第29套：未知数杯数学模拟测试详解(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套_未知数杯数学模拟测试试题

“未知数杯”数学模拟测试 数学试题详解 1．【答案】C 【分析】求出不大于 10 的所有素数，再利用列举法求出古典概率即得. 【详解】不大于 10 的素数有 2，3，5，7， 从中任取两个数的试验的样本空间Ω2,3,2,5,2,7,3,5,3,7,5,7 ，共 6 个样 本点， 其中和为素数的样本点 2 个， 所以和为偶数的概率为 . 1 故选：C 3 2．【答案】B 【分析】根据给定的递推公式求出a ，进而求出数列a 通项，借助单调性求解即 1 n 得. 【详解】依题意，nN，S a 1024，则a 512，当n2时，S a 1024， n n 1 n1 n1 两式相减得2a a ，即a  1 a ，因此数列a 是以 512 为首项， 1 为公比的等 n n1 n 2 n1 n 2 比数列， 1 于是a 512( )n1210n ，显然数列a 单调递减，当n10时，a 1，当n11，a 1， n 2 n n n 所以当n9或n10时，数列a 的前 n 项积最大，最大值为 n 29282722220 245. 故选：B 3．【答案】A 【分析】根据题意，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆心为(1,3)，且与直线 x y20相切， 132 则圆的半径为rd   2. 12(1)2 故选：A. 4．【答案】D 数学试题详解 第 1 页 共 13 页【分析】根据等差数列的性质求得a ，进一步计算即可. 7 【详解】因为数列a 为等差数列， n 则a a a 3a  4π ， 1 7 13 7 4π 所以a  ， 7 3 4π 3 则sina sin  ， 7 3 2 故选：D. 5．【答案】A 【分析】令 f(2x)2f(x)中 x0，则 f(0)0，排除 C，D；又由 f(2x)2f(x)可得c2ax2 任意的 xR恒成立，则c0，2a0，排除 B，即可得出答案. 【详解】因为对任意的 xR，有 f(2x)2f(x)，令 x0，则 f(0)2f(0)， 所以 f(0)0，排除 C，D；即 f 0c0， 设二次函数 f(x)ax2bxca0， 所以 f(2x)4ax22bxc，2f(x)2ax2 2bx2c， 由 f(2x)2f(x)可得4ax22bxc2ax22bx2c，则2ax2c0， 所以c2ax2任意的 xR恒成立，则c0，2a0，故排除 B. 故选：A. 6．【答案】D 【分析】由运动素养测评图可以求得平均值以及方差，通过识图可判断甲乙运动素 养的高低. 64545 【详解】由图可知：甲的平均值为 4.8， 5 65454 乙的平均值为 4.8，A 正确； 5 1 甲的方差为s2 = (6-4.8)2+(4-4.8)2+ (5-4.8)2+ (4-4.8)2+ (5-4.8 )2 =0.56 ， 1 5 1 乙的方差为s2 = (6-4.8)2+(5-4.8)2+ (4-4.8)2+ (5-4.8)2+ (4-4.8 )2 =0.56 ， 2 5 B 正确； 从长跑、马术、游泳考虑，甲三方面的分值和为54514，乙三方面的分值和为 45413，乙小于甲，C 正确； 从足球、长跑、篮球考虑，甲三方面的分值和为65415，乙三方面的分值和为 64515 ，乙与甲相同，D 错误. 数学试题详解 第 2 页 共 13 页故选：D 7．【答案】A 【分析】 根据校验方程组分别判断各位码元的正误. 【详解】 由已知得 x x x x 000110，故 x，x，x，x 至少错误一个， 4 5 6 7 4 5 6 7 又 x x x x 10010，正确，故 x，x，x，x 均正确， 2 3 6 7 2 3 6 7 x x x x 10010，正确，故 x，x，x，x 均正确， 1 3 5 7 1 3 5 7 综上所述， x 错误， 4 故选：A. 8．【答案】C 【分析】 由类比推理可知所求几何体体积为在底面半径 R4，高h6的圆柱内，挖出一个以 该圆柱下底面圆心为顶点，上底面为底面的圆锥后，得到的新的几何体体积的2倍， 借助圆锥和圆柱体积公式可求得结果. 【详解】 类比推理可知：若在底面半径R4，高h6的圆柱内，挖出一个以该圆柱下底面圆 心为顶点，上底面为底面的圆锥后，得到一新的几何体，则新几何体与所求橄榄状 几何体的一半的体积相等.  1  4 4 所求体积V 2R2h R2h R2h 166128 .  3  3 3 故选：C. 9．【答案】ACD 【分析】 根据双曲余弦函数、双曲正弦函数的表达式可判断 A 的正确，根据奇函数的定义可 判断 B 的正误，根据导数的计算公式可判断 C 的正误，利用导数的几何意义可判断 数学试题详解 第 3 页 共 13 页D 的正误. 