文档内容
西北狼教育联盟 2024 年秋季开学学业调研
高一数学试题
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答：
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回.
参考公式：抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为 .
一､选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号
为A､B､C､D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应
的方框涂黑.
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，可得答案．
【详解】解： ，
故选：B．
2. 下列图形中属于轴对称图形的是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由轴对称图形的定义，逐一判断，即可得到结果.
【详解】A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故选：D
3. 若反比例函数 的图象经过点 ，则 的值是（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把点 代入反比例函数 中，可求得 的值．
【详解】 反比例函数 的图象经过点 ，
，
解得 ，
故选：D．
4. 如图，两条平行线 被第三条直线 所截，若 ，则 的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两条平行线被第三条直线所截同位角相等，对顶角相等即可判断
【详解】根据两条平行线 被第三条直线 所截同位角相等，所以 ，
再根据对等角相等可知 ，所以 .
故选：A
5. 如图， 与 关于点 位似，位似比为3：4，已知 ，则 的长等于（ ）
A. 3 B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用位似比计算即可；
【详解】因为 与 关于点 位似，位似比为3：4，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
又 ，
所以 ，
故选：D.
6. 如图是用◆摆放而成的图案，其中第①个图中有2个◆，第②个图中有 个◆，第③个图中有10个◆，
第④个图中有 个◆，……按此规律排列下去，则第⑦个图案中◆的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设第 个图中有 个◆，利用题设所给条件，找出后项与前项的规律
，即可求出结果.
【详解】设第 个图中有 个◆，
由题有 ， ， ， ，
按此规律有 ，所以 ， ，
，
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司7. 估计 的值在（ ）
A. 9和10之间 B. 10和11之间
C. 11和12之间 D. 12和13之间
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法解答即可得.
【详解】 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 的值在 和 之间．
故选：B．
8. 如图，在 中， ，以点 为圆心， 为半径画弧与 交于点 ，
以点 为圆心，以 为半径画弧与 交于点 .若 ，则图中阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接 ，证明出 为等边三角形，再利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可.
【详解】如图， 连接 ，
在 中， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
是等边三角形， ，
.
故选：C.
9. 如图，在正方形 中，点 分别是 和 边的中点，连接 交于点 ，连接 和
，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长 交于 ，证明 ，可得 ，再证
，可知 为 斜边上的中线，可得 ，结合
运算求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【
详解】延长 交于 ，如图：
因为四边形 是正方形，则 ，
又因为 是 中点，则 ，
可得 ，则 ，
因为 ，即 ，
可得 ，
且 ，
可得 ，则 ，即 ，
可知 为 斜边上的中线，则 ，可得 ，
因为 ，则 ，
所以 .
故选：A．
10. 已知两个整式 ，用整式 与整式 求和后得到整式 ，称为第一次操作；
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学科网（北京）股份有限公司将第一次操作的结果 加上 结果记为 ，称为第二次操作；将第二次操作的结果 加上
，结果记为 ，称为第三次操作；将第三次操作的结果 ，加上 ，结果记为 ，称
为第四次操作，…，以此类推.以下四个说法正确的个数是（ ）
①当 时，则第5次操作的结果 ；
②当 时，则有 ；
③ ；
④当 时， .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分别求得 ，得到第 次操作为 ，结合
选项，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，由 ，
，
，
，
当 时，可得 ，所以①正确；
对于②中，由①归纳可得，第 次操作的结果为 ，
所以 ，
当 时，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以②正确；
对于③中，由 ，
可得 ，所以③正确；
对于④中，当 时，可得 ，
所以 ，
则 ，所以
，所以④正确.
故选：D.
二､填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡
中对应的横线上
11. 计算： ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式和一个数的 次幂即为该数字的倒数，即可求解.
【详解】原式= = .
故答案为：
12. 如果一个多边形的每一个外角都是 ，那么这个多边形的边数为__________.
【答案】8
【解析】
【分析】 边形外角和 ，已知外角度数相等，则多边形为正多边形，外角度数和除以每一个角度数
即可得到边的数量.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
故答案为：8
13. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从 四
个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式进行求解即可.
【详解】甲、乙选择的景点可能为：
共16种可能；
甲、乙两人恰好选择同一景点的可能为 共4种可能；
因此甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为 .
故答案为： .
14. 重庆在低空经济领域实现了新的突破，某低空飞行航线今年第一季度安全运行了100架次，预计第三
季度安全运行将达到400架次.该低空飞行航线这两季度安全运行架次的平均增长率是______.
