湖北省武汉市2025届高中毕业生四月调研考试数学答案_2025年4月_250418湖北省武汉市2025届高中毕业生四月调研考试（全科）_湖北省武汉市2025届高中毕业生四月调研考试数学

武汉市 2025 届高三年级四月调研考试 数学试卷参考答案及评分标准 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C A A B D C BCD AD BD 填空题： 3 12. 3 13. 36 14. 3 解答题： 15.（13分）解： （1）因为CA⊥ AB,CA⊥ AA,AA AB = A, AB,AA 平面ABB A ,所以CA⊥ 平面ABB A ， 1 1 1 1 1 1 1 BE 平面ABB A,所以CA⊥ BE,又因为BE ⊥ AB 1 1 AB 平面ABC ,CA平面ABC ,且AB AC = A，BE ⊥平面ABC. …………6分 1 1 1 1 1 （2）以A为坐标原点，向量AB,AC,AA 为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系 1 B(2,0,0)，C(0,2,0)，B (2,0,4)，设E(0,0,t),BE =(−2,0,t)，AB =(2,0,4) 1 1 AB ⊥ BE ，所以−4+4t =0,t =1,所以E(0,0,1)，CE =(0,−2,1)，CB=(2,−2,0) 1  nCE =0 −2y+z =0 设平面BCE 的法向量为n =(x,y,z), ， ， nCB =0 2x−2y =0 令x =1则z =2,y =1，n =(1,1,2), 平面ABE的法向量为AC =(0,2,0)，设平面CBE 平面ABE之间的夹角为 |nm| 2 6 cos= = = . …………13分 |n||m| 62 6 16.（15分）解： 1−lnx a （1） f '(x)=ex − − , f '(1)=e−1−a =−1 a=e …………7分 x2 x2 lnx a xex −lnx+a−x （2） f (x)=ex − + −1= 0恒成立，因为x0，等价于 x x x 1 xex −lnx+a−x0恒成立，令g(x)= xex −lnx+a−x，g'(x)=(1+x)(ex − ) x 1 1 1 1 令h(x)=ex − ，h(x)=ex + 0，h(x)在(0,+)是增函数，由于h   =e2 −20， x x2 21  h(1)=e−10，x  ,1 ，h(x )=0，即g(x )=0，   0 2  0 0 当x(0,x )，g'(x)0，当x(x，+)，g'(x)0 0 0 1 所以g(x)在(0,x )单调递减，在(x ,+)单调递增，因为h(x )=0，所以ex 0 = ，lnx =−x 0 0 0 x 0 0 0 g(x) = g(x )= x ex 0 −lnx −x +a=1+x −x +a0，a−1 …………15分 min 0 0 0 0 0 0 17.（15分）解： A8A5 14 （1）记“五张字母牌不相邻” 为事件B，P(B)= 8 9 = …………4分 A13 143 13 （2）记“在标有8的牌左侧，没有数字牌”为事件C A7A5 1 由于标1~7的牌都在标有8的牌右侧，有A7 =7!种排法，P(C)= 7 13 = …………9分 7 A13 8 13 (k−1)!A5+8−k 1 （3）标号比k 小的牌有(k −1)张，比k 大的牌有(8−k)张，P(A )= 13 = k A13 k 13 …………15分 18.（17分）解： 1 1 3+ 3 1 （1） =2− 3符合， = 不符合，0没有倒数， =7−4 3符合 2+ 3 3− 3 6 7+4 3 综上2+ 3，7+4 3属于B …………4分 （2）先证明若xA,yA，则xyA 设x=m+ 3n,y = p+ 3q，m,n,p,q是整数， xy =(m+ 3n)(p+ 3q)=mp+3nq+(mq+np) 3 由于mp+3nq，mq+np都是整数，所以xyA 该命题得证. 1 1 1 1 1 当xB,yB时，有 , A，所以  = A,即证xyB …………10分 x y x y xy 1 1 m− 3n m −n （3）根据题意， = = = + 3A x m+ 3n m2 −3n2 m2 −3n2 m2 −3n2 m −n 所以 ， 都是整数 m2 −3n2 m2 −3n2  m  2  −n  2 m2 −3n2 1 因此  −3  = = 是整数，所以m2 −3n2 =1 m2 −3n2  m2 −3n2  ( m2 −3n2)2 m2 −3n2 假如m2 −3n2 =−1，m2 +1=3n2，则m2 +1应为3的倍数设t为整数，若m=3t，m2 +1=9t2 +1，不是3的倍数 若m=3t+1，m2 +1=9t2 +6t+2=3(3t2 +2t)+2，不是3的倍数 若m=3t+2，m2 +1=9t2 +12t+5=3(3t2 +4t+1)+2，不是3的倍数 因此m2 −3n2 −1，即证m2 −3n2 =1 …………17分 19.（17分）解： （1）由题意得，m=4，又因为P(1,1)在 上 1 1 1 1 4 x2 y2 x2 y2 代入 得 + =1，所以n= ，则 : + =1， : + =1 …………3分 1 4 n 3 1 4 4 2 4 4 ( ) ( ) 3 3 (y −1) (y +1) y2 −1 （2）设M(x ,y )，N(x ,y ),则k k = 1 1 = 1 1 1 2 2 P 1 M P 3 M (x −1) (x +1) x2 −1 1 1 1 4−x2 x2 y2 4 x2 4−x2 3 1 −1 1 又因为 1 + 1 =1,所以y2 = (1− 1 )= 1 ，则k k = =− ， 4 ( 4 ) 1 3 4 3 P 1 M P 3 M x2 −1 3 1 3 k 同理可得k k =−3，所以 2 =9 …………9分 P 1 N P 3 N k 1 （3）设直线QQ ,Q Q ,QQ ,Q N分别为l ,l ,l ,l ，其斜率依次为k ,k ,k ,k 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3x2 y2 设直线l :y−1=k (x−1)，联立 + =1得(k2 +3)x2 +2k (1−k )x+(1−k )2 −4=0 1 1 4 4 1 1 1 1 k2 −2k −3 k2 −2k −3 −k2 −6k +3 即有x x = 1 1 ，所以x = 1 1 ，代入直线方程得y = 1 1 Q 2 P 1 k2 +3 Q 2 k2 +3 Q 2 k2 +3 1 1 1 则k = y Q 2 −1 = −2k 1 2 −6k 1 =− k 1 +3 ，设 f(x)=− x+3 ，则经过P,P 的两直线l ,l 之间斜率满 2 x +1 2k2 −2k k −1 x−1 1 2 1 2 Q 2 1 1 1  足关系：k = f(k )，将直线l ,l 绕原点顺时针旋转 后也会经过 P,P ，所以两者斜率满足 2 1 2 3 2 1 2 1 1 1 −1−k −1 − = f(− ) ，所以k =− =− 2 = k k 3 1 −1+3k k +2 3 2 f(− ) 2 1 k 2 同理将直线l ,l 绕原点顺时针旋转后也会经过P,P ，所以两直线斜率满足k = f(k ) 3 4 1 2 4 3 −1 ( )+3 k +3 k +2 3k +5 y−1 y−1 k = − 3 =− 1 = 1 ，设N(x,y),则有 =k ， =k ，代入上式得： 4 k −1 −1 k +3 x−1 1 x+1 4 3 ( )−1 1 k +2 1 y−1 3 +5 y+1 x−1 y y = ，得到y2 =5x2 −16x+12=(5x−6)(x−2)所以  =5，因此存在定 x−1 y−1 6 x−2 +3 x− x−1 5 6 点G( ,0)，使直线GN和直线HN的斜率之积为定值5 …………17分 5