文档内容
2025—2026 学年度第一学期期中教学质量检测
高二数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､座号､考生号､县区和科类填写到答
题卡和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按
以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线方程，判断直线倾斜角即可.
【详解】由题意可知直线 垂直于 轴，所以倾斜角为 .
故选：B.
2. 空间中，若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ）
A. B.
C. 或 D. 与 斜交
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据向量 与 的数量积为零，判断 ，再根据线面平行的判定定理可得， 或者
.
【详解】根据 和 得： ；
因为 ，可得 ，所以 ；
为平面 的法向量，所以 或者 .
故选：C.
3. 直线 与直线 平行，则 的值为（ ）
A. 6 B. C. 6或 D. 1或
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行的判定方法，列方程求解即得.
【详解】由题意，可得 ，解得 .
故选：B.
4. 甲､乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用
计算机模拟试验估计乙获胜的概率.用计算机产生 之间的随机数，当出现 或3时，表示此局乙
获胜，当出现其他数字时，表示此局甲获胜.以3个随机数为一组代表比赛三局的结果.根据以下产生的20
组随机数估计乙获胜的概率为（ ）
977 864 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 394 027 556 488 730 145 537 908
A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据古典概型概率公式 计算乙获胜的概率即可.
【详解】总共有 组样本数据，经统计当出现 或3时，表示此局乙获胜的数据共有7组，
则乙获胜的概率 .
故选：B
5. 若圆 与坐标轴的交点是一个等腰直角三角形的三个顶点，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的方程，分别令 ， ，求得A，B，C三个顶点的坐标即可求解.
【详解】由圆 ，
令 ，得 ，解得 或 ；
令 ，得 ，解得 或 ；
则不妨设 ，
结合题意可知等腰直角三角形的直角顶点A为原点，
则可得 ，解得 ，
故选：D
6. 在棱长为1的正四面体 中，点 为 的中点，点 在 上，且 ，则 为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】设 ，将题设中的 和 分别用 线性表示，再根据向量数量积
的运算律计算即得.
【详解】
如图，设 ，依题意 ，
连接 ，因
，
又 ，
则
.
故选：A.
7. 有3双不同颜色的手套，如果从中随机取出2只，取出的手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的
概率为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据古典概型概率计算公式，通过列举法，写出所有可能的情况，求出结果即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设3双不同颜色的手套分别为 ，其中左手为 ，右手为
，
则随机取出两个由15种不同的情况，分别为
，
符合条件的有6种情况，分别为 ，
则取出的2只手套一只是左手一只是右手的，但颜色不同的概率为 ；
故选：C.
8. 已知 三点，动点 满足 ，若 ，则线段 （ 为原
点）长度的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，由题分析可知点 为 的中点，得 ，根据 化简可得
，从而可知点 在以 为圆心， 为半径的圆上，再结合点到圆上点距离
最值求解.
【详解】设 ，由 ， ，得点 为 的中点，则 .
又 ， ，则 ， ，
因此 ，即
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学科网（北京）股份有限公司，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
线段 长度的最大值为 .
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚正面向上”，事件 “第二枚反面向上”，则（ ）
A.
B. 与 相互对立
C. 与 相互独立
D. 与 互斥
【答案】AC
【解析】
【分析】求出 可判断A；根据对立事件的定义可判断B；根据独立事件的定义可判断C；根
据互斥事件的定义可判断D.
【详解】掷两枚质地均匀的硬币，样本空间为：{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，
事件 “第一枚正面向上”，即{（正，正），（正，反）}
事件 “第二枚反面向上”，即{（正，反），（反，反）}，
则 ，得 ，故A正确；
由于事件A和事件B能同时发生，所以 与 不为互斥事件，也不为对立事件，故B、D错误；
事件 “第一枚正面向上且第二枚反面向上”，即{（正，反）}，
则 ，则 ，所以 与 相互独立，故C正确，
故选：AC.
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学科网（北京）股份有限公司10. 已知圆 ，圆 ，直线 .（ ）
A. 直线 过定点
B. 当 时，直线 被圆 截得的弦长为
C. 当 时，圆 与圆 有两个公共点
D. 当 时，过圆 上的点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则存在点 使四边形 为
正方形
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用直线过定点可判断A,利用垂径定理和勾股定理求弦长可判断B，利用两圆心距和半径可判断
C，利用圆上到点到定点的距离范围可判断D．
【详解】对于A，由直线 恒过定点 ,故A正确；
对于B，由原点到直线 的距离为 ，
所以直线 被圆 截得的弦长为 ，故B正确；
对于C，由圆 ，
所以圆 与圆 的圆心距为 ，
圆 与圆 的半径分别为 ，所以 ，
即两圆内切，只有一个公共点，故C错误；
对于D，圆 ，
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学科网（北京）股份有限公司假设存在点 使四边形 为正方形，则 ，
由此可得： ，
根据圆上动点 到原点的距离的取值范围是： ，
而 ，所以圆 上存在点 ，故D正确；
故选：ABD.
