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2024 年中考第三次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B D B C B A B B D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．﹣2（x+2）（x﹣2）．
2
12． ．
3
13．39，15．
14．15√6．
15．2√13-2．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（6分）
1
【解答】【解答】解：（- ）﹣1+tan60°+|√3-2|+（ ﹣3）0
2
π
＝﹣2+√3+2-√3+1
＝1． ………………………………6分
17．（6分）
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE＝BF，AE＝CF．∠DAE＝∠BCF＝60°．
∵∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF，
∠BAE＝∠DAB﹣∠DAE，
∴∠DCF＝∠BAE．
∴△DCF≌△BAE（SAS）．
∴DF＝BE．
∴四边形BEDF是平行四边形． ………………………………6分
18．（6分）
【解答】解：（1）设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是1.25x元，
4000 4000
由题意得： - =2，
x 1.25x
解得：x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，
∴1.25x＝1.25×400＝500，
答：每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租费是500元；…………4分
8 2
（2）∵400÷45＝8 ，400÷60＝6 ，
9 3
∴租用45座客车9辆，租费为9×400＝3600（元），
租用60座客车7辆，租费为7×500＝3500（元），
∵3500＜3600，
∴租用60座客车合算．………………………………6分
19．（8分）
【解答】解：（1）：a＝ 91. 5 ，b＝ 9 5 ； …………………… 2分（每空1分）
（2）∵93＞91.5，
∴八年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好； …………………… 5分
11
（3）七年级优秀人数＝900× =495（人），
20
八年级优秀人数＝800×70%＝560（人），
495+560＝1055（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为1055人．…………………… 8分
20．（8分）k
【解答】解：（1）∵点B（﹣2，﹣1）在反比例函数y = 的图象上，
2 x
k
∴-1= ，
-2
解得k＝2，
2
∴这个反比例函数的解析式为y = ，…………………… 2分
2 x
2
∵点A（1，m）在反比例函数y = 的图象上，
2 x
2
所以点A（1，m）的坐标满足y = ，
2 x
2
即m= ，
1
解得m＝2，
∴点A的坐标为（1，2），
∵一次函数y ＝ax+b经过点A（1，2）和点B（﹣2，﹣1），
1
{ k+b=2
∴ ，
-2k+b=-1
{k=1
解得 ，
b=1
∴这个一次函数的解析式为y ＝x+1；…………………… 4分
1
（2）∵AD⊥BE，
∴∠ADC＝90°，
∴D点坐标为（﹣2，2），
∴AD＝x ﹣x ＝1﹣（﹣2）＝3，
A D
设CD＝x，则AC＝2CD＝2x，
根据勾股定理：AD2+CD2＝AC2，
即32+x2＝（2x）2，
解得 ， （舍去），
x =√3 x =-√3
1 2
∴CD=√3
∴点C的坐标为 (-2，2-√3) 或 (-2，2+√3)．…………………… 8分21．（8分）
【解答】（1）证明：如图，连OC，
∵C为弧BE的中点，
∴BC＝CE，
∴∠EAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AD，
∴∠OCD+∠D＝180°，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为 O的半径，
∴CD为 ⊙O的切线；…………………… 4分
（2）解⊙：如图，延长CO交AF于G点，由（1）知∠OCD＝90°，
∵AF∥CD，
∴∠CGF＝∠OCD＝90°
1
∴OG⊥AF，AG= AF=6，
2
∵AC＝10，
∴ ，
CG=√AC2-AG2=√102-62=8
在Rt△AOG 中，根据勾股定理得：OG2+AG2＝OA2，
设半径为r，则OG＝CG﹣OC＝8﹣r，∴（8﹣r）2+62＝r2，
25
∴r=
4
25
∴ O的半径为 ．…………………… 8分
4
⊙
22．（10分）
【解答】解：（1）设y＝ax2（a≠0）．
∵经过点（100，1000），
∴a•1002＝1000．
1
解得：a= ．
10
1
∴y= x2．……………………1分
10
设每件产品的预售额为m元．
