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2024 年中考第一次模拟考试（徐州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．化简 的结果为（ ）
A． B． C．9 D．6
【答案】A
【解析】解： ，
故选：A．
2．在下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：A、 ，故A符合题意．
B、 ，故B不符合题意．
C、 ，故C不符合题意．
D、 ，故D不符合题意．
故选：A．
3．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：从上面看，得到的图形是两行，其中（上往下）第一行为2个小正方形，第二行是一个小正
方形，选项B中的图形符合题意，
故选：B．
4．某轮滑队所有队员的年龄只有 ， ， ， ， （岁）五种情况，其中部分数据如图所示，若队员
年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题图中数据可知：
小于 的人有 人，大于 的人也有 人，
这组数据的中位数为： ，
队员年龄的唯一的众数与中位数相等，
众数是 ，即年龄为 的人最多，
岁的队员最少有 人，
故选： ．
5．如图所示，在正五边形 中，过点 ， 作平行线 ， ， ，则 的度数是（
）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵五边形 为正五边形，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
故选：A．
6．二次函数 中，y与x的部分对应值如下：则一元二次方程 的一个解x满足
条件（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y 0.25 0.76
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：由表格可知： 时， ， 时， ，
∴当 ，存在一个 的值，使 ，
∴一元二次方程 的一个解x满足条件为 ；
故选：C．
7．如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的一个顶点 在坐标原点，一边 在 轴的正半轴上，
，反比例函数 在第一象限内的图象经过点 ，与 交于点 ，则 的面积等于
（ ）A．30 B．40 C．60 D．80
【答案】B
【解析】解：过点 作 轴于点 ，如图所示．
设 ，
在 中， ， ， ，
， ，
点 的坐标为 ．
点 在反比例函数 的图象上，
，
解得： ，或 （舍去）．
， ，
∴ ．
四边形 是菱形，点 在边 上，
∴ ，．
故选：B．
8．如图，在 中，点D、E在 边上，连接 并延长交 延长线于点G．过D作
于F．若 ， ， ， ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】C
【解析】解：设 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形．
由勾股定理得， ，
设 ， ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图，过B作 交 于Q，∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．实数 的平方根是 ．
【答案】
【解析】解：实数 的平方根是 ，
故答案为： ．
10．分解因式： ．
【答案】 /
【解析】解： ；
故答案为： ．
11．作为锦州市非物质文化遗产，锦州烧烤已经成为我市的一张饮食文化名片，并于2022年入选国家《地标美食名录》．上网搜索“锦州烧烤”，网页显示找到相关结果约为5140000个，数据5140000用科学记
数法可表示为 ．
【答案】
【解析】 ．
故答案为： ．
12．圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【解析】圆锥的侧面积为： ．
故答案为：
13．如图， 的直径 ， 是 的弦， 于点E， ，则 的长为
．
【答案】
先求出 再利用勾股定理即可得得出 ，最后用垂径定理即可得出 ．
【解析】解：如图，
连接 ，
的直径 ，，
，
，
，
，
在 中， ，
．
故答案为： ．
14．列方程组解题：“今有马二、牛一，直金七两；马三、牛二，直金十二两．马、牛各直金几何？”其
大意是：2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，问每匹马、每头牛各价值多少
两？设每匹马 两，每头牛 两．根据题意，可列方程组为 ．
【答案】
【解析】解：由题意得： ，
故答案为： ．
15．如图，在 中， ， ，直尺的一边与 重合，另一边分别交 ， 于点 ，
．点 ， ， ， 处的读数分别为 ， ， ， ，则直尺宽 的长为 ．
【答案】 /
【解析】解：由题意得， ， ，
在 中， ，则 ，
∵ ，
，
，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
16．在古代的两河流域，人们用粘土制成泥版，在泥版上进行书写．古巴比伦时期的泥版BM15285（如图
1）记录着祭司学校的数学几何练习题，该图片由完美的等圆组成．受泥版上的图案启发，某设计师设计
出形似雨伞的图案用作平面镶嵌（如图2），若图案中伞顶与伞柄的最长距离为2，则一块伞形图案的面积
为 ．
【答案】2
【解析】解：观察图形，
一块伞形图案的面积为：矩形面积-下半圆面积+上半圆面积=矩形面积，
∴一块伞形图案的面积为：2×1=2．
故答案为：2．17．如图，曲线l是由函数 在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转 得到的，过点
， 的直线与曲线l相交于点M，N，若 的面积是 ，则k的值为
．
【答案】5
【解析】解：连接 ， ，过A作 轴于 ，过 作 轴于 ，如图所示：
点 ， ，
， ，
， ，
同理得： ， ，
，
，
函数 在第一象限内的图象绕坐标原点 逆时针旋转 ，
建立新的坐标系： 为 轴， 为 轴，则旋转后的函数解析式为： ，
在新的坐标系中， ， ，
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为： ，
设 ， ，
由 得： ，
， ，
，
整理得 ，
，
，
，
，
；
故答案为：5．
18．如图，等腰 中， ，点D是边 的中点，点P是边 上的动点，且不与
重合， ，射线 交 于点Q．当点Q总在边 上时，m的最大值是 ．【答案】
【解析】解：设 ，则
，
即
当 时， 取最大值，最大值为 ，要使 永远在 上，
则 ，即 ，
∴ 的最大值为 ；
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（1）计算： ；
（2）解方程： ．
【解析】（1）原式
（2）解：
，
，
∴ ， ．
20．（1）化简