11. 四边形 为正方形， 平面 .（ ）
.
A 平面
B. 点 到 的距离为
C. 点 到平面 的距离为
D. 点 在线段 上（不含端点），则 与平面 所成角的正弦值的范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质、空间点到直线和点到面的距离公式、空间向量夹
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学科网（北京）股份有限公司角公式逐一判断即可.
【详解】因为四边形 为正方形， 平面 ，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，
.
A：设平面 的法向量为 ，
， ， ，
所以有 ，
显然 ，CE不在平面 内，所以 平面 ，因此本选项正确；
B： ， ，
于是 ，
所以点 到 的距离为 ，所以本选项不正确；
C：设平面 的法向量为 ，
， ， ，
所以有 ，
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学科网（北京）股份有限公司点 到平面 的距离为 ，
所以本选项说法正确；
D： ，设 ，
，
设 与平面 所成角为 ，
，
设 ， ，
二次函数 的对称轴为 ，
所以当 时，有 ，于是有 ，
于是有 ，所以本选项说法正确，
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知事件 与事件 相互独立， ，则 __________.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据事件 与事件 相互独立，由 求解可得.
【详解】因为事件 与事件 相互独立，且 ，
所以 ，
故答案 ：为
13. 以 和 轴上一点 为顶点的三角形的面积为5，则 的纵坐标为__________.
【答案】 或
【解析】
【分析】求出 ，根据 的面积为5，算出点P到 的距离d．求出 的方程，设点 ，
利用点到直线的距离公式解出m的值，即可得到答案．
【详解】∵点 ，∴ ，
设点P到 的距离为d，
∵ 的面积为5，∴ ，得 ，
∵直线 的方程为 ，即 ，
设P的坐标为 ，
∴ ，解得 或 ，
∴ 的纵坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
14. 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为梯形， ，且
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学科网（北京）股份有限公司是棱 的中点，设 平面 ，则 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理，以 为一组基底，分别表示 和 向量，再根据向量
与 共线的条件 求出参数 即可.
【详解】以 为一组基底，所以 ，
，由已知点 在平面 内，即 与 共面，
可设 ，又因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，由 与 共线，设 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程､演算步骤.、
15. 在某闯关游戏中，每位参赛者有两次闯关机会，如果第一次闯关成功，则获得奖品，且不再进行第二
次闯关；否则进行第二次闯关，第二次闯关成功则获得奖品，若两次都没成功则没有奖品.已知甲每次闯关
成功的概率都是0.8，乙每次闯关成功的概率都是0.5，假设甲､乙两人闯关互不影响，且每人每次闯关是否
成功相互独立.
（1）甲第二次闯关获得奖品的概率；
（2）乙获得奖品的概率；
（3）求甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）0.99
【解析】
【分析】（1）甲第二次闯关获得奖品意味着甲第一次闯关失败且第二次闯关成功．根据相互独立事件的
概率公式计算可得；
（2）乙获得奖品有两种情况：第一次闯关成功或者第一次闯关失败但第二次闯关成功．根据相互独立事
件及互斥事件的概率公式计算可得；
（3）“甲和乙两人中至少一人获得奖品”的对立事件是“甲和乙两人都没有获得奖品”．根据相互独立
事件及对立事件的概率公式计算可得．
【小问1详解】
设事件 “甲第 次闯关成功”， ，
则 ．
甲第二次闯关获得奖品事件为 且 与 相互独立，
所以甲第二次闯关获得奖品的概率为
．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司设事件 “乙第 次闯关成功”， ，则 .
设事件 “乙获得奖品”，事件 “乙未获得奖品”，则 ，
乙获得奖品的概率为
【小问3详解】
事件 “甲获得奖品”，则事件 “甲未获得奖品”．
设事件 “甲和乙两人中至少一人获得奖品”，则
．
故甲和乙两人中至少一人获得奖品的概率0.99．
16. 已知 的顶点 ，边 上的高线 所在的直线方程为 ，边 上的中线
所在的直线方程为 .
