等腰直角三角形，则∠AED＝45°，根据勾股定理的逆定
理可得∠BEP＝135°﹣45°＝90°，可作判断；
②作垂线段BF，根据等腰直角△BEF的性质可得BF的长；
③连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；
④根据勾股定理可得AB2，从而得正方形的面积．
【解答】解：①∵将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，
∴∠EAP＝90°，AE＝AP＝2，∠APD＝∠AEB，BE＝PD＝2 ，
∴△AEP是等腰直角三角形，EP＝2 ，
∴∠AEP＝45°，
∵BE2+EP2＝BP2，
∴∠BEP＝90°，
∴EB⊥EP；
故①正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE＝AP＝2，∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
又∵EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
又∵BE＝PD＝2 ，
∴BF＝ ＝ ，即点B到直线AE的距离为 ；
故②正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE＝AP＝2，
∴EP＝2 ，
Rt△ABM中，AB＝ ＝ ＝ ，
∴S正方形ABCD ＝AB2＝16+4 ，
第15页（共27页）
学科网（北京）股份有限公司故④正确；
③由旋转得：∠APD＝∠AEB＝135°，
∵∠APE＝45°，
∴∠APD+∠APE＝180°，
∴E，P，D三点共线，
∴S△ABP +S△ADP ＝S△ABD ﹣S△BDP ＝ S正方形ABCD ﹣ ×DP×BE＝ （16+4 ）﹣ ＝2+2
．
故③不正确．
所以本题正确的结论有：①②④；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积
公式的运用、勾股定理的运用等知识，综合性较强，难度适中，熟记性质并仔细分析图形，理清图中
三角形与角的关系是解题的关键．
四、解答题（共9小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
17．（4分）解方程：x2+4x﹣12＝0．
【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一
个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：分解因式得：（x﹣2）（x+6）＝0，
可得x﹣2＝0或x+6＝0，
解得：x ＝2，x ＝﹣6．
1 2
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为积的
形式，右边化为0，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求
解．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
其中D，E分别是A，B的对应点，且点E在斜边AB上，求∠BCE的度数．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意得∠B＝70°，由旋转得，BC＝EC，则∠B＝∠BEC＝70°，根据∠BCE＝180°﹣∠B﹣
∠BEC可得答案．
【解答】解：由旋转得，BC＝EC，
∴∠B＝∠BEC．
∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝70°，
∴∠B＝∠BEC＝70°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠BEC＝40°．
【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A B C ；
1 1 1
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A B C ，并写出点A 的坐标．
2 2 2 2
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）如图，△A B C 即为所求．
2 2 2
A （1，5）．
2
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学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的
关键．
20．（6分）如图，某人以一定的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条
抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数
关系：h＝20t﹣5t2．回答下列问题：
（1）小球最高离地面多少米？
（2）小球从飞出到落地需要多少时间？
【分析】（1）由配方法，得到抛物线顶点坐标，问题可解；
（2）令h＝0，求t即可．
【解答】解：（1）由配方法得y＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵a＝﹣5＜0，
∴小球飞行的最大高度是20m，此时需要飞行2s；
（2）令h＝20t﹣5t2＝0，
解得t ＝0（舍去），t ＝4，
1 2
∴小球从飞出到落地要用4s．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，本题较为简单，正确理解函数值的意义是本题解题的关键．
21．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为 x ＜﹣ 1 或 x ＞ 3 ；
（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为 m ≥﹣ 4 ．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）根据图象即可得到结论；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，即二次函数图象与直线y＝m有两个
交点或一个交点，结合给出的函数图象即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得 ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由函数图象可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为﹣1，3，
所以不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；
（3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，
方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，则二次函数图象与直线y＝m有两个交点或一个交点，
所以m≥﹣4．
故答案为：（2）x＜﹣1或x＞3；（3）m≥﹣4．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与 x轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之
一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．
22．（10分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用长
为40m的篱笆围成，已知墙长18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为x m，矩形
苗圃园ABCD的面积为ym2．（1）写出y与x的函数关系式；
（2）若苗圃园的面积为102m2，求x的值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）当x取何值时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）根据题意可求出BC＝（40﹣2x）m，根据BC长不能为0，且小于等于18m可求出x的
取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出y与x的函数关系式；