【答案】 ##1
【解析】
【分析】设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为 ，则第二季度低空飞行航线安全运行了
架次，第三季度低空飞行航线安全运行了 架次，据此列出方程运算即可．
【详解】设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为 ，
由题意得， ，解得x=1（舍负），
所以第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为 .
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司15. 如图，在 中，点 分别是 的中点， 与 相交于点 ，若 ，则 的
长是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据中位线、平行线的知识求得正确答案.
【详解】由于点 分别是 的中点，
所以 ,
所以 ，
所以 .
故答案为：
16. 若关于 的一元一次不等式组 至少有3个整数解，且关于 的分式方程
有非负整数解，则所有满足条件的整数 的值的和是______.
【答案】
【解析】
【分析】先化简一元一次不等式组和分式方程，根据题中限制条件求出参数 的值即得结果.
【详解】化简不等式组 可得： ，即 ，
由于至少有3个整数解，可得： ，解得： .
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学科网（北京）股份有限公司化简分式方程可得： ，
由于分式方程有非负整数解，可得： ，
解得： 且 .
综上， 且 .
的
故满足条件 整数 的值有： ， ， ， ， ，0，1，2，3，4共10个，
和为 .
共答案为： .
17. 如图，已知 ，角的一边与 相切于 点，另一边交 于 两点， 于 ，
的半径为 ，则 __________， __________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据条件，利用垂径定理，即可求出 ，作 交 于 ，连接 ，
作 于点 ，利用几何关系求出 ，即可求解.
【详解】因为 的半径为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
如图，作 交 于 ，连接 ，作 于点 ，
则 ，所以 为等腰直角三角形，
因为 为切线，所以 ，得到 ，所以 ，
由 ，知 ，得到 ，
所以 ，得到 ，
故答案为： ， .
18. 若一个四位自然数 ，它的各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为
8，则称 为“启明数”.把启明数 的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数 .规定
.例如： 是“启明数”.则
.若“启明数” ，则 ______.已知四位自然数 是“启
明数”，（ ，且 均为正整数），若 恰好能被7整除，则满足条件的数 的最大
值是______.
【答案】 ①. 12 ②. 3253
【解析】
【分析】根据题目的对启明数的定义求解第一空.根据题目对启明数的定义，求出 具体的表达式，然
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学科网（北京）股份有限公司后根据题目的 ，结合能被7整除的数字的特点求出数 的最大值.
【详解】第一空： ， 则
第二空：
因为 ，且 均为正整数，所以当 恰好能被7整除时，
此时为了使 取最大值，又
当 时， 不成立，
当 可以被 整除.故 为：
故答案为：12，3253.
三､解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必
须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在
答题卡中对应的位置上.
19. 计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据完全平方式的展开式计算即可；
（2）根据完全平方式逆运用计算即可.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
20. 随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注.某 店为了解车主对甲､乙两
款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲､乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆
的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理､描述和分析（评分用 表示，共分为三组：
），下面给出了部分信息：
甲款电动汽车10名车主的评分是： .
乙款电动汽车10名车主的评分在 组的数据是： .
抽取的甲､乙两款电动汽车车主的评分统计表
车型 平均数 中位数 众数
甲 83 80
乙 83 85
抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图
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学科网（北京）股份有限公司根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 __________， __________， __________；
（2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即
可）；
（3）该 店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人.若评分不低于90分为“非常满
意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？
【答案】（1）80， ，30
（2）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由见解析
（3）200人
【解析】
【分析】（1）从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，得出众数；乙款电动汽车车主的评分扇形统计图
中A组占，所以A组有两个最大的数据，同时B组的数据有5个是：85，85，85，80，80，所以最中间的
数为85，80，C组数据有3个；
（2）从平均数、中位数、众数的角度去分析即可；
（3）甲款电动汽车的车主“非常满意”的占比为 ，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为 ，求
出对甲 、乙“非常满意”的人数即可．
【小问1详解】
从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，80出现的次数最多，故众数为80，
即 ，
乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占 ，B组占 ，
C组占 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以A组有两个最大的数据，同时B组的数据有5个是：85，85，85，80，80，
所以最中间的数为85，80，
所以中位数为 ，
即 ，
故答案为：80， ，30;
【小问2详解】
乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由如下：
甲款和乙款的平均数相等，但乙款的众数和中位数都比甲款的大，
所以乙款的满意度更好；
【小问3详解】
甲款电动汽车的车主“非常满意”的有两人，占比为 ，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为 ，
所以满足题意的总人数为： （人）．
21. 小南在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边
形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，如果这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，
则可论证该平行四边形是矩形.
