文档内容
专题 15 集合专题（新定义）
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知集合A，B满足 ，若 ，且 ， 表示两个
不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A．9 B．4 C．27 D．8
【答案】C
【分析】直接列举可得.
【详解】当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 .
故满足题意的“AB互衬对”个数为27.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合 且 ，已知集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据集合新定义即可求解.
【详解】因为集合 且 ， ，
所以
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合 ，设集合 ，
，则 中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的新定义求得 ，从而确定正确答案.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
故 中元素的个数为 .
故选：B.
4．（2021秋·陕西安康·高一校考阶段练习）设P，Q是两个非空集合，定义 ，
若 ， ，则 中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据集合新定义，利用列举法写出集合的元素即可得答案.
【详解】因为定义 ，且 ， ，
所以 ，
中元素的个数是12，
故选：C.
5．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为 ，定义一种运算 ，，若全集 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解不等式求得集合M，求得 ，根据集合运算新定义，即可求得答案.
【详解】由题意得 ， 或 ，
则 ，
故选：C
6．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）当一个非空数集G满足“如果a、 ，则 、 、
，且 时， ”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是
（ ）
①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则 ；
③集合 是一个数域；④有理数集Q是一个数域．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据数域定义逐一验证即可.
【详解】由定义可知， ，即0是任何数域中的元素，①正确；
若域G中有非零元素a，则 ，所以 ， ，…， ，②正确；
记 则 ，但 ，故③错误；
易知任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，故④正确.
故选：C
7．（2022秋·北京房山·高一统考期中）已知U是非空数集，若非空集合A，B满足以下三个条件，则称为集合U的一种真分拆，并规定 与 为集合U的同一种真分拆．
① ；
② ；
③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．
则集合 的真分拆的种数是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．15
【答案】A
【分析】理解真分拆的定义，采用列举法一一列出即可求解.
【详解】根据真分拆定义，当集合 只有一个元素时， 有四个元素，此时只能是 ；当
集合 有两个元素时， 有三个元素，此时包括 、 、
，因为 与 为集合U的同一种真分拆，故只有四种真分拆.
故选：A
8．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个 位正整数的所有数位上数字的 次方和
等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合 ，集合
，则 真子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.
【详解】由题中定义可知 ，而 ，
所以 ，因此 真子集个数为 ，
故选：C
9．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1） ， ；（2）若
，则 ；（3）若 且 ，则 ．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若 ，则 ．以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可.
【详解】对于①，因为 ，而 ，
所以集合 不是好集，故①错误；
对于②，因为集合 为“好集”，
所以 ，
所以 ，故②正确，
所以①为假命题，②为真命题.
故选：D.
10．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合M，定义函数 ，
对于两个集合 ，定义集合， ，已知 ， ，
用 表示有限集合 中的元素个数，则对于任意集合 ， 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】先根据定义化简 ， ，再根据文恩图确定 + 最小值取法，即得结果.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
，所以， , ，
所以，当 元素个数最多且M中不含有A,B的元素之外的元素时， + 最小，
因为 ,
所以当 时， + 最小，为 ，
故选：B
11．（2022秋·天津和平·高一天津市汇文中学校考阶段练习）若 且 就称A是伙件关系集合，集
合 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ）
A．15 B．16 C．64 D．128
【答案】A
【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有 ， ，“ 和 ” ，“ 和 ”四种可能，它们组成的非空子
集的个数为即为所求.
【详解】因为 ， ； ， ；
， ； ， ；
这样所求集合即由 ， ，“ 和 ” ，“ 和 ”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．
所以满足条件的集合的个数为 ，
故选:A.
12．（2022秋·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第一中学校考阶段练习）已知集合 ，对它的非空子
集 ，可将 中的每一个元素 都乘以 再求和（如 ，可求得和为：
），则对 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是
（ ）
A．18 B．16 C．-18 D．-16【答案】D
【分析】由已知，先求解出集合 的所有非空子集分别出现的次数，然后，再根据范例直接计算总和即可.