∵该产品的总销售额z（万元）＝预售总额（万元）+波动总额（万元），预售总额＝每
件产品的预售额（元）×年销售量x（万件），波动总额与年销售量x的平方成正比，
∴z＝mx+nx2．
{ 20m+400n=560
∴ ．
40m+1600n=1040
{m=30
解得： ．
1
n=-
10
1
∴z＝30x- x2．……………………3分
10
1 1 1
（2）w＝z﹣y＝30x- x2- x2=- x2+30x．
10 10 5
1
∵- ＜0，
5
∴二次函数的开口向下．
取w＝1000．
1
∴1000=- x2+30x．
5
x2﹣150x+5000＝0．
（x﹣50）（x﹣100）＝0．∴x ＝50，x ＝100．
1 2
∵年毛利润不低于1000万元，
∴该产品年销售量x的变化范围为：50≤x≤100；……………………6分
（3）设每件产品的预售额下调b元．
1
∴z＝（30﹣b）x- x2．
10
1 1 1
∴w＝z﹣y＝（30﹣b）x- x2- x2=- x2+（30﹣b）x．
10 10 5
1
∵- ＜0，
5
∴二次函数的开口向下，二次函数有最大值．
∵最高毛利润为720万元，
-(30-b) 2
=
∴ 1 720．
4×(- )
5
（30﹣b）2＝576．
∴30﹣b＝24或30﹣b＝﹣24．
解得：b＝6或b＝54＞30（不合题意，舍去）．
答：每件产品的预售额下调6元．…………………… 10分
23．（11分）综合与买践
【解答】解：（1）CM=√2BP；……………………3分
√5
（2）CM= BP的数量关系不变，理由如下：
2
当n＝2时，AB＝2BC，
PM BC 1
则 = = ，
AP AB 2
1 1
∴BC= AB，PM= AP，
2 2
√ 1 √5
由勾股定理可得：AC=√BC2+AB2= ( AB) 2+AB2= AB，
2 2
√ 1 √5
AM=√PM2+AP2= ( AP) 2+AP2= AP，
2 2
AM AC √5
∴ = = ，
AP AB 2√5 √5
∴AC= AB，AM= AP，
2 2
√5 √5
∴CM＝AC﹣AM= （AB﹣AP）= BP，
2 2
由旋转得：∠CAB＝∠MAP，
即∠BAP+∠CAP＝∠CAM+∠CAP，
∴∠BAP＝∠CAM，
∴△ABP∽△ACM，
CM AC √5
∴ = = ，
BP AB 2
√5
∴CM= BP；……………………7分
2
（3）线段BM的长为2√3+1或2√3-1．……………………11分
24．（12分）
【解答】解：（1）A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）；……………………3分
（2）①如图 1，当 P 点在第三象限时，过点 B 作 BD⊥BC 交 PC 于点 D，过点 D 作
DE⊥AB于点E，
∵OA＝OC＝3，
∴∠ACO＝45°，
∵∠PCA＝∠BCO，
∴∠BCD＝45°，
∵∠CBD＝90°，
∴∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴BC＝BD，
∵∠EBD+∠CBO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠EBD＝∠BCO，
又∵∠DEB＝∠BOC＝90°，
∴△BED≌△COB（ASA），
∴DE＝BO＝1，BE＝OC＝3，
∴D（﹣2，﹣1），
设CD的解析式为：y＝kx+3，将D（﹣2，﹣1）代入，得：
k＝2，
∴y＝2x+3，∴2x+3＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x ＝﹣4，x ＝0（舍去），
1 2
∴P点的坐标为（﹣4，﹣5）；……………………5分
②如图2，当点P在第二象限时，在OA上取一点F，使得OF＝OB＝1，过点F作
FG⊥FC，且FG＝FC，过点G作GH⊥AO，连接CG，
∵FC＝FG，且FG⊥FC，
同理可证：△FGH≌△CFO（ASA），
∴GH＝OF＝1，FH＝OC＝3，
∴G点的坐标为（﹣4，1），
设直线CG的解析式为y＝mx+3，将（﹣4，1）代入得：
1
m= ，
2
1
∴y= x+3，
2
1
由 x+3=-x2-2x+3得：
2
5
x =- ，x ＝0（舍去），
1 2 2
5 7
∴P点的坐标为(- ， )，……………………7分
2 4
5 7
∴P点的坐标为（﹣4，﹣5）或(- ， )；……………………8分
2 4
（3）过点E作ET⊥直线y＝t于点T，EP⊥对称轴于点P，直线y＝t交对称轴于点H，
过点F作FG⊥对称轴于点G，则有：EM MT EN EP
= ， = ，
MN MH FN FG
EM EN
又∵ = ，
MN FN
MT EP
∴ = ，
MH FG
t -2
又∵M( ，t)，对称轴为x=- =-1，
k 2×(-1)
t
x -
E k -1-x
∴ = E ，
t x -(-1)
-1- F
k
t 2t
整理得：x ⋅x - (x +x )=1+ ，
E F k E F k
由kx＝﹣x2﹣2x+3，整理得：x2+（k+2）x﹣3＝0，
∴x +x ＝﹣k﹣2，x •x ＝﹣3，
E F E F
t 2t
∴-3- (-k-2)=1+ ，
k k
解得：t＝4，
∴t的值为4．……………………12分
