第29套：未知数杯数学模拟测试试题(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套_未知数杯数学模拟测试试题

“未知数杯”数学模拟测试 数 学 命题人：周楚凡 审题人：马雨洛 注意事项： 1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．哥德巴赫猜想是“每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在 不大于 10 的素数中，选两个不同的数，和为素数的概率为 A． 1 B． 2 C． 1 D． 1 4 3 3 2 2．数列a 的前 n 项和为S ，满足S a 1024，则数列a 的前 n 项积的最大值 n n n n n 为 A．255 B．245 C．29 D． 210 3．圆心为(1,3)，且与直线 x y20相切的圆的半径为 A． 2 B．2 C．8 D．2 2 4．已知数列a 为等差数列，且a a a 4π，则sina  n 1 7 13 7 1 1 3 3 A． B． C． D． 2 2 2 2 5．已知二次函数 f(x)，对任意的 xR，有 f(2x)2f(x)，则 f(x)的图象可能是 A． B． C． D． 数学试题 第 1 页 共 6 页6．如图是某两位体育爱好者的运动素养测评图，其中每项能力分为三个等级，“一 般”记为 4 分，“较强”记为 5 分，“很强”记为 6 分，把分值称为能力指标，则 下列判断不正确的是 A．甲、乙的五项能力指标的平均值相同 B．甲、乙的五项能力指标的方差相同 C．如果从长跑、马术、游泳考虑，甲的运动素养高于乙 D．如果从足球、长跑、篮球考虑，甲的运动素养高于乙 7．一个二元码是由0和1组成的数字串 xx x （nN），其中 x （k 1，2，， 1 2 n k n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错 误（即码元由0变为1，或者由1变为0）.已知某种二元码 xx x 的码元满足如下校 1 2 7 x x x x 0  4 5 6 7 验方程组：x x x x 0，其中运算定义为：000，011，101，110. 2 3 6 7  x x x x 0 1 3 5 7 已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1100001，那么 用上述校验方程组可判断k等于 A．4 B．5 C．6 D．7 8．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等. 构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图 1）放置在同一平 面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥 后得到一新几何体（如图 2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得 所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆 x2 y2  1绕 y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图 3），类比上述方法，运用 16 36 祖暅原理可求得其体积等于 A．64π B．148 C．128 D．32 数学试题 第 2 页 共 6 页二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得 O 分。 9．意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍 珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的两端， 使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线 x 问题”．后人给出了悬链线的函数解析式： f xacosh ，其中a为曲线顶点到 a exex 横坐标轴的距离， coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为coshx ，相应 2 ex ex 地，双曲正弦函数的表达式为sinhx ．若直线 xm与双曲余弦函数C 双曲正 2 1 弦函数C 的图象分别相交于点A，B，曲线C 在点A处的切线l 与曲线C 在点B处 2 1 1 2 的切线l 相交于点 P，则下列结论正确的为 2 A．coshxycoshxcoshysinhxsinhy B． ysinhxcoshx是偶函数 C．(coshx)' sinhx D．若△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则实数m0 10．平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它 的画法是这样的：正方形 ABCD 的边长为 4，取正方形 ABCD 各边的四等分点 E，F， G，H 作第二个正方形，然后再取正方形 EFGH 各边的四等分点 M，N，P，Q 作第 三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形 ABCD 边 长为a ，后续各正方形边长依次为a ，a ，…，a ，…；如图（2）阴影部分，设直 1 2 3 n 角三角形 AEH 面积为b ，后续各直角三角形面积依次为b ，b ，…，b ，…．则 1 2 3 n 数学试题 第 3 页 共 6 页A．数列a 是以 4 为首项， 10 为公比的等比数列 n 4 B．从正方形 ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为 32 1 C．使得不等式b  成立的n的最大值为 3 n 2 D．