文档内容
2026年中考数学常考考点专题之命题与证明
一．选择题（共16小题）
1．（2025•博山区一模）下列命题中，真命题有（ ）
（1）平方根等于它本身的数只有0；
（2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0；
（3）27是3的立方根；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；
（5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025•桂阳县校级模拟）下列命题中，真命题的是（ ）
A．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等
3．（2025•管城区模拟）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．（2025•仁寿县一模）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．圆周角等于圆心角的一半
B．任意多边形的外角和都是360°
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．平移不改变图形的形状和大小
5．（2025•浦东新区二模）对于命题：
①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；
②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．
下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①和②都正确 D．①和②都错误
第1页（共28页）6．（2025•临平区校级二模）已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（x ，y ），B（x +t，y ），C（x +2t，y ）
1 1 1 2 1 3
三点．记m＝y ﹣y ，n＝y ﹣y ，下列命题正确的是（ ）
2 1 3 2
A．若n﹣m＞2，则t＜﹣1 B．若n﹣m＜2，则t＞﹣1
C．若t＞1，则n﹣m＞2 D．若t＜1，则n﹣m＜2
7．（2025•闽侯县校级模拟）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两直线平行，同旁内角相等
C．如果ab＜0，那么a，b两数同号
D．如果a＝b，那么a2＝b2
8．（2025•浔阳区校级模拟）下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
9．（2025•浙江模拟）能说明“若0＜|a|＜1，则a＞a3”是假命题的反例是（ ）
A．a＝0.4 B．a＝2 C．a＝0.9 D．a＝﹣0.2
10．（2025•大东区校级二模）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果a＝b，那么3a＝3b
B．调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命，适合采用全面调查
C．如果|a|＝|b|，那么a＝b
D．圆内接四边形的对角互余
11．（2025•新吴区二模）下列命题中的假命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
12．（2025•浦东新区校级模拟）已知命题：①有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似；
②有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似．下列对这两个命题的判断，正确的是（
）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
第2页（共28页）C．①和②都是真命题
D．①和②都是假命题
13．（2025•江西校级模拟）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
14．（2025•珠晖区校级二模）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．同位角相等
B．若a2＝b2，那么a＝b
C．﹣27的立方根是﹣3
D．直线y＝2x﹣3向下平移2个单位可得到一次函数y＝2x﹣1的图象
15．（2025•开州区模拟）下列各个命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．平行四边形是中心对称图形
16．（2025•衡阳校级模拟）下列是假命题的是（ ）
√2
A． 是分数
2
B．正五边形外角和为360°
C．正方形的对角线相等，互相垂直且平分
D．三角形的内心是三条内角平分线的交点
二．填空题（共9小题）
17．（2025•江都区一模）要说明命题“若 a2≥4，则 a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝
．
18．（2025•攀枝花）请你取一个 a 的值，说明命题“|a﹣1|＝a﹣1”是假命题，那么 a＝
．
19．（2025•西城区一模）用一组a，b的值说明命题“若√a2＞√b2，则a＞b”是错误的，这组值可以是：
a＝ ，b＝ ．
20．（2025•织金县三模）用反证法证明命题“如果 a＞b＞0，那么√a＞√b”的第一步应假设
第3页（共28页）．
21．（2025•上城区校级三模）命题“若a2≥0，那么a≥0”的逆命题为 ，此逆命题是
命题（填“真”或“假”）．
a b
22．（2025•庐阳区校级一模）命题“如果 ＞ ，那么a＞b”的逆命题是 命题（填“真”或
c2 c2
“假”）．
23．（2025•铜陵三模）命题“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是 ．
24．（2025•昌平区二模）已知命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题，则c的值可以是 ．
25．（2025•新吴区二模）用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设 ．
第4页（共28页）2026年中考数学常考考点专题之命题与证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A B A B C D B D A D
题号 12 13 14 15 16
答案 A C C B A
一．选择题（共16小题）
1．（2025•博山区一模）下列命题中，真命题有（ ）
（1）平方根等于它本身的数只有0；
（2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0；
（3）27是3的立方根；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；
（5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；
（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理；平方根；算术平方根；立方根；点到直线的距离；平行公理及推论．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平方根，算术平方根与立方根的定义，平行线公理及推论，点到直线的距离解答即可．
【解答】解：（1）平方根等于它本身的数只有0，正确，是真命题；
（2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0或1，原说法错误，原命题是假
命题；
（3）27的立方根是3，原说法错误，原命题是假命题；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原说法错误，原命题是
假命题；
（5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，正确，是真命题；
（6）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，原命题是假命题；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理，涉及到平方根，算术平方根与立方根的定义，平行线公理及推论，
第5页（共28页）点到直线的距离，熟知以上知识是解题的关键．
2．（2025•桂阳县校级模拟）下列命题中，真命题的是（ ）
A．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积相等，面积相等的两个三角形全等
【考点】命题与定理．
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【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】利用全等三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题，符合题意；
B、周长相等的三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符
合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的所有的判定方法，难度不大．
3．（2025•管城区模拟）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【考点】命题与定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定．
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【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断即可．
