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学年度（上）⾼⼀数学 ⽉⽉考卷
2025-2026 12
考试时间：120分钟；
⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分，在每个⼩题给出的四个选项中，只有⼀
项符合题⽬要求.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
3. 函数 零点所在的⼀个区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数 的图象恒过定点 ，则 （ ）
A.2 B.0 C. D.
5. 若函数 的图象过点 ，则函数 的⼤致图象是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知⻆ 满⾜ ，⻆ 的终边与⻆ 的终边关于 轴对称，则 的值为
（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A B. C. D.
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司8. 已 知 函 数 ， 若 存 在 三 个 不 相 等 的 实 数 ， ， ， 使 得
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
⼆、多选题：本题共三⼩题，每⼩题6分，共18分.
9. 下⾯结论正确的有（ ）
A. 若 ，且 ，则
B.“ ”是“ ”的充分不必要条件
C. 若 是第⼆象限⻆，则 是第⼀象限⻆或第三象限⻆
D. 命题“ ， ” 否定是 ，
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， 值域为
B. 当 时， 的定义域为
C. 的图象关于直线 对称
D. 若 的定义域为R，则实数 的取值范围
11. 已知 ，且 ，则（ ）
A.
B. 当 时，
C. 当 时， 取值范围是
D. 当 ， ， 时，
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司12. ________.
13. 已知函数 在区间 上有两个零点，实数 的取值范围为 ________.
14. 已知 且 ，函数 存在最⼩值，则 的取值范围为__________．
四、解答题：本题共5⼩题，共77分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知⻆ 顶点为原点且始边在 轴⾮负半轴，终边上有⼀点 且点 不与坐标原点 重合.
（1）若点 坐标是 且 ，求 的值；
（2）若⻆ 满⾜
①求 的值；
②求 的值.
16. 已知幂函数 在 上单调递增．
（1）求实数 的值：
（2）若函数 在 上的最⼩值为1，求实数 的值．
17. 某校学⽣社团⼼理学研究⼩组在对学⽣上课注意⼒集中情况的调查研究中，发现注意⼒指数 与听课时
间 之间的关系满⾜如图所示的曲线.当 时，曲线是⼆次函数图象的⼀部分，当 时，曲
线是函数 （ 且 ）图象的⼀部分.根据专家研究，当注意⼒指数 ⼤于80时
听课效果最佳.
（1）试求 的函数关系式；
（2）⽼师在什么时段内讲解核⼼内容能使学⽣听课效果最佳？请说明理由.
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司18. 已知函数 是奇函数.
（1）求实数 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性，并⽤定义法证明；
（3）若 ，求满⾜ 的实数 的取值范围.
19. 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云⻰湾⼤桥，其悬索形态宛如平⾯⼏何中的悬链线.历史上，
莱布尼兹等⼈曾研究并得出了悬链线的⼀般⽅程，其中双曲余弦函数 尤为特殊.类似的有双曲正弦
函数 ，双曲正切函数 .已知函数 和 满⾜以下条件：①
；②
（1）请基于以上信息求函数 和 的初等函数表达式，并证明：
.
（2）设 .证明： 有唯⼀的正零点 ，并⽐较
和 的⼤⼩.
（3）关于 的不等式 对任意 恒成⽴，求实数
取值范围.
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司学年度（上）⾼⼀数学 ⽉⽉考卷
2025-2026 12
考试时间：120分钟；
⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分，在每个⼩题给出的四个选项中，只有⼀
项符合题⽬要求.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由集合的交集运算求解即可．
【详解】集合 ，
则 ．
故选：A
2. 下列命题是真命题 是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】利⽤不等式的性质，及不等式同向可加性和同向同正可乘性，以及作差法⽐较⼤⼩，即可求解.
【详解】当 时，若 ，则 ，这 真命题，但是当 时，显然 ，故A错
误；
由 可得， ，利⽤同向不等式可加性得： ，故B错误；
由 ，
因为 ，所以 ，即 ，故C正确；
若 ，则 ，这⾥ ，不妨取 ，
第1⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司则 ，与 相⽭盾，故D错误；
故选：C.
3. 函数 的零点所在的⼀个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定函数 的单调性，再利⽤零点存在性定理判断即得.
