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连城一中2024-2025学年下期高一月考2数学试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
a+bi=(1+i)(2−i)
1．若 （ 是虚数单位，a，b是实数），则复数 在复平面内
对应的点是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
→ → → → → → →
a b |b|=2 a⋅b=−6 a b
2．若向量 ， 满足 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
3→ 3→
→ − a → − b
−3a 2 −3b 2
A． B． C． D．
3．某单位老、中、青人数之比依次为 .现采用分层随机抽样方法从中抽出一个容量为
的样本，若样本中青年人人数为20，则此样本的容量 为（ ）
A．40 B．50 C．70 D．100
4．设 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则 内的任何直线都与 平行
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
5．已知向量a （2，3）， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，正方形 的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图
形的直观图，则原图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，
在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，
并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方
图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是
（ ）
A．图中a的值为0.010 B．估计样本数据的众数
m=75 a
C．估计样本数据的75%分位数为88
D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分
及以上）的人数约为7200人
8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.
小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可
近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球 ）.如图：已
知粽子三棱锥 中， ， 、 、 分别为所
在棱中点， 、 分别为所在棱靠近 端的三等分点，小玮同学切开后发现，
沿平面 或平面 切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽
子体积的比为（ ）.
A． B． C． D．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分)
z+3
=−i
9.设复数z满足
z−1
，则下列说法正确的是( )
−
A.z为纯虚数 B.在复平面内，z对应的点位于第三象限
√5
C.z的虚部为2i D.|z|=10．2021年某地居民人均可支配收入的构成比例如图所示，已知
该地居民人均经营净收入为5250元，则（ ）
A．2021年该地居民人均经营净收入占居民人均可支配收入的21%
B．2021年该地居民人均可支配收入为25000元
C．2021年该地居民人均转移净收入低于人均经营净收入
D．2021年该地居民人均工资性收入比人均转移净收入多6750元
11．如图，在直三棱柱 中
是线段 的中点，P是线段 上的动点
（含端点），则下列命题正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为
B．直三棱柱 的外接球半径为
C． 的值可以为
D．在直三棱柱 内部能够放入一个表面积为π的球
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.数据12，23，15，19，17，27，14，30的第70百分位数为
13.如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD是正方形，AA= AB，则异
1 1 1 1 1
面直线AB与BD所成角的余弦值为 .
1
14．已知菱形 的边长为2， ．将菱形沿对角线AC
折叠成大小为 二面角 ．设E为 的中点，F为三棱
锥 表面上动点，且总满足 ，则点F轨迹的长度为
．
四、解答题(本题共5小题，共77分)
→ →
a b
15.（13分）已知 =(1,0), =(2,1).
→ → → →
a b a b
(1)若 =2 - , = +m ,且A,B,C三点共线,求m的值.
→ → → →
a b a b
(2)当实数k为何值时,k - 与 +2 垂直?
16．（15分）△ABC中的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ， .（1）求 ；
（2）若 ，点 为边 上一点，且 ，求 的面积.
17．（15分）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是
的中点.
(1)证明： ；
(2)证明： 平面 .
18．（17分）随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己
的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范
围是 至 ，男性的正常范围是 至 .这一范围适用于大多数成年人，可以帮
助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次
抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图.
(1)求a；
(2)如果女性的体脂率超过 属“偏胖”，那么全市“偏胖”女性
约有多少万人？
(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我
的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？
19．（17分）如图，在平面四边形 中，ΔABC是等边三角形， 是等腰三角
形，且 ，现将 沿 翻折至 ，形成三棱锥 ，其中 为动
点.
(1)若 ，求证：平面 平面 ；
(2)若 ，记ΔABC的重心为 ，若 ，求 与平面 所成角的正弦
值；
(3)求平面 与平面 夹角正切的
最大值.连城一中 2024-2025 学年下期高一月考 2 数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B B B D B BD ABD
题号 11
答案 AD
12.23.
13.答案
14． / 作出辅助线，证明出线面垂直，面面平行，得到点F轨
迹为 （除 外），并得到 为二面角 的平面角，
则 ，结合菱形性质求出 的三边长，得到轨迹长度.
15.解: (1)因为a=(1,0),b=(2,1),
所以 =2a-b=2(1,0)-(2,1)=(0,-1), =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),
又A,B,C三点共线,所以 ∥ ,所以-1×(2m+1)=0×m,解得m=- ................6分
(2)因为ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),ka-b与a+2b垂直,
所以(ka-b)·(a+2b)=(k-2)×5+(-1)×2=0,解得k= .........................13分
16．（1） （2）10
17．（1）在直三棱柱 中， 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ..............7分
（2）设 ，连接 ，
则 是 的中点，
又因为 是 的中点，所以
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ...............15分
18．(1)
(2)10万
(3)小张
19．（1）设等边三角形 的边长为2，
则 ，连接 交 于点 .
因为 是等腰三角形，所以 ，即 ，
因为 ， ， .
所以 ， ，
， 面 ，
所以 面 ，因为 面 ，
所以面 面 ...............................................5分
（2）在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，所以 ，
所以三棱锥 为正三棱锥.
因为 是 的重心，
所以 面 ，则 ，
连接 并延长交 于 ，
连接 ，可得 ， ，
所以 面 ，
所以面 面 ，过 作 ，
因为面 面 ，GH¿面 ，
所以 面 .
取 的中点为 ，由题意知 是 的中点.
所以 ，所以 为所求线面角
在 中， ， ，
所以 ..................................................10分（3）因为 ，设 ，过 作 .
因为 ，可得 平面 ，
所以平面 平面 ，所以PN¿平面 ，
可得 ， ，
过 作 ，连接 ，
易得NF¿BC可得 为所求夹角.
在 中， ， ，
所以 ，
，
所以 ，解得 ，
所以平面 与平面 夹角正切的最大值 ................17分