【解答】解：A．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题，符合题意；
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是假命题，不符合题意；
D．对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理．
第6页（共28页）4．（2025•仁寿县一模）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．圆周角等于圆心角的一半
B．任意多边形的外角和都是360°
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．平移不改变图形的形状和大小
【考点】命题与定理；平移的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周
角定理．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；圆的有关概念及性质．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理，平移的性质，菱形的性质，多边形外角和性质即可判断．
【解答】解：A．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原命题是假命题，符合题意；
B．任意多边形的外角和都是360°，原命题是真命题，不符合题意；
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是真命题，不符合题意；
D．平移不改变图形的形状和大小，原命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握相应的判定定理及任意多边形的外角和，平
移的概念．
5．（2025•浦东新区二模）对于命题：
①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；
②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．
下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①和②都正确 D．①和②都错误
【考点】命题与定理；圆与圆的位置关系．
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【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】B
【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可．
【解答】解：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，故本小题命题是
假命题；
②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假
第7页（共28页）关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（2025•临平区校级二模）已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（x ，y ），B（x +t，y ），C（x +2t，y ）
1 1 1 2 1 3
三点．记m＝y ﹣y ，n＝y ﹣y ，下列命题正确的是（ ）
2 1 3 2
A．若n﹣m＞2，则t＜﹣1 B．若n﹣m＜2，则t＞﹣1
C．若t＞1，则n﹣m＞2 D．若t＜1，则n﹣m＜2
【考点】命题与定理；二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】由二次函数y＝x2+bx+c过点A（x ，y ），B（x +t，y ），C（x +2t，y ）三点，可得m＝y
1 1 1 2 1 3 2
﹣y ＝（x +t）2+b（x +t）+c﹣（x2+bx +c）＝t2+（2x +b）t，n＝y ﹣y ＝（x +2t）2+b（x +2t）+c﹣
1 1 1 1 1 1 3 2 1 1
[（x +t）2+b（x +t）+c]＝3t2+（2x +b）t，即得n﹣m＝3t2+（2x +b）t﹣[t2+（2x +b）t]＝2t2，再逐项
1 1 1 1 1
判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c过点A（x ，y ），B（x +t，y ），C（x +2t，y ）三点，
1 1 1 2 1 3
∴y =x2+bx +c，y ＝（x +t）2+b（x +t）+c，y ＝（x +2t）2+b（x +2t）+c，
1 1 1 2 1 1 3 1 1
∴m＝y ﹣y ＝（x +t）2+b（x +t）+c﹣（x2+bx +c）＝t2+（2x +b）t，
2 1 1 1 1 1 1
n＝y ﹣y ＝（x +2t）2+b（x +2t）+c﹣[（x +t）2+b（x +t）+c]＝3t2+（2x +b）t，
3 2 1 1 1 1 1
∴n﹣m＝3t2+（2x +b）t﹣[t2+（2x +b）t]＝2t2，
1 1
若n﹣m＞2，则2t2＞2，
∴t＞1或t＜﹣1，
故A错误，不符合题意；
若n﹣m＜2，则2t2＜2，
∴﹣1＜t＜1，
故B错误，不符合题意；
若t＞1，则2t2＞2，
∴n﹣m＞2，故C正确，符合题意；
若﹣1＜t＜1，则2t2＜2，即n﹣m＜2，
故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是用含t的代数式表示n﹣m．
第8页（共28页）7．（2025•闽侯县校级模拟）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两直线平行，同旁内角相等
C．如果ab＜0，那么a，b两数同号
D．如果a＝b，那么a2＝b2
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；平行线的性质．
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【专题】应用意识．
【答案】D
【分析】根据对顶角的意义、平行线的性质、乘法法则及乘方的意义，逐项判断即可．
【解答】解：根据对顶角的意义、平行线的性质、乘法法则及乘方的意义，逐项判断如下：
A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题；
C、如果ab＜0，那么a，b两数异号，故原命题是假命题；
D、如果a＝b，那么a2＝b2，故原命题是真命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题真假的判断，掌握对顶角的意义、平行线的性质、乘法法则及乘方的意义是
关键．
8．（2025•浔阳区校级模拟）下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
【考点】命题与定理．
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【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行四边形性质，菱形判定，正方形性质，矩形判定逐项判断．
【解答】解：平行四边形的对角相等，故A正确，不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误，符合题意；
正方形的对角线相等且互相垂直，故C正确，不符合题意；
两条对角线相等的平行四边形是矩形，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形正方形的性质及判定．
第9页（共28页）9．（2025•浙江模拟）能说明“若0＜|a|＜1，则a＞a3”是假命题的反例是（ ）
A．a＝0.4 B．a＝2 C．a＝0.9 D．a＝﹣0.2
【考点】命题与定理；绝对值．
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【专题】实数；推理能力．
【答案】D
【分析】根据实数的大小比较法则、实数的立方、假命题的概念解答．
【解答】解：A．a＝0.4时，0＜|a|＜1，a＞a3，不能说明命题“若0＜|a|＜1，则a＞a3”是假命题，不
符合题意；
B．a＝2时，|a|＞1，不能说明命题“若0＜|a|＜1，则a＞a3”是假命题，不符合题意；
C．a＝0.9，0＜|a|＜1，a＞a3，不能说明命题“若0＜|a|＜1，则a＞a3”是假命题，不符合题意；
D．a＝﹣0.2时，0＜|a|＜1，而a＜a3，说明命题“若0＜|a|＜1，则a＞a3”是假命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
10．（2025•大东区校级二模）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果a＝b，那么3a＝3b
B．调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命，适合采用全面调查
C．如果|a|＝|b|，那么a＝b
D．圆内接四边形的对角互余
【考点】命题与定理；全面调查与抽样调查；绝对值；等式的性质；圆内接四边形的性质．
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【专题】数据的收集与整理；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】根据等式的性质、全面调查与抽样调查、绝对值、圆内接四边形的性质判断．
【解答】解：A、如果a＝b，那么3a＝3b，是真命题，符合题意；