【详解】 exex ey ey exex ey ey exy exy coshxcoshysinhxsinhy     cos(xy)， 2 2 2 2 2 A 正确； e2xe2x e2x e2x e2x e2x ysinhxcoshx ，记 g(x) ，则g(x) g(x)， 4 4 4 g(x)为奇函数，即 ysinhxcoshx是奇函数，B 错误； ex ex  exex    sinhx，C 正确；    2  2 ex ex exex 因为 ABx轴，设Sx ，则Sx ， 2 2 所以若△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则k 0， PA emem 由k Sm 0，解得m0，D正确． PA 2 故选：ACD． 10．【答案】ACD 【分析】根据题意，a ，b 都是等比数列，从而可求a ，b 的通项公式，再 n n n n 对选项逐个判断即可得到答案． 2 2 a  3a  5 【详解】对于 A 选项，由题意知，a n 2 1   4 n     4 n    8 a n 2且a n 0， 10 所以a  a ，又因为a 4， n1 4 n 1 所以数列a 是以4为首项， 10 为公比的等比数列，故 A 正确； n 4 n1  10 5 对于 B 选项，由上知，a 4  ，a 4，a  10，a  ， n   4   1 2 3 2 2  2 5 129 所以a2a2a2  42 10     ，故 B 错误； 1 2 3 2 4 1 a 3a 3a2 3   10  n1 2 3 5  n1 对于 C 选项，b n  2  4 n 4 n  32 n  32     4    4        2   8   ， 2 3 易知b n 是单调递减数列，且b 3  3 2    8 5    1 7 2 5 8  1 2 ，b 4  3 2    8 5    1 3 0 7 2 5 4  1 2 ， 数学试题详解 第 4 页 共 13 页1 故使得不等式b  成立的的最大值为3，故 C 正确； n 2 3 5 n 1   对于 D 选项，因为 S  2 8   4  1   5  n  ，且nN*， n 1 5  8  8 n 5 所以01  1，所以S n 4，故 D 正确； 8 故选：ACD． 11．【答案】BD 【分析】根据集合的定义和题目要求，分析各选项即可. 【详解】对于选项 A，因为M   xQ x0  ，N  xQ x0  ，M N  xQ x0 Q， 故 A 错误； 对于选项 B，设M  xQ x0  ， N  xQ x0  ，满足戴德金分割，则 M 中没有 最大元素，N 有一个最小元素 0，故 B 正确； 对于选项 C，若M 有一个最大元素m， N 有一个最小元素n，若mn，一定存在 k(m,n)使M N Q不成立；若mn，则M N 不成立，故 C 错误；     对于选项 D，设M  xQ x 2 ，N  xQ x 2 ，满足戴德金分割，此时M 没 有最大元素， N 也没有最小元素，故 D 正确． 故选:BD． 12．【答案】垂直于同一条直线的两条直线平行（答案不唯一）；平行于同一条直线 的两条直线平行.（答案不唯一） 【分析】 根据平面几何和立体几何中线线、线面位置关系的相关理论直接得到结果即可. 【详解】 在平面几何中，垂直于同一条直线的两条直线平行；在立体几何中，垂直于同一条 直线的两条直线可能平行、相交或异面； 则在平面几何中成立而在立体几何中不成立的命题为：垂直于同一条直线的两条直 线平行. 在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线平行；在立体几何中，平行于同一条 直线的两条直线平行； 则在平面几何中成立又在立体几何中成立的命题为：平行于同一条直线的两条直线 平行. 数学试题详解 第 5 页 共 13 页故答案为：垂直于同一条直线的两条直线平行（答案不唯一）；平行于同一条直线的 两条直线平行.（答案不唯一）. 13．【答案】6 【分析】 由已知，根据二项式定理可得n4,再利用二项展开式的通项公式即可求解 【详解】 由已知，展开式中恰好第 3 项的二项式系数最大可知，n4. 根据二项式定理设第r1项是常数项， r 则：T r1 C n ranrbr=C 4 rx4r     1 x    C 4 r 1r x 42r , 令42r0,解得r 2,所以常数项是T C212 =6 3 4 故答案为：6 n2 14．【答案】a  （答案不唯一） n n1 【分析】分析数列a 前 4 项的特征，求出前 4 项都满足的一个通项公式作答. n 3 12 4 22 5 32 6 42 【详解】依题意，  ,  ,  ,  ， 2 11 3 21 4 31 5 41 n2 所以前 4 项都满足的一个通项公式为a  . n n1 n2 故答案为：a  n n1 15．