（1）求点 的坐标；
（2）求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先设 ，根据高线过点 及中线列式求解；
（2）先求出交点 ，再应用两点间距离及点到直线距离计算面积即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 的中点 ，
则 解得 即 .
故点 的坐标为 .
【小问2详解】
由边 上的高线 所在的直线方程为 ，
可设直线 的方程为 ，
将 代入可得 ，即 ，所以直线 的方程为
因为 为直线 与 的交点，
所以联立 解得 即 .
则 .
点 到直线 的距离为 .
所以 .
故 的面积为20.
17. 棱长为2的正方体 中， 分别为棱 上的动点，且 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求 与 所成的角的余弦值；
（2）证明：平面 平面 .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
求得 ，再利用夹角公式求解；
（2）求得平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，再由 证明.
【小问1详解】
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系如图.
，
.
所以 ，
.
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故 与 所成的角的余弦值为 .
【小问2详解】
设 ，则 ，
.
设平面 的一个法向量 ，
由 则
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量 .
同理可得平面 的一个法向量 .
因为 .
所以平面 平面 .
18. 已知圆心分别为 和 的两个圆的半径都是1，过动点 分别作圆 ，圆 的切线
（ 分别为切点），使得 .
（1）求动点 的轨迹 方程，并说明轨迹的形状；
（2）直线 被轨迹 截得的弦长最短时，求 的值及最短弦长.
【答案】（1） ，以 为圆心，半径为 的圆
（2） ，最短弦长为10
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 设 点 的 坐 标 为 ， 结 合 图 形 利 用 切 线 性 质 将 化 成
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学科网（北京）股份有限公司，利用两点之间距离公式化简即得动点 的轨迹方程；
（2）先求出直线 经过的定点，根据圆的性质可知，当 时， 被圆 截得的弦长 最短，由此根
据斜率建立方程求出参数 的值，进而利用弦长公式即可计算弦长.
【小问1详解】
由 得 .
因为两圆的半径均为1，所以 ，
代入上式可得， .
设点 的坐标为 ，则 ，
整理得 ，即 .
因此所求的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆.
【小问2详解】
方程 可化为 .
由 ，解得 ，则直线 恒过定点 .
记轨迹 的圆心为 ，当 时，直线 被圆 截得的弦长 最短，此时 恰为线段 的中
点.
因为 ，所以直线 的斜率为1，即 ，解得 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则弦 的长为 .
故当 时，直线 被轨迹 截得的弦长最短，最短弦长为10.
19. 在三棱锥 中， 与平面 所成的角为 .
（1）若 ，如图，过点 作平面 ，分别交 于点 .
①求 的值；
②若 为 的中点， 为平面 内的动点，求 周长的最小值.
（2）若 ，求平面 与平面 所成角的取值范围.
【答案】（1）① ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，①设
，由 得 ，解出 即可求解；②设点 关于平面 的对称点为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，当 共线时， 有最小值，最小值为 ，先求 的坐标，利用两点间
距离公式得 ，进而求解；
（2）以 为坐标原点， 所在直线为 轴，平行 的直线为 轴，垂直于平面 的直线为 轴，
建立空间直角坐标系，点 在平面 的投影为以 为圆心， 为半径，设 分
别求平面 与平面 的法向量，设平面 与平面 所成的角为 ，且 ，利用向
量 的 夹 角 公 式 得 ， 令 ， 则
，利用单调性即可求解.
【小问1详解】
①由 ，得 ，过点 作 ，以 为坐标原点， ， 所
在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
由 ， 得 ， ， 则
，
.
设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，则 ，即 ，解得 .故 的值为
.
②设点 关于平面 的对称点为 ，则 ，所以 ，当 共线
时， 有最小值，最小值为 .
因为 在 上， 平面 与平面 交于点 ，所以 为 的中点.
因为 ，所以 点的坐标为 .
因为 为 中点，所以 点的坐标为 .
因为 为 的中点，所以 点的坐标为 .
所以 ，又 .
所以 周长的最小值为 .
【小问2详解】
以 为坐标原点， 所在直线为 轴，平行 的直线为 轴，垂直于平面 的直线为 轴，建立空
间直角坐标系，如图.
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学科网（北京）股份有限公司.
因为 与平面 所成的角 ，
所以点 在平面 的投影在以 为圆心、 为半径的圆上
的圆，且点 平面 的距离为 .
设 ，
，
设平面 的法向量为 ，
可得
令 ，得 .
易知平面 的法向量为 .
设平面 与平面 所成的角为 ，且 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 .
又 在 上单调递减，因此 ，
所以平面 与平面 所成角的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司