（2）解不等式组：
【解析】解：（1）原式
；
（2）
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
故原不等式组的解集是 ．21．2023年9月，为了更好地落实“双减”政策，增强课后服务的时效性，某中学定于每周二、周四下午
进行兴趣社团课“走班制”，开设了5类兴趣社团课（每位学生均只选其一）：A．音乐；B．体育；C．
美术；D．信息技术；E．演讲．为了了解该校学生的参与情况，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调
查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查的学生人数为________人，并补全条形统计图；
(2)求“C”类兴趣社团课所对应扇形的圆心角的度数；
(3)该校现有学生 人，请你估算该校参加“D”类兴趣社团课的学生有多少人？
【解析】（1）解： （人）
参加“D”类兴趣社团课的学生有： （人）
补全条形统计图
（2）“C”类兴趣社团课所对应扇形的圆心角的度数为：
（3）该校参加“D”类兴趣社团课的学生有： （人）
22．元旦假期全国客流持续回暖，某景区入口检票处有A、B、C、D四个闸机，如图所示，游客领取门票
后可随机选择一个闸口通过．(1)一名游客通过该景点闸口时，选择A闸口通过的概率为______．
(2)当两名游客通过该景点闸口时，请用树状图或列表法求两名游客选择不同闸口通过的概率．
【解析】（1）解：由题意可得：选择A闸口通过的概率为 ，故答案为 ；
（2）解：设这两名游客为甲和乙，由题意可得如下表格：
甲/乙 A B C D
A
B
C
D
由表格可知两名游客选择闸口通过的可能性有16种，其中选择不同闸口通过的情况有12种，
∴两名游客选择不同闸口通过的概率为 ．
23．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形
AECF的形状并加以证明．
【解析】解：四边形AECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴∠DFA=∠BAF，
又∵∠DCE=∠BAF，∴∠DCE=∠DFA
∴ ，
∴四边形AECF是平行四边形．
24．今年春节期间第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，
深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩
墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
(1)求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价；
(2)若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润．
【解析】（1）解：设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次每件的进价为
元，
依题意得： ，
解得： ，
经检验： 是方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元．
（2）解：由题意可得 （元），
答：两次的总利润为1700元．
25．已知 是 的直径，点D是 延长线上一点， ， 是 的弦， ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ，垂足为M， 的半径为10，求 的长．
【解析】（1）如图，连结 ，∵ ， ,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，且 ，
∴直线 是 的切线．
（2）
∵ 是 的直径，且 于点M，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
26．如图1是一种折叠椅示意图，忽略其支架等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面的
简化结构图，如图2所示．若座板 平行于地面，前支架 与后支架 分别与 交于点E，D，量得
， ， ， ．(1)求椅子座板 距离地面 的高度；
(2)求两支架着地点B，F之间的距离．（精确到 ）
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【解析】（1）解：过点 ， 分别作 于 ，作 于 ，
，
∵ ，
， ，
在 中， ，
，
，
椅子座板 距离地面 的高度是 ；
（2）解：在 中， ，
，
，
∵ ， ， ，
四边形 是矩形，， ，
在 中， ，
，
，
，
两支架着地点 之间的距离约为 ．
27．如图1，已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于
点 ，且 ．点 是抛物线上的一个动点，连接 和 ．
(1)求a的值和 的度数；
(2)当点 运动到抛物线顶点时，求 与 的面积之比；
(3)如图2，当点 在抛物线上运动，且满足 时，求点 的坐标．
【解析】（1） ，
，代入 ，
得： ，
解得 ；
令 ，有 ，
解得 或 ，
， ，
，
．（2） ， ，
， ，
顶点 坐标为 ，
， ，
．
（3）如图，这样的点 有两个．过点 作 交 于点
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ．
，
是等腰直角三角形．
，
， ．
设 ，则 ， ，
所以， ．
， ．
，
，，
化简得， ，即 ，
解得 ，取 ，
，
根据对称性可知， ．
综上所述 的坐标为 ， ．
28．（1）【方法尝试】
如图1，矩形 是矩形 以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转 所得的图形， 分别是
它们的对角线．则 与 数量关系_______，位置关系________；
（2）【类比迁移】
如图2，在 和 中， ．将 绕
点A在平面内逆时针旋转，设旋转角 为α（ ），连接 ．请判断线段 和
的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图3，在 中， ，过点A作 ，在射线 上取一点D，连接 ，使得 ，请求线段 的最大值和最小值．
【解析】解：（1）如图，延长 交 于点H．
由旋转的性质可得： ， ．
又∵ ，
∴ ，即 ．
故答案为： ， ；
（2） ， ，理由如下，
延长 交 于点Q，交 于点O，如图2．
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ．
∵ ，∴ ，
∴ ， ；
（3）如图，过点A作 ，使得 ，取 的中点R，连接 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵点R为 中点， ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 最大值为 ，最小值为 ．