【详解】函数 的定义域为 ，
函数 在 上都单调递增，则函数 在 上单调递增，
⽽ ，所以函数 零点所在的⼀个区间是 .
故选：C
4. 已知函数 的图象恒过定点 ，则 （ ）
A.2 B.0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利⽤指数函数的性质求解.
【详解】∵ ，∴ 恒过定点 ，
∴ ， ，∴ ，
故选：A.
5. 若函数 的图象过点 ，则函数 的⼤致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
第2⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】根据给定条件，求出 ，再利⽤奇偶性及在 的单调性判断即得.
【详解】由函数 的图象过点 ，得 ，解得 ，
函数 ，即 的定义域为 ，
，即函数 偶函数，
当 时， 在 上单调递减，ABD错误，C正确.
故选：C
6. 已知⻆ 满⾜ ，⻆ 的终边与⻆ 的终边关于 轴对称，则 的值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】⾸先得出 ，根据 与 的关系得出 ，最后根据弦化切即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，⼜⻆ 的终边与⻆ 的终边关于 轴对称，
所以 ， .
则 .
故选：C
7. 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利⽤对数函数单调性及复合函数单调性，结合真数恒⼤于0列式求解.
【详解】由 ，得函数 在 上单调递减，⽽函数 在 上单调递减，
第3⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司则函数 在 上单调递增，因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
8. 已 知 函 数 ， 若 存 在 三 个 不 相 等 的 实 数 ， ， ， 使 得
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先画出分段函数的图象，然后判断每段函数的单调性，求出每段函数的值域，根据对称性推出
，结合图象可得到 的范围进⽽得解.
【详解】函数 的图象如下图所示.
当 时， 的对称轴是直线 ，且最⼤值为 ，
当 时， 为增函数，且此时 ，
由题意知存在三个不相等的实数 ， ， ，使得 ，
不妨设 ，则 ，则 ，
⼜ ，故 的取值范围是 .
故选：A.
⼆、多选题：本题共三⼩题，每⼩题6分，共18分.
第4⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司9. 下⾯结论正确的有（ ）
A. 若 ，且 ，则
B.“ ”是“ ”的充分不必要条件
C. 若 是第⼆象限⻆，则 是第⼀象限⻆或第三象限⻆
D. 命题“ ， ”的否定是 ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】应⽤基本不等式“1”的代换求 范围判断A；应⽤特殊值法，取 即可判断B；根据已知有
， 判断C；由特称命题的否定是将存在改为任意，并否定原结论判断D.
【详解】A：由 ，当且仅当
时取等号，对；
B：由 ，此时 ，故“ ”不是“ ”的充分条件，错；
C：由题设 ， ，则 ， ，
所以 第⼀象限⻆或第三象限⻆，对；
D：由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定为 ， ，对.
故选：ACD
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， 的值域为
B. 当 时， 的定义域为
C. 的图象关于直线 对称
D. 若 的定义域为R，则实数 的取值范围
【答案】BCD
【解析】
第5⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】对于A根据⼆次函数的值域及对数函数的单调性可判断，对于B直接根据对数函数的定义域可得，
对于C根据函数对称性判断可得，对于D由函数的定义域转化为⼆次函数的恒成⽴问题可得.
【详解】对于A： 时， ，所以 的值域
为 ，故A错误；
对于B： 时，要使函数 有意义， ，解得 或 ，所以函数的定义域为
，故B正确；
对于C：因为 ，所以函数 的图象
关于直线 对称，故C正确；
对于D：因为 的定义域为R，所以 的解集是R，得 ，解得 ，
故D正确.
故选：BCD.
11. 已知 ，且 ，则（ ）
A
B. 当 时，
C. 当 时， 的取值范围是
D. 当 ， ， 时，
【答案】BC
【解析】
【分析】变形给定等式，构造函数 ，利⽤单调性可得 ，再逐项求解判断即可.
【详解】由 ，得 ，令函数 ，
则原等式等价于 ，⽽函数 在 上都单调递增，
因此函数 在 上单调递增，则 ，
对于A，由 ，得 或 或 ，显然 不恒成⽴，A错误；
第6⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司对于B，由 ，得 ，则 ，解得 ，则 ，B
正确；
对于C，由 ， ，得 ，⼜ ，
则 ，即 ，解得 且 ，因此 ，C正确；
对于D，依题意， ，即 ，⼜ ，
则 ，⽽ ，解得 ，则 ，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. ________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利⽤三⻆函数的诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】由三⻆函数的诱导公式，可得：
.