B、调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项命题是假命题，不符合题
意；
C、如果|a|＝|b|，那么a＝±b，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、圆内接四边形的对角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假
关键是要熟悉课本中的性质定理．
11．（2025•新吴区二模）下列命题中的假命题是（ ）
第10页（共28页）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
【考点】命题与定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定．
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【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的判定定理判断．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法是假命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的
真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．（2025•浦东新区校级模拟）已知命题：①有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似；
②有两边及其中一条边的中线对应成比例的两个三角形相似．下列对这两个命题的判断，正确的是（
）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①和②都是真命题
D．①和②都是假命题
【考点】命题与定理；相似三角形的判定．
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【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】利用相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：有两边及其第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似，正确，故①是真命题；
两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形一定相似，故原命题错误，故②是假命题．
故选：A．
【点评】本题主要考查了命题与定理及相似三角形的判定方法，解题的关键是了解相似三角形的判定
定理，难度不大．
第11页（共28页）13．（2025•江西校级模拟）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．有两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角；全等三角形的判定；垂径定理．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】分别根据全等三角形的判定，垂径定理，平行四边形的判定及平行线的性质对各选项进行逐
一判断即可．
【解答】解：A、有两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，原说法错误，不符合题意；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原说法错误，不符合题意；
C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原说法错误，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理，涉及全等三角形的判定，垂径定理，平行四边形的判定及平行线的
性质，熟知以上知识是解题的关键．
14．（2025•珠晖区校级二模）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．同位角相等
B．若a2＝b2，那么a＝b
C．﹣27的立方根是﹣3
D．直线y＝2x﹣3向下平移2个单位可得到一次函数y＝2x﹣1的图象
【考点】命题与定理；立方根；一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；同位角、内错角、同旁
内角．
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【专题】应用题；一次函数及其应用；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质、乘方的意义、立方根的定义和一次函数的平移规律逐项判断即可得解．
【解答】解：根据平行线的性质、乘方的意义、立方根的定义和一次函数的平移规律逐项分析判断如
下：
A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
B、若a2＝b2，那么a＝±b，故原命题是假命题；
第12页（共28页）C、﹣27的立方根是﹣3，故原命题是真命题；
D、直线y＝2x﹣3向下平移2个单位可得到一次函数y＝2x﹣5的图象，故原命题是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了真假命题、平行线的性质、立方根的定义和一次函数图象的平移等知识；熟练掌
握以上知识点是关键．
15．（2025•开州区模拟）下列各个命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．平行四边形是中心对称图形
【考点】命题与定理；中心对称图形；线段的性质：两点之间线段最短；对顶角、邻补角；垂线；同
位角、内错角、同旁内角．
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【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据线段的性质、平行线的性质、垂直的定义、中心对称图形判断．
【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不符合题意；
D、平行四边形是中心对称图形，是真命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假
关键是要熟悉课本中的性质定理．
16．（2025•衡阳校级模拟）下列是假命题的是（ ）
√2
A． 是分数
2
B．正五边形外角和为360°
C．正方形的对角线相等，互相垂直且平分
D．三角形的内心是三条内角平分线的交点
【考点】命题与定理；实数；圆周角定理；三角形的内切圆与内心．
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【专题】与圆有关的计算．
【答案】A
【分析】根据实数的分类，圆周角定理，三角形的内切圆与内心逐一判断即可．
第13页（共28页）√2
【解答】解：A、 是无理数，不是分数，原说法错误，是假命题，符合题意；
2
B、正五边形外角和为360°，正确，原命题是真命题，不符合题意；
C、正方形的对角线相等，互相垂直且平分，正确，原命题是真命题，不符合题意；
D、三角形的内心是三条内角平分线的交点，正确，原命题是真命题，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了命题与定理，实数，圆周角定理，三角形的内切圆与内心，熟知相关知识是
解题的关键．
二．填空题（共9小题）
17．（2025•江都区一模）要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝ ﹣ 4 （答案
不唯一） ．
【考点】命题与定理．
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【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】﹣4（答案不唯一）．
【分析】要使得a2≥4成立，则a＜﹣2或a＞2，因此举反例可列举a＜﹣2的数字即可．
【解答】解：当a＝﹣4时，a2＝16＞4，但不满足a＞2，
故命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，
故答案为：﹣4（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．
18．（2025•攀枝花）请你取一个a的值，说明命题“|a﹣1|＝a﹣1”是假命题，那么a＝ ﹣ 1 （答案不唯
一） ．
【考点】命题与定理；绝对值．
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【专题】实数；推理能力．
【答案】﹣1（答案不唯一）．
【分析】根据绝对值的性质、假命题的概念解答．
【解答】解：当a＝﹣1时，a﹣1＜0，
则|a﹣1|＝﹣（a﹣1）＝1﹣a，
说明命题“|a﹣1|＝a﹣1”是假命题，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
19．（2025•西城区一模）用一组a，b的值说明命题“若√a2＞√b2，则a＞b”是错误的，这组值可以是：
第14页（共28页）a＝ ﹣ 2 ，b＝ 1 （答案不唯一） ．
【考点】命题与定理；实数大小比较；二次根式的性质与化简．
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【专题】二次根式；推理能力．
【答案】﹣2；1（答案不唯一）．
【分析】根据算术平方根、实数的大小比较解答．
【解答】解：当a＝﹣2，b＝1时，√a2＞√b2，而a＜b，
∴命题“若√a2＞√b2，则a＞b”是错误的，