【详解】由已知，因为 ，那么每个元素在集合 的所有非空子集分别出现 个，
则对于 的所有非空子集执行乘以 再求和的操作，则这些数的总和为：
.
故选：D.
13．（2023·全国·高三专题练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到
大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如 的交替和是 ；而 的交替
和是5，则集合 的所有非空子集的交替和的总和为（ ）
A．32 B．64 C．80 D．192
【答案】D
【分析】依次计算集合 的所有非空子集的交替和的总和，然后归纳猜想出规律即
可得．
【详解】集合 的所有非空子集的交替和的总和为 ，
集合 的所有非空子集的交替和的总和为 ，
集合 的所有非空子集的交替和的总和为 ，
集合 的所有非空子集的交替和的总和为
，
由此猜测集合 的所有非空子集的交替和的总和为 ，
证明如下：将集合 中所有的子集分为两类：第一类，集合中无 ，第二类，集合中有 这个元
素，每类中集合的个数为
我们在两类集合之间建立如下一一对应关系：
第一类中集合 对应着第二类中集合 ，
此时这两个集合的交替和为 ，故集合 的所有非空子集的交替和的总和为 ，
所以 ．
故选：D．
14．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相
同，称A为互斥集．若 ，且A为互斥集，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由集合的新定义先确定集合 ，而要想 取得最大值，则 要最小，从而确定 ，
即可求解
【详解】因为 ，
所以 为
又且 为互斥集，
所以 为 ，
要想 取得最大值，
则 要最小，此时 ，
不妨令 ，则 ，
故选：C
15．（2022·上海·高一专题练习）设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X
属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上
的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；
④τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（ ）
A．② B．①③ C．②④ D．②③
【答案】D
【分析】利用集合X上的拓扑的3个要求，依次判断即可．
【详解】解：①中由于{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故①不是集合X上的一个拓扑；
②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X上的一个拓扑；
③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X上的一个拓扑；
④中{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故④不是集合X上的一个拓扑；
因此集合X上的拓扑的集合τ的序号是②③，
故选：D．
16．（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考开学考试）定义集合运算 且 称
为集合 与集合 的差集；定义集合运算 称为集合 与集合 的对称差，有以下4
个命题：
① ②
③ ④
则 个命题中是真命题的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】利用题中定义可判断①的正误；利用韦恩图法可判断②④；利用题中定义与集合运算可判断③的
正误.
【详解】对于①， ，①对；
对于②， 且 且 ，
同理 ，则 ，
所以， 表示的集合如下图中的阴影部分区域所示：
同理 也表示如上图阴影部分区域所示，
故 ，②对；
对于③，
，③对；
对于④，如下图所示：
所以， ，④错.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题的关键在于利用韦恩图法来表示集合，利用数
形结合思想来进行判断.
二、多选题
17．（2022秋·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）整数集 中，被4除所得余数为 的所有整数组成一个“类”，其中 ，记为 ，即 ，以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．若 ，则整数 ， 属于同一个类
【答案】CD
【分析】根据给定的定义，计算判断A，B；推理判断C，D作答.
【详解】 ， ，
，即 ，而 ，因此 ，A不正确；
，即 ，而 ，因此 ，B不正确；
因任意一整数除以4，所得余数只能为0或1或2或3，即 ，
反之，集合 中任一数都是整数，即 ，所以 ，
C正确；
，不妨令 ，
则 ，因 ，于是得 ，即 ，因此整数 ， 属于同一个类，
D正确.
故选：CD
18．（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用
有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而
结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集 划分为两个非空的
子集M与N，且满足 ， ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称
为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A． 满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M没有最大元素，N没有最小元素
D．M有一个最大元素，N有一个最小元素
【答案】ABC
【分析】根据戴德金分割的定义可判断A；举例 判断B;结合A中例子可
判断C; 假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义判断D.
【详解】对于A， 满足戴德金分割的定义，A正确；
对于B,取 ，符合戴德金分割，
M没有最大元素，N有一个最小元素，B正确；
对于C，取 满足戴德金分割的定义，
M没有最大元素，N没有最小元素，C正确；
对于D，假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义，
必有 ，则无法满足 ，D错误，
故选： .
