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专题 15 集合专题（新定义）
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知集合A，B满足 ，若 ，且 ， 表示两个
不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A．9 B．4 C．27 D．8
2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合 且 ，已知集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合 ，设集合 ，
，则 中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021秋·陕西安康·高一校考阶段练习）设P，Q是两个非空集合，定义 ，
若 ， ，则 中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．12 D．16
5．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为 ，定义一种运算 ，
，若全集 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）当一个非空数集G满足“如果a、 ，则 、 、，且 时， ”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是
（ ）
①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则 ；
③集合 是一个数域；④有理数集Q是一个数域．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022秋·北京房山·高一统考期中）已知U是非空数集，若非空集合A，B满足以下三个条件，则称
为集合U的一种真分拆，并规定 与 为集合U的同一种真分拆．
① ；
② ；
③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．
则集合 的真分拆的种数是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．15
8．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和
等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合 ，集合
，则 真子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
9．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1） ， ；（2）若
，则 ；（3）若 且 ，则 ．则称A为“好集”．已知命题：①集合
是好集；②对任意一个“好集”A，若 ，则 ．以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
10．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合M，定义函数 ，对于两个集合 ，定义集合， ，已知 ， ，
用 表示有限集合 中的元素个数，则对于任意集合 ， 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．（2022秋·天津和平·高一天津市汇文中学校考阶段练习）若 且 就称A是伙件关系集合，集
合 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ）
A．15 B．16 C．64 D．128
12．（2022秋·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第一中学校考阶段练习）已知集合 ，对它的非空子
集 ，可将 中的每一个元素 都乘以 再求和（如 ，可求得和为：
），则对 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是
（ ）
A．18 B．16 C．-18 D．-16
13．（2023·全国·高三专题练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到
大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如 的交替和是 ；而 的交替
和是5，则集合 的所有非空子集的交替和的总和为（ ）
A．32 B．64 C．80 D．192
14．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相
同，称A为互斥集．若 ，且A为互斥集，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·上海·高一专题练习）设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X
属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上
的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；
④τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（ ）
A．② B．①③ C．②④ D．②③
16．（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考开学考试）定义集合运算 且 称
为集合 与集合 的差集；定义集合运算 称为集合 与集合 的对称差，有以下4
个命题：
① ②
③ ④
则 个命题中是真命题的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、多选题
17．（2022秋·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）整数集 中，被4除所得余数为 的所有整数组成
一个“类”，其中 ，记为 ，即 ，以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．若 ，则整数 ， 属于同一个类
18．（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用
有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而
结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集 划分为两个非空的子集M与N，且满足 ， ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称
为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A． 满足戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M没有最大元素，N没有最小元素
D．M有一个最大元素，N有一个最小元素
19．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）给定集合 ，若对于任意 ， ，有 ，且
，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（ ）
A．集合 为闭集合；
B．集合 为闭集合；
C．集合 为闭集合；
D．若集合 为闭集合，则 为闭集合．
三、填空题
20．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）设集合 ，若把集合 的集
合 叫做集合 的配集，则 的配集有___________个.
21．（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合 ，其所有元素的几
何平均数记为 ，即 ．若非空数集 满足下列两个条件：① A；②
，则称 为 的一个“保均值真子集”，据此，集合 的“保均值真子集”有__个．
22．（2020秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）设集合 ，若 ，把
的所有元素的乘积称为 的容量（若 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若 的容量为奇（偶）数，则称 为 的奇（偶）子集，则 的所有奇子集的容量之和为______.
23．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于 ，
若 ，且 ，则称k是A的一个“孤立元”，集合 中的“孤立元”是
___________；对给定的集合 ，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”
的集合有___________个．
24．（2021秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）若一个非空数集 满足：对任意 ，有 ，
， ，且当 时，有 ，则称 为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域 有非零元素，则 ；
（3）集合 为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
25．（2022秋·北京·高一校考阶段练习）已知集合 ， 满足：（1） ， ；（2）
，若 且 ，则 ；（3） ，若 且 ，则 .给出以下命题：
①若集合 中没有最大数，则集合 中有最小数；
②若集合 中没有最大数，则集合 中可能没有最小数；
③若集合 中有最大数，则集合 中没有最小数；
④若集合 中有最大数，则集合 中可能有最小数.
其中，所有正确结论的序号是___________.
26．（2022秋·江苏淮安·高三校联考期中）用 表示非空集合A中的元素个数，定义
，若 ， ，且
，若B中元素取最少个数时m=______.若B中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合
B=______.27．（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）对于集合 ，我们把 称为该
集合的长度，设集合 ，且 都是集合
的子集，则集合 的长度的最小值是_______．
28．（2023·全国·高一专题练习）设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数 满
足：（ⅰ） ；（ⅱ）对任意 ，当 时，恒有 ．那么称这两个集
合“保序同构”．现给出以下3对集合：
① ，B为正整数集；
② ， ；
③ ， ．
其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号）
四、解答题
29．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：① ，
；②若 ，则 ；③若 且 ，则 .
（1）判断 是否正确，说明理由；
（2）证明： ；
（3）证明：若 ，则 且 .
30．（2022秋·北京·高一北京市第十三中学校考期中）设A是实数集的非空子集，称集合
为集合A的生成集．
(1)当 时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值．