故答案为：﹣2；1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推
理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
20．（2025•织金县三模）用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么√a＞√b”的第一步应假设 √a≤√b
．
【考点】反证法；实数大小比较．
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【专题】阅读型．
【答案】√a≤√b．
【分析】根据反证法得到第一步假设即可得到答案．
【解答】解：“如果a＞b＞0，那么√a＞√b”的第一步应假设√a≤√b，
故答案为：√a≤√b．
【点评】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．
21．（2025•上城区校级三模）命题“若a2≥0，那么a≥0”的逆命题为 若 a ≥ 0 ，那么 a 2 ≥ 0 ，此逆命题
是 真 命题（填“真”或“假”）．
【考点】命题与定理；非负数的性质：偶次方．
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【专题】实数；推理能力．
【答案】若a≥0，那么a2≥0；真．
【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据实数的平方判断真假．
【解答】解：命题“若a2≥0，那么a≥0”的逆命题为“若a≥0，那么a2≥0”，
此逆命题是真命题，
故答案为：若a≥0，那么a2≥0；真．
【点评】本题考查的是命题与定理，熟记逆命题的概念、真假命题的判断是解题的关键．
a b
22．（2025•庐阳区校级一模）命题“如果 ＞ ，那么a＞b”的逆命题是 假 命题（填“真”或
c2 c2
第15页（共28页）“假”）．
【考点】命题与定理；不等式的性质．
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【专题】数与式；运算能力．
【答案】假．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．
a b a b
【解答】解：根据题意得：命题“如果 ＞ ，那么a＞b”，逆命题是“如果a＞b，那么 ＞ ”，
c2 c2 c2 c2
该命题是假命题．因为当c＝0时，此命题结论错误，
故答案为：假．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而
第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个
命题的逆命题．
23．（2025•铜陵三模）命题“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是 如果 a b ＞ 0 ，那么 a ＞ 0 ， b ＞
0 ．
【考点】命题与定理．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】如果ab＞0，那么a＞0，b＞0．
【分析】根据互逆命题概念解答即可．
【解答】解：命题“如果a＞0，b＞0，那么ab＞0”的逆命题是“如果ab＞0，那么a＞0，b＞0”，
故答案为：如果ab＞0，那么a＞0，b＞0．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而
第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个
命题的逆命题．
24．（2025•昌平区二模）已知命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题，则c的值可以是 ﹣ 1 （答案不唯
一） ．
【考点】命题与定理；不等式的性质．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据不等式的基本性质三判断即可．
【解答】解：当a＞b，c＝﹣1时，﹣a＜﹣b，即ac＜bc，
说明命题“如果a＞b，那么ac＞bc”是假命题，
所以c的值可以是﹣1等．
第16页（共28页）故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推
理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
25．（2025•新吴区二模）用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设 a ＝ b ．
【考点】反证法．
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【答案】见试题解答内容
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：a，b的等价关系有a＝b，a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a＝b．
因此用反证法证明“a≠b”时，应先假设a＝b．
故答案为a＝b．
【点评】本题结合绝对值的计算考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不
成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种
情况，则必须一一否定．
第17页（共28页）考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“√a”，负的平方根表示为“-√a”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作√a．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根
是0．
4．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算
术平方根．记为√a．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以
借助乘方运算来寻找．
5．立方根
第18页（共28页）（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，
那么x叫做a的立方根．记作：√3 a．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号√3 a中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一
个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根
是0．
6．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
{ {正有理数
有理数 0 {正实数
实数： 负有理数 或 实数： 0
{正无理数 负实数
无理数
负无理数
7．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个
负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在
原点左侧，绝对值大的反而小．
8．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①√ a≥0； a≥0（双重非负性）．
②（√ a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
{ a (a＞0)
③√ a2=|a| = 0 (a=0) （算术平方根的意义）
-a (a＜0)
（2）二次根式的化简：
第19页（共28页）①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
√a √a
√ab=√a•√b（a≥0，b≥0） = （a≥0，b＞0）
√b b
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能
开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指
数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
9．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
10．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
a b
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ＞ ；
m m
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
a b
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或 ＜ ；
m m
第20页（共28页）（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要
变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等
号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
11．一次函数的图象
b
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（- ，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
k
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的
横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函
数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，
就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
12．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
13．二次函数图象上点的坐标特征
b 4ac-b2
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（- ， ）．
2a 4a
b
①抛物线是关于对称轴x=- 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
2a
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
第21页（共28页）②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x ，0），（x ，0），则其对称轴为x
1 2
x +x
= 1 2．
2
14．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
15．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置
关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两
个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
16．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另
一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
17．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出
或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
18．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线
（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
第22页（共28页）（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线
（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直
线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决
定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此
直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，
内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
19．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
20．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
21．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对
应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角
的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
22．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
第23页（共28页）①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
23．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等
角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、
分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用
定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质
和判定去解决问题．
24．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
25．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相
第24页（共28页）等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
26．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
27．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优
弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知
一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得
图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
28．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
第25页（共28页）29．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起
来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
30．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫
做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
31．圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．
如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆
上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，
叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．
（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离 d＞R+r；
②两圆外切⇔d＝R+r；
③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
32．命题与定⇔理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是
由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分
是结论．
第26页（共28页）5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般
需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
33．反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证
法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是
“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
34．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应
点的线段平行且相等．
35．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中
心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形
自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
36．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
第27页（共28页）要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
37．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且
某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接
关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，
但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．
如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯
泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进
行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
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