（2）将y＝102代入（1）所求函数关系式求解即可；
（3）将（1）所求函数关系式改为顶点式，结合x的取值范围和二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）由题意可求出BC＝（40﹣2x）m，
∵0＜BC≤18，即0＜40﹣2x≤18，
∴x的取值范围是11≤x＜20．
由矩形的面积公式可知S矩形ABCD ＝AB•BC，即y＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+40x（11≤x＜20）；
（2）若苗圃园的面积为102m2，即y＝102，
∴﹣2x2+40x＝102，
解得：x ＝17，x ＝3（舍），
1 2
∴x的值为17；
（3）y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，且11≤x＜20，
∴当x＝11时，y有最大值，最大值为y＝﹣2（11﹣10）2+200＝198，
∴当x取11时，这个苗圃园的面积最大，最大面积是198m2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用．理解题意，
找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键．
23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的动点，连接PC和PB，当△BPC的面积最大时，求点P的坐标
及面积的最大值．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△BPC的面积＝ ×PH×OB＝2（﹣ x2+2x）＝﹣（x﹣2）2+4≤4，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
则﹣8a＝﹣4，则a＝ ，
则抛物线的表达式为：y＝ x2﹣x﹣4；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣4，
过点P作PH∥y轴交BC于点H，
设点H（x，x﹣4），则点P（x， x2﹣x﹣4），
则PH＝x﹣4﹣（ x2﹣x﹣4）＝﹣ x2+2x，
则△BPC的面积＝ ×PH×OB＝2（﹣ x2+2x）＝﹣（x﹣2）2+4≤4，
即△BPC的面积的最大值为4，此时x＝2，则点P（2，﹣4）．
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学科网（北京）股份有限公司【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关
系．
24．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为AB边上一点，连接CP，将线段CP绕点P逆时针旋
转90°，得到线段PQ．
（1）如图1，当BP＝1时，求点Q到直线AB的距离；
（2）如图2，连接CQ，取CQ的中点M，连接AM．求证： ；
（3）连接QA，QD，当△ADQ为等腰三角形时，求BP的长．
【分析】（1）作QE⊥AB于E，可证得△PBC≌△QEP，从而QE＝BP＝1，从而得出结果；
（2）可证得△AQE是等腰直角三角形，进而证得△CAQ是直角三角形，进一步得出结果；
（3）分为三种情形：当OA＝OD时，可得出∠QAD＝45°，从而QA＝ AD，进而得出结果；当QA
＝AD时，得出BP＝EQ＝ AQ＝ AD＝2 ；当DQ＝AD时，AQ＝ AD，从而得出BP＝EQ
＝ AQ＝AD＝4．
【解答】（1）解：如图1，
作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ＝90°，
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴∠PCB+∠BPC＝90°，∠B＝∠PEQ，
∵线段CP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，
∴PC＝PQ，∠CPQ＝90°，
∴∠EPQ+∠BPC＝90°，
∴∠PCB＝∠EPQ，
∴△PBC≌△QEP（AAS），
∴QE＝BP＝1，
∴点Q到直线AB的距离为：1；
（2）证明：如图2，
连接AQ，作QE⊥AB于E，
由（1）知，
△PBC≌△QEP，
∴EQ＝PB，BC＝PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAC＝45°，
∴PE＝AB，
∴PE﹣AP＝AB﹣AP，
∴AE＝PB，
∴EQ＝AE，
∴∠EAQ＝∠AQE＝45°，
∴∠CAQ＝90°，
∵M是CQ的中点，
∴AM＝ CQ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）当OA＝OD时，如图2，
由上可知，
∠EAQ＝45°，
∴∠QAD＝45°，
∴QA＝ AD，
∴BP＝EQ＝ QA＝ AD＝2，
当QA＝AD时，如图3，
∴BP＝EQ＝ AQ＝ AD＝2 ，
当DQ＝AD时，如图4，
AQ＝ AD，
∴BP＝EQ＝ AQ＝AD＝4，
综上所述：BP＝2或2 或4．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角
形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
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学科网（北京）股份有限公司25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax﹣2a（a＜0）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含有a的代数式表示）；
（2）若M（m．y）和N（n．y）是抛物线上任意两点，且Q＝m2+3m+2mn+3n+n2+2026．求Q的值；
（3）已知点A（﹣3，2）和点B（0，2），若二次函数y＝ax2+2ax﹣2a的图象与线段AB只有一个公
共点，求a的取值范围．
【分析】（1）化成顶点式即可求得；
（2）根据题意可知M（m．y）和N（n．y） 关于对称轴直线 x＝﹣1对称，即可得到 ，即
m+n＝﹣2，代入Q＝m2+3m+2mn+3n+n2+2026＝（m+n）2+3（m+n）+2026即可求得Q＝2024；
（3）采用数形结合法列出不等式，求得a的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax﹣2a＝a（x+1）2﹣3a，
∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3a）；
（2）∵M（m．y）和N（n．y）是抛物线上任意两点，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴ ，
∴m+n＝﹣2，
∵Q＝m2+3m+2mn+3n+n2+2026，
∴Q＝（m+n）2+3（m+n）+2026＝4﹣6+2026＝2024；
（3）抛物线 y＝a（x+1）2﹣3a 的顶点是 （﹣1，﹣3a），与y轴的交点是（0，﹣2a），
①当a＞0时，﹣3a＜0，﹣2a＜0，
∴抛物线 y＝a（x+1）2﹣3a 与y轴交点在点B下方，顶点在直线y＝2下方，
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学科网（北京）股份有限公司如图1
在 y＝a（x+1）2﹣3a 中，令x＝﹣3，得 y＝4a﹣3a＝a，
∵A（﹣3，2），
∴当a＝2时抛物线过点A．
由结合图可知，当a≥2时，二次函数 y＝a（x+1）2﹣3a 的图象与线段AB只有一个公共点；
②当a＜0时，
若顶点在线段AB时，如图2：
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学科网（北京）股份有限公司此时﹣3a＝2，
解得a＝﹣ ，
若顶点在直线y＝2上方，即﹣3a＞2时，如图3：
∵二次函数 y＝a（x+1）2﹣3a 的图象与线段AB只有一个公共点，A（﹣3，2），B（0，2）．
∴﹣2a＞2，
解得a＜﹣1；
综上所述，二次函数 y＝a（x+1）2﹣3a 的图象与线段AB只有一个公共点，a的取值范围是a≥2或 a
＝﹣ 或a＜﹣1．
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学科网（北京）股份有限公司