故答案为： .
13. 已知函数 在区间 上有两个零点，实数 的取值范围为 ________.
【答案】
【解析】
【分析】先换元对原函数进⾏化简，然后根据对勾函数的性质判断单调性和最值，进⽽求出结果.
【详解】令 ，因为 ，所以 ，
则有⽅程 在 内有2个根，
第7⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司即 在 内有2个解，
即直线 与函数 的图象在 内有2个交点，
由对勾函数的性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
⼜因为 ， ， ，
所以 .
故答案为： .
14. 已知 且 ，函数 存在最⼩值，则 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【详解】当 时， ，当且仅当 时， 取得最⼩值 ；当
时，若 ，则 ，显然不满⾜题意，若 ，要使 存在最⼩值，必
有 ，解得 ，即 ， ，由
，可得 ，可得 ，故答案为 .
四、解答题：本题共5⼩题，共77分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知⻆ 顶点为原点且始边在 轴⾮负半轴，终边上有⼀点 且点 不与坐标原点 重合.
（1）若点 坐标是 且 ，求 的值；
（2）若⻆ 满⾜
①求 的值；
②求 的值.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
第8⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】（1）根据三⻆函数的定义列⽅程求解 的值即可；
（2）①结合平⽅关系将已知等式平⽅可得 ，判断 的符号，从⽽再平⽅可得
的值；②由①中结论，列⽅程组解得 的值，代⼊即可得所求.
【⼩问1详解】
因为 且 ，所以点 在第⼀或第⼆象限，
⼜ ，所以 在第⼀象限且 ，
由三⻆函数概念知： ，
故实数 的值为 ；
【⼩问2详解】
①因为⻆ 满⾜ ，
则 ，
所以 ，
⼜因为 ，则 且 ，
所以 ，
由 且 ，有 ，
所以 ，
②由①知： ，则 ，
则 .
16. 已知幂函数 在 上单调递增．
（1）求实数 的值：
（2）若函数 在 上的最⼩值为1，求实数 的值．
第9⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】（1）1 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求解；
（2）根据⼆次函数的性质讨论求解即可.
【⼩问1详解】
由题可得 ，即 ，解得 或1，
当 时， 在 上单调递减，不合题意；
当 时， 在 上单调递增，合题意.
综上， .
【⼩问2详解】
由（1） ，所以 ， ，对称轴 ，
当 时， 在 上单调递增，所以 ，不合题意；
当 时， 在 上单调递减，所以 ，
，解得 ，不合题意；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，解得 ，⼜ ，所以 ；
综上， .
17. 某校学⽣社团⼼理学研究⼩组在对学⽣上课注意⼒集中情况的调查研究中，发现注意⼒指数 与听课时
间 之间的关系满⾜如图所示的曲线.当 时，曲线是⼆次函数图象的⼀部分，当 时，曲
线是函数 （ 且 ）图象的⼀部分.根据专家研究，当注意⼒指数 ⼤于80时
听课效果最佳.
第10⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）试求 的函数关系式；
（2）⽼师在什么时段内讲解核⼼内容能使学⽣听课效果最佳？请说明理由.
【答案】（1）
（2）⽼师在 这⼀时间段内讲解核⼼内容，学⽣听课效果最佳．
【解析】
【分析】（1）利⽤⼆次函数的顶点式求得 在 上的解析式，再利⽤点代⼊求得 在
上的解析式，从⽽得解；
（2）分 ， ，由 求解即可.
【⼩问1详解】
由题意知，当 时，曲线是⼆次函数图象的⼀部分，
抛物线顶点坐标为 ，且曲线过点 ，
设⼆次函数为 ，则 ，解得 ，
则可得 ．
⼜当 时，曲线是函数 （ 且 ）图象的⼀部分，
且曲线过点 ，则 ，即 ，解得 ，
则
则 ．
【⼩问2详解】
由题意知，注意⼒指数 ⼤于80时听课效果最佳，
当 时，令 ，解得： ；
当 时，令 ，解得： .