（1）用直尺和圆规，作射线 平分 交 于点 ；
（2）已知：如图，在平行四边形 中， 平分 交 于点 平分 交 于点
，且 .求证：平行四边形 是矩形.
证明： 分别平分 ，
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学科网（北京）股份有限公司四边形 为平行四边形，
__________①，
，
__________②，
，
，
在 和 中
__________③.
平行四边形 是矩形.
小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立.因此，小南得
出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻
内角的顶点到对应交点的距离相等，则_ _________④.
【答案】（1）答案见解析
（2）① ；② ；③ ；④平行四边形是矩形
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1） 为圆心， 为半径，通过正方形对角线即可求解；
（2）通过证明 .得到 再结合 即可求证.
【小问1详解】
以 为圆心， 为半径画圆，交 于 ，连接 即可.
【小问2详解】
证明： 分别平分 ，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
，
在 和 中
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学科网（北京）股份有限公司.
平行四边形 是矩形.
小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立.因此，小南得
出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻
内角的顶点到对应交点的距离相等，则平行四边形是矩形.
22. 某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成.为了快速完成
生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单
的生产任务.假设每名工人的工作效率相同.
（1）前3天应先安排多少名工人生产？
（2）增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3
个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生
产A型配件和B型配件的工人各多少名？
【答案】（1）15 （2）安排生产A型配件的工人13名，生产B型配件的工人8名
【解析】
【分析】（1）设前3天应先安排x名工人生产，每名工人的工作效率为a，根据这批订单的生产任务量列
出关于x的一元一次方程求解即可；
（2）设安排y名工人生产A型配件，安排 名工人生产B型配件，根据每天生产A型配件和B
型配件刚好配套，列一元一次方程，求解即可.
【小问1详解】
设前3天应先安排x名工人生产，每名工人的工作效率为a，
根据题意得 ，即 ，解得 ，
故前3天应先安排15名工人生产；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司设应安排y名工人生产A型配件，则安排 名工人生产B型配件，
由题意得 ，解得 ，则 ，
所以应安排生产A型配件的工人13名，生产B型配件的工人8名.
23. 如图1， 中， 在线段 上，且 .动点 从点 出
发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线 运动.动点 从点 出发，以每秒1.5个单位长度的
速度沿折线 运动，点 同时从点 出发，当点 运动到点 时，两点同时停止运动.设点
的运动时间为 秒，点 的距离为 .
（1）请直接写出 关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围；
（2）若函数 ，请在图2的平面直角坐标系中分别画出函数 的图象，并根据图象写出
函数 的一条性质；
的
（3）根据函数图象，直接估计当 时 取值（结果保留1位小数，误差不超过0.2）.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）答案见解析 （3） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意，分两种情况分析当 时，当 时，写出分段函数解析式即可；
（2）描点画出两个函数图象即可；
（3）根据两个函数图象的交点，直接估计当 时 的取值即可．
【小问1详解】
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，即当点 运动到点 时，点 运动到点 ，
当 时， ，
当 时， ， ，
， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，整理得： ，
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学科网（北京）股份有限公司综上分析， 关于 的函数表达式为 ；
【小问2详解】
函数 的性质：当 时， 随 增大而增大，
当 时， 随 的增大而减小；
【小问3详解】
由图象可知，当 时， 或 .
24. 六一儿童节快到了，阳光大草坪举行露营活动，如图为草坪的平面示意图.入口在点 ，露营基地在点
.经勘测，入口 在点 的正北方向，点 在入口 的南偏东 方向 处，且在点 的正东方向，
点 在点 的东北方向，点 在点 的北偏东 方向 处，且在点 的正南方向.（参考数据
）
（1）求 的长度（结果保留根号）；
（2）小聪从入口A处进入前往露营基地点 .小聪可以选择鹅卵石步道① ，步行速度为50
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学科网（北京）股份有限公司米/分，也可以选择塑胶步道② ，步行速度为60米/分，请通过计算说明他选择哪一条步道
所用时间较少？请通过计算说明.