19．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）给定集合 ，若对于任意 ， ，有 ，且
，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（ ）
A．集合 为闭集合；
B．集合 为闭集合；
C．集合 为闭集合；
D．若集合 为闭集合，则 为闭集合．
【答案】AC
【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断 ,且 是否满足即可得到结论.
【详解】对于A：按照闭集合的定义， 故A正确;对于B：当 时, .故 不是闭集合.故B错误;
对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故 是闭集合.故C正确;
对于D：假设 , .不妨取 ,但是, ,则
不是闭集合.故D错误.
故选：AC
三、填空题
20．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）设集合 ，若把集合 的集
合 叫做集合 的配集，则 的配集有___________个.
【答案】4
【分析】直接按定义求出符合条件的集合 ，计算个数，得到答案.
【详解】解：由题意，M可以是 ， ， ， ，共4个.
故答案为：4.
21．（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合 ，其所有元素的几
何平均数记为 ，即 ．若非空数集 满足下列两个条件：① A；②
，则称 为 的一个“保均值真子集”，据此，集合 的“保均值真子集”有__个．
【答案】
【分析】求出 ，由此利用列举法能求出集合 的“保均值真子集”的个数．
【详解】因为集合 ，则 ，
所以，集合 的“保均值真子集”有： 、 、 、 、， ，共 个.
故答案为： .
22．（2020秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）设集合 ，若 ，把
的所有元素的乘积称为 的容量（若 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量
为0）.若 的容量为奇（偶）数，则称 为 的奇（偶）子集，则 的所有奇子集的容量之和为______.
【答案】
【分析】写出所有的奇子集，从而求出所有奇子集的容量之和.
【详解】当 时， ，
含有一个元素的奇子集为 ，
含有两个元素的奇子集为 ，
含有三个元素的奇子集为 ，
故所有奇子集的容量之和为 .
故答案为：47.
23．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于 ，
若 ，且 ，则称k是A的一个“孤立元”，集合 中的“孤立元”是
___________；对给定的集合 ，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”
的集合有___________个．
【答案】 5 6
【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可；
②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，依次写出满足不含“孤立元”的
集合即可.
【详解】解：①对于1， ，则1不是“孤立元”；
对于2， ，且 ，则2不是“孤立元”；对于3， ，则3不是“孤立元”；
对于5， ，且 ，则5是“孤立元”；
②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，
所以由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有 ， ， ，
， ， ，共6个，
故答案为：5；6.
24．（2021秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）若一个非空数集 满足：对任意 ，有 ，
， ，且当 时，有 ，则称 为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域 有非零元素，则 ；
（3）集合 为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
【答案】3
【分析】根据新定义逐一判断即可求解
【详解】（1）当 时， 属于数域，故（1）正确，
（2）若数域 有非零元素，则 ，
从而 ，故（2）正确；
（3）由集合 的表示可知得 是3的倍数，当 时， ，故（3）错误，
（4）若 是有理数集，则当 ， ，则 ， ， ，且当 时， ”都成立，故
（4）正确，
故真命题的个数是3.
故答案为：3
25．（2022秋·北京·高一校考阶段练习）已知集合 ， 满足：（1） ， ；（2）
，若 且 ，则 ；（3） ，若 且 ，则 .给出以下命题：①若集合 中没有最大数，则集合 中有最小数；
②若集合 中没有最大数，则集合 中可能没有最小数；
③若集合 中有最大数，则集合 中没有最小数；
④若集合 中有最大数，则集合 中可能有最小数.
其中，所有正确结论的序号是___________.