【答案】(1) AB 8 5 ，中点坐标为(7,4) (2)以 AB为直径的圆不经过坐标原点 O，理由见解析 【分析】（1）设出 A,B坐标，联立直线与抛物线方程得到横坐标的韦达定理形式， 根据弦长公式结合韦达定理可求 AB ，根据 x x ,y y 的值可求线段 AB的中点坐 1 2 1 2 标； （2）根据韦达定理计算出 xx y y 的值，然后可判断出结果. 1 2 1 2 【详解】（1）设 Ax,y ,Bx ,y ， 1 1 2 2 xy30 联立 ，消去 y 整理得 x214x90，且1424191600，  y2 8x 数学试题详解 第 6 页 共 13 页x x 14 所以 1 2 ，  xx 9 1 2 所以 AB  1k2  x x 24xx  2 19636 8 5， 1 2 1 2 又因为 x x 14,y y 3x 3x 8 ， 1 2 1 2 1 2 所以线段 AB的中点坐标为7,4． （2）以 AB为直径的圆不经过坐标原点 O．   因为OAOB xx y y xx 3x 3x  2xx 3x x 915 0 ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 所以OA与OB不垂直， 故以 AB为直径的圆不经过坐标原点 O． 16．【答案】(1)证明见解析 3 (2) 3 【分析】（1）利用中位线定理证明线线平行，得到平行四边形，进而根据线面垂直 的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面CDE与平面 ABED的 法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）取 AC 中点 M，连接 BM，∵ABBC ，∴BM  AC， 又∵AD平面 ABC，BM平面 ABC，∴ ADBM ， 又 ACAD A ， AC,AD平面 ACD， ∴BM 平面 ACD，取 CD 中点 F，连接 MF，EF， 数学试题详解 第 7 页 共 13 页1 1 1 1 ∴MF// AD且MF  AD，又∵BE// AD 且 BE  AD， 2 2 2 2 ∴MF//BE且MF BE ， ∴四边形 BMFE 为平行四边形，∴EF∥BM ． ∴EF平面 ACD，又∵EF 平面 CDE，∴平面CDE平面 ACD． 1 1 2 6 （2）过点C作CQ AB，则S  2 2   3CQCQ ． ABC 2 2 3 1 设BEx，∴ AD2x，V  S CQ 五面体ABCDE 3 梯形ABED 1 (x2x) 3 2 6     2 x1． 3 2 3 由（1）可知MB,MF,MC两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 如图，∴C(0,1,0),D(0,1,2),E( 2,0,1),A(0,1,0),B( 2,0,0)，    CD(0,2,2),DE ( 2,1,1),AD(0,0,2)．   设平面 CDE 与平面 ABED 的一个法向量分别为n x,y,z ,n x ,y ,z ， 1 1 1 1 2 2 2 2    n CD0  2y 2z 0  ∴ 1   1 1  n  0,1,1， n 1 DE 0  2x 1 y 1 z 1 0 1    n DE 0  2x y z 0     2   2 2 2  n  1, 2,0 ， n 2 AD0  2z 2 0 2 设平面CDE与平面 ABED所成角为θ， 数学试题详解 第 8 页 共 13 页  n n 1 2 2 3 3 ∴cos     ，即平面CDE与平面 ABED所成角的余弦值为 . n n 2 3 3 3 1 2 17．【答案】(1)递增区间为1,3，递减区间为,1，3, (2)2 (3) 27,5 【分析】 （1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出a，b的值，结合函数单调性和 导数之间的关系即可求 f x的单调区间； （2）利用导数求出函数 f x在区间2,2上的最大值，建立方程关系即可求c的值. （3）根据 f x的单调性求得极值，令极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可 求c的范围. (1) 由 f xx3ax2bxc 可得 fx3x22axb， 因为 f10， f29， 32ab0 所以 ，解得：a3，b9， 124ab9 所以 f xx33x29xc， fx3x26x93  x22x3  ， 由 fx0即 x22x30可得：-1