【答案】（1）
（2）塑胶步道②用时较少
【解析】
【分析】（1）根据题意，分别求得 ，即可得到 ，从而得到 ，再由 ，即可
得到结果；
（2）根据题意，分别求得步道①，步道②的长度，然后求得所用时间，比较大小，即可得到结果.
【小问1详解】
在 中，因为 ， ，所以 ，
在 中，因为 ，所以 ，
，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
.
【小问2详解】
因为 ， ，
则选择鹅卵石步道① 的长度为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以选择鹅卵石步道① 的时间为 分，
选择塑胶步道② 的长度为
，
所以选择塑胶步道② 的时间为 分，
，
所以选择塑胶步道② 所用的时间较少.
25. 在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在直线 下方的抛物线上有一点 ，作 轴交 于点 ，作 于 ，
求 的最大值及此时点 的坐标；
（3）如图2，将抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，在 轴的正
半轴上有一点 ，在新抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，直接写出点 的横
坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司（3）存在，理由见解析； 点的横坐标为 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解；
（ 2 ） 如 图 ， 根 据 直 角 三 角 形 的 三 角 函 数 得 ， 设 ， 则
，结合二次函数的性质即可求解；
（3）根据函数图象的平移变换可得 ，如图，则 ，设 ，则 ，解
出m即可.
【小问1详解】
将点 代入 ，
得 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
延长 交 于点 ，由 轴，得 ，
当 时， ，即 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
由 ，得 ，即 .
设直线 的解析式为 ，则 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 的解析式为 ；
设直线 的解析式为 ，则 ，解得 ，
所以直线 的解析式为 .
设 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
当 时， 有最大值 ，此时 ；
【小问3详解】
存在点 ，使得 .理由如下：
因为抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度，
所以抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，则 ，
在 上取一点 ，使得 ，过 作 于 ，过 作 轴于 ，
所以 ，又 ，
所以 为等腰三角形，故 ，则 ，
在 中，由等面积可得 ，得 ，
所以 ，则 ，
由题设 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司设 且m>0，则 ，解得 或 （舍）
点关于 轴对称的点 ，则 ，此时 的横坐标为 .
综上， 点的横坐标为 或 .
【点睛】关键点点睛：解答第（3）问 关键是通过函数图象的平移变换得出 ，结合图形，构
的
造等腰三角形 ，设 ，根据 建立方程 ，即
可求解.
26. 在 中， 为直线 上一动点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接
与 相交于点 .
（1）如图1，若 为 的中点， ，连接 ，求线段 的长；
（2）如图2， 是线段 延长线上一点， 在线段 上，连接 ，若 ，
，证明 ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）如图3，若 为等边三角形， ，点 为线段 上一点，且 ，点 是
直线 上的动点，连接 ，请直接写出当 最小时 的面积.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
在
【分析】（1）作 ，交 于 ，先证明 ，从而得到 ，然后
中用勾股定理求解即可；
（2）由旋转可知 为等腰直角三角形，先证 ≌ ，从而可得 ，
，作 ，交 延长线于H，连接HG，利用平行四边形性质即可证明；
（3）作 ，交 于H，则 ，将BC绕点B逆时针旋转 ，先证
≌ ，则有 ，作点M关于BC的对称点N，连接 ，由对称得
，从而 在同一直线时 最小，利用平面几何知识求出 的底和
高即可求解面积.
【小问1详解】
因为 为 的中点， ，
所以 ，由勾股定理得 ，
作 ，交 于 ，如图
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学科网（北京）股份有限公司由题意可知， ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，则 ，
由勾股定理得 ；
【小问2详解】
由旋转可知， 为等腰直角三角形，
所以 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
在 和 中， ，所以 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，又因为 ，又 ，
所以 ，所以 ，
作 ，交 延长线于H，连接HG，如图，
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学科网（北京）股份有限公司所以 为等腰直角三角形，所以 ，
因为 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，即 ，所以 ；
【小问3详解】
作 ，交 于H，因为 为等边三角形，
所以 ， 平分 ，则 ，
将BC绕点B逆时针旋转 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以 ，作点M关于BC的对称点N，连接 ，
如图，
由对称易知， ， ， ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 最小时，即 最小，也即 在同一直线，且 ，如图，
作 ，交 于T，则 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，所以四边形 为矩形，
则 ， ，即 ，
由轴对称可知 ，所以 为等边三角形，则 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，得 ，
因为 ，所以QH为NE与AC之间的距离，所以 ，
即 的高为 ，所以 ，
所以 .
第32页/共32页
学科网（北京）股份有限公司