第11⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司综上可得， .
故⽼师在 这⼀时间段内讲解核⼼内容，学⽣听课效果最佳．
18. 已知函数 是奇函数.
（1）求实数 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性，并⽤定义法证明；
（3）若 ，求满⾜ 的实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） 在 上单调递减，证明⻅解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义确定定义域，利⽤ 列⽅程即可得实数 的值；
（2）根据函数单调性的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性；
（3）根据函数 的奇偶性与单调性判断 的奇偶性与单调性，从⽽列不等式即可得实数 的取值范
围.
【⼩问1详解】
函数 的定义域为 且为奇函数，
则 ，可得
可得
解得 ；
【⼩问2详解】
在 上单调递减，理由如下：
第12⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司任取 ，则 ，
， ， ，且 ，
，即 ，
所以函数 在区间 上单调递减；
【⼩问3详解】
由于函数 且该函数为奇函数且该函数在区间 上为减函数，
当 时， ，
，则函数 的定义域为 ，
，故函数 为偶函数，
当 时， ，则函数 在 上为减函数，
由 ，可得出 ，
所以 ，解得 且 ，
因此，满⾜不等式 的实数 的取值范围是 .
19. 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云⻰湾⼤桥，其悬索形态宛如平⾯⼏何中的悬链线.历史上，
莱布尼兹等⼈曾研究并得出了悬链线的⼀般⽅程，其中双曲余弦函数 尤为特殊.类似的有双曲正弦
函数 ，双曲正切函数 .已知函数 和 满⾜以下条件：①
；②
（1）请基于以上信息求函数 和 的初等函数表达式，并证明：
第13⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司.
（2）设 .证明： 有唯⼀的正零点 ，并⽐较
和 的⼤⼩.
（3）关于 的不等式 对任意 恒成⽴，求实数
取值范围.
【答案】（1） ，证明⻅解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知联⽴解⽅程组可得，代⼊所求表达式可证明题设中等式；
（2）化简函数 ，然后由函数的单调性及零点存在定理确定零点 的范围，根据零点满⾜的等式变形
（都化为对数函数形式，然后由对数运算化简函数式，进⽽证明它⼩于0，得证结论成⽴；
（3）确定函数 的奇偶性与单调性，然后化简不等式为 ，由换元法，
令 ，由单调性求得 的范围，问题转化为⼀元⼆次不等式在某个区间上恒成⽴，通过分类讨论求
函数的最值，解不等式得参数范围．
【⼩问1详解】
，
所以 ， ；
下⾯证明： ，
第14⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以
；
【⼩问2详解】
由（1）知 ，
所以 ，显然 在 上为增函数，
且 ，
则在 上存在唯⼀的实数 ，使 ，
所以 有唯⼀的正零点 ；
由 ，得 ，两边同时取对数得 ，
于是 ，
⽽ 在 上是增函数，则有 ，
因此 ，所以
【⼩问3详解】
因为 ，该函数的定义域为 ，
，故函数 为奇函数，
⼜因为 ，
因为内层函数 在 上为增函数，且 ，
第15⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司外层函数 在 上为增函数，所以函数 在 上为增函数，
由 ，
得 ，即 ，即 ，
因为函数 在 上是增函数，
令 ，则函数 在 上是增函数，
当 时， ，且 ，则 ，
于是有 ，即 对任意的 恒成⽴，
令 ，其中 ，
当 时，即当 时，函数 在 上单调递增，
则 ，解得 ，此时， ；
当 时，即当 时，只需 ，
解得 ，此时， ；
当 时，即当 时，函数 在 上单调递减，
则 ，解得 ，此时， .
综上所述，实数 的取值范围是 ．
【点睛】⽅法点睛：函数新定义问题，解题⽅法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，函数
不等式恒成⽴问题，⾸先需要通过函数的单调性与奇偶性化简不等式，对于较复杂的不等式，需要⽤换元
法等进⾏化简转化，如本题指数函数的不等式转化为⼀元⼆次不等式恒成⽴，其次⼀元⼆次不等式恒成⽴，
第16⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司常常需要分类讨论求相应⼆次函数的最值后求得参数范围．
第17⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