【答案】②③
【分析】根据集合中元素的特点进行判断 ， 的关系．
【详解】解：依题意可判断集合 中的元素都小于集合 中的元素，
若集合 的元素没有最大数，则必然存在一个数 ，使得 ， ；
如果 是有理数，则 ，且 ， ，则 有最小数为 ；
如果 是无理数，则 ，且 ， ，则 没有最小数；
故②正确；
若集合 的元素有最大数，则必然存在一个有理数 ，使得 ， ；
， ，则 没有最小数；
故③正确；
故答案为：②③．
26．（2022秋·江苏淮安·高三校联考期中）用 表示非空集合A中的元素个数，定义
，若 ， ，且
，若B中元素取最少个数时m=______.若B中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合
B=______.
【答案】 0 或
【分析】由题意，分情况求得 ，可得方程根的情况，可得答案．
【详解】由题意，可知 ，
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ；
故B中元素最少个数为 ，此时，方程 存在唯一根，
由 知该方程必有一个根为0，故 ，即 ；
同时，也可知B中元素最多个数为 ，则方程 存在三个根，则 ，
此时， 必定存在两个不等实根 和 ，
则方程 存在唯一实根或存在两个不相等的实根但其中一个根为 ，
①当 存在唯一实根时，由 得 ，
当m＝2时，方程为 ，其根 ，同时 ，故此时 ；
当m＝－2时，方程为 ，其根 ，同时 ，故此时 ；
②当 存在两个不相等的实根但其中一个为 时， ，不成立；
综上，B中元素最多个数为 时， 或 ．
故答案为： ； 或 ．
【点睛】根据题目中的新定义，直接应用，求得结论，根据集合中元素的个数，可得方程根的情况，结合
二次方程的解法，可得答案．
27．（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）对于集合 ，我们把 称为该
集合的长度，设集合 ，且 都是集合
的子集，则集合 的长度的最小值是_______．
【答案】999
【分析】根据题中定义，结合解一元二次不等式的方法、子集的定义、交集的定义分类讨论进行求解即可.【详解】 ，
因为 都是集合 的子集，
所以 ，
所以 或 ，
所以 的长度为 或 ，
所以当 时，或 ， 的长度的最小值为999
故答案为：999
28．（2023·全国·高一专题练习）设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数 满
足：（ⅰ） ；（ⅱ）对任意 ，当 时，恒有 ．那么称这两个集
合“保序同构”．现给出以下3对集合：
① ，B为正整数集；
② ， ；
③ ， ．
其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号）
【答案】①②③
【分析】利用两个集合“保序同构”的定义，能够找出存在一个从S到T的函数进行判断即可
【详解】条件（ⅰ）（ⅱ）说明 到 是一个一一映射，且函数为单调递增函数.
对于①，可拟合函数 满足上述两个条件，故是保序同构；
对于②，可拟合函数 满足上述两个条件，故是保序同构；
对于③，可考虑经过平移压缩的正切函数也满足上述两个条件，故都是保序同构；
故答案为：①②③四、解答题
29．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：① ，
；②若 ，则 ；③若 且 ，则 .
（1）判断 是否正确，说明理由；
（2）证明： ；
（3）证明：若 ，则 且 .
【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据定义确定 包含元素 ；
（2）根据定义依次确定 包含元素 ；
（3）根据定义确定 包含元素 ，即得 结论；根据定义依次确定 包含元素
,即得 结论．
【详解】（1） 正确，证明如下：由①知 ，
由②可得 ；
（2）证明：由（1）知 ，又
∴ ，
由③得 ；
（3）证明：由①知
由题知 ，∴由②可得
又∵ ，∴ ，即 ；
证明：由 ， ，
当 时，则 ；
当 时，则 ；
当 且 时，由②可得 ，再由③可得 ，
∴ 即 ，
∴ 即 ，
∴ 即当 ，
又因为当 ， ，∴ ，∴
∴当 ，可得
∴ ．
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的关键．
30．（2022秋·北京·高一北京市第十三中学校考期中）设A是实数集的非空子集，称集合
为集合A的生成集．
(1)当 时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；
（2）设 ，且 ，利用生成集的定义即可求解.
【详解】（1）根据题意， ，
，
（2）设 ，不妨设 ，
所以 中元素个数大于等于7个，
所以生成集合 中元素个数最小值为7.