数列b 的前n项和S 4 n n 11．1872 年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无 理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束 了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与 N ，且满足M N Q，M N ， M 中的每一个元 素都小于 N 中的每一个元素，则称M,N为戴德金分割．试判断下列选项中，可能 成立的是 A．M   xQ x0  ， N  xQ x0  满足戴德金分割 B． M 没有最大元素， N 有一个最小元素 C． M 有一个最大元素， N 有一个最小元素 D． M 没有最大元素， N 也没有最小元素 三、填空题：本大题3小题，每小题5分，共15分。 12．有些在平面几何中成立的结论到了立体几何中不再成立，比如：“垂直于同一 条直线的两条直线平行”；有些在平面几何中成立的结论到了立体几何中依然成立， 比如：“平行于同一条直线的两条直线平行”.请你写出满足下列条件的命题各一个 在平面几何中成立而在立体几何中不成立的命题： ；既在平面几何中成立又在 立体几何中成立的命题： . n  1 13．在二项式 x  的展开式中恰好第 3 项的二项式系数最大，则展开式中的常数  x 项是 . 3 4 5 6 14．已知数列a 为 ， ， ， ，L，则该数列的一个通项公式可以是 ． n 2 3 4 5 数学试题 第 4 页 共 6 页四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分） 已知直线 x y30与抛物线C: y2 8x 相交于 A，B 两点． (1)求弦长 AB 及线段 AB的中点坐标； (2)试判断以 AB为直径的圆是否经过坐标原点 O？并说明理由． 16．（15 分） 如图，在五面体 ABCDE 中，BE 平面 ABC， AD BE ， AD2BE ， ABBC ． (1)求证：平面CDE平面 ACD； (2)若 AB 3， AC2，五面体 ABCDE 的体积 为 2，求平面 CDE 与平面 ABED 所成角的余弦值． 17．（15 分） 设函数 f xx3ax2bxc 的导数 fx满足 f10， f29. (1)求 f x的单调区间； (2) f x在区间2,2上的最大值为20，求c的值. (3)若函数 f x的图象与 x轴有三个交点，求c的范围. 18．（17 分） 在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成 对出现例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A使之开红花，a使之开白花，两个因 子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状： AA为开红花， Aa和aA一样不加区分 为开粉色花，aa为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都 包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产 1 生的，每一个上一代的遗传因子以 的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是 2 相互独立的．可以把第n代的遗传设想为第n次实验的结果，每一次实验就如同抛一 枚均匀的硬币，比如对具有性状 Aa的父系来说，如果抛出正面就选择因子A，如果 1 抛出反面就选择因子a，概率都是 ，对母系也一样．父系､母系各自随机选择得到 2 数学试题 第 5 页 共 6 页的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状 AA，Aa(或aA)，aa在 父系和母系中以同样的比例：u:v:w(uvw1)出现，则在随机杂交实验中，遗传 v v 因子A被选中的概率是 pu ，遗传因子a被选中的概率是qw ．称 p，q分 2 2 别为父系和母系中遗传因子A和a的频率，p:q实际上是父系和母系中两个遗传因子 的个数之比．基于以上常识回答以下问题： （1）如果植物的上一代父系､母系的遗传性状都是 Aa，后代遗传性状为 AA，Aa(或 aA)，aa的概率各是多少？ （2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa具有重大缺陷，可人工剔除，从 而使得父系和母系中仅有遗传性状为 AA和 Aa(或aA)的个体，在进行第一代杂交实 验时，假设遗传因子A被选中的概率为 p，a被选中的概率为q， pq1．求杂交 所得子代的三种遗传性状 AA， Aa(或aA)，aa所占的比例u,v ,w ． 1 1 1 （3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为aa的个体 假设得到的第n代总体中 3 种遗传性状 AA， Aa(或aA)，aa所占比例分别为 u ,v ,w u v w 1．设第n代遗传因子A和a的频率分别为 p 和q ，已知有以下 n n n n n n n n v v u  n n  1  公式 n 2 2 ．证明 是等差数列． p n  1w ,q n  1w ,n1,2, q n  n n （4）求u ,v ,w 的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行 n n n 下去，会有什么现象发生？ 19．（17 分） 若一个三角形的边长与面积都是整数，则称为“海伦三角形”；三边长互质的海伦 三角形，称为“本原海伦三角形”；边长都不是 3 的倍数的本原海伦三角形，称为 “奇异三角形”. （1）求奇异三角形的最小边长的最小值； （2）求证：等腰的奇异三角形有无数个； （3）问：非等腰的奇异三角形有多少个？ 数学试题 第 6 页 共 6 页