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2023 级“贵百河—武鸣高中”11 月高二年级新高考月考测试
数 学 参考答案
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是
最符合题目要求的）
1.已知直线l过原点且与直线7x+3 y−1=0垂直，求直线l一个方向向量是（ ）
A.(−7，3) B. (3，−7) C.(3，7) D.(7，3)
3
解：由题可知，直线l过原点(0，0)与直线7x+3 y−1=0垂直，则直线l的斜率为 ，所以直线l的方
7
程为3x−7 y=0，故其中一个方向向量n=(7，3).【答案】D
2.设向量a=(3,2,m)，b=(−1,2,1)，若a⊥b，则m=（ ）
A．2 B．1 C．−1 D．−2
【答案】C
【详解】因为a⊥b，可得a∙b=−3+4+m=0,解之可得m=−1.故选：C
1
3.已知点A(2,−1,0)，B(1,−1,−1)，向量a=( ,1,1)，求向量⃗BA与a夹角的余弦值（ ）
2
√2 1 √2
A.−√2 B. C. D. −
2 2 2
1
+1
⃗BA∙a 2 √2
解：由题可知点⃗BA=(1,0,1)，所以cos<⃗BA,a>= = = ，故选B.
|⃗BA|∙|a| √9 2
√2×
4
4.设直线的方程为√3cosθ∙x−y+ 0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围（ ）
7=
A.[ π] B.[π 2π] C.( π ] [2π D.[ π] [2π
0， ， −∞， ∪ ，π) 0， ∪ ，π)
3 3 3 3 3 3 3
解：根据题意，直线的斜率为 ，由此得 ；又因为
k=√3cosθ∈[−√3,√3] tanα∈[−√3,√3]
，所以结合正切函数的单调性，可得 [ π] [2π 故选D．
α∈[0，π) α∈ 0， ∪ ，π),
3 3
1
学科网（北京）股份有限公司5.2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，
成功将天平三号A(01)、B(01)、B(02)卫星发射升空，卫星顺利进入
预定轨道，发射任务获得圆满成功。该卫星主要用于地面雷达设备标校
和RCS测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提
供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务。假设天平
三号A(01)卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地
球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约 1.35万千米，运动至远地点距
离地球表面高度约3.35万千米,求天平三号A(01)卫星运行的轨迹方程可为（ ）
A.x2 y2 B.x2 y2 C. x2 y2 D. x2 y2
+ =1 + =1 + =1 + =1
9 8 9 16 1.352 3.352 3.52 1.22
解：根据椭圆的定义，设长轴长为 2a，焦距为2c；由题可知，1.35+1.3+3.35=2a，则a =3万千米；
因为天平三号A(01)卫星，运动至近地点距离地球表面高度约 1.35万千米，地球半径为 r=0.65万
千米，因此a−c=2,则c=1万千米；因此b2=a2−c2=32−12=8；所以椭圆的方程为
x2 y2
+ =1.答案：A.
9 8
6. 如 右 图 ， 在 直 三 棱 柱 ABC−A'B'C'中 ，
∠ABC=90°，AB=BC=BB'=1，E、F分别为A'B'，AB的中点，则直线
FC到平面AEC'的距离为（ ）
√2 √6 √6 √3
A. B. C.− D.−
2 6 6 2
解：在直三棱柱ABC−A'B'C'中，∠ABC=90°，如图所示，建立空间直角
坐标系，
因为AB=BC=BB'=1，E、F分别为A'B'，AB的中点，则A(0,1,1)，
1 1 1
B(0,0,1)，E(0, ,0)，F(0, ,1)，C'(1,0,0)，所以⃗AE=(0,− ,−1)，
2 2 2
1 1
⃗EC'=(1,− ,0)，⃗AF=(0,− ,0)
2 2
设平面 的法向量为 ，则{n∙⃗AE=0；
AEC' n=(x,y,z)
n∙⃗EC'=0.
1
{ − y−z=0；
即 2 取 ，则 ， 1.
z=−1 y=2 x=
1
x− y=0.
2
1
所以n=(1,2,−1)是平面AEC'的一个法向量.又因为⃗AF=(0,− ,0)，
2
2
学科网（北京）股份有限公司所以点F到平面 的距离为|⃗AF∙n| |0+(−1)+0| √6 .答案：B.
AEC' = =
|n| √6 6
7.若双曲线y2 x2 的渐近线与已知圆 相切，则 （ ）
− =1(n>0) O:x2+ y2−4 y+3=0 n=
n2 2
A．√6 B．√3 C．√2 D．1
y2 x2 nx
【答案】A 双曲线 − =1(n>0)的渐近线为y=± ，即nx±√2y=0，
n2 2 √2
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
nx+√2y=0 x2+ y2−4 y+3=0 x2+(y−2) 2=1 (0,2) r=1
依题意圆心 到渐近线 的距离 |2√2| ，
(0,2) nx±√2y=0 d= =1
√n2+2
解得n=√6或n=−√6（舍去）．故答案为：n=√6.
8.设λ∈R，过定点M的动直线λx+ y=0和过定点N的动直线x−λ y+λ+3=0交于点Q(x，y)，则
|QM|+|QN|的最大值是（ ）
A．√5 B．2√5 C．√10 D．2√10
【答案】B
【详解】对于动直线λx+ y=0可知其过定点M(0，0)，动直线x−λ y+λ+3=0，
即x+3−λ(y−1)=0，可知其过定点N(−3，1)，且1×λ+λ×(−1)=0，
因此两条动直线相互垂直，可知点Q的轨迹是以MN为直径的圆，且|MN|=√10，
若点Q与M或N重合，则|QN|+|QM|=0+|MN|=√10；
π
若点Q与M，N不重合，设∠QMN=θ∈(0, )，则
2
|QM|=√10cosθ,|QN|=√10sinθ,
π
可得|QM|+|QN|=√10cosθ+√10sinθ=2√5sin(θ+ )，
4
π π π 3π π √2
因为θ∈(0, )，则θ+ ∈( , ),可得sin(θ+ )∈( ,1],
2 4 4 4 4 2
π
所以当sin(θ+ )=1时，|QM|+|QN|有最大值，即最大值为2√5.
4
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．直线 的方向向量为a，平面α的法向量n，则下列命题为真命题的是（ ）
3
学科网（北京）股份有限公司A．若a⊥n，则直线l//平面α
B．若a//n，则直线l⊥平面α
1 π
C．若cos= ，则直线 与平面 所成角的大小为
2 3
1 π
D．若sin= ，则直线 与平面 所成角的大小为
2 3
【答案】BD
【详解】对于A，若a⊥n，则l//平面α或l⊂平面α，A错；
对于B，若a//n，则l⊥平面α，B对；
1 π
对于C，若cos= ，则直线l与平面α所成角的大小为 ，C错；
2 6
1 √3 π
对于D，若sin= ，则cos= ，则平则直线l与平面α所成角的大小为 ，D对.
2 2 3
10．已知圆C:(x−2) 2+(y−1) 2=36，直线2x+(m+1)y−3m+1=0，则（ ）
A．当m=1时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1
B．圆C与圆x2+ y2+12x+10 y+45=0恰有三条公切线
C．直线l恒过定点(−2，3)
D．直线l与圆C有两个交点
【答案】BCD
|2+1−1|
【详解】对于A，当m=1时，直线l:x+ y−1=0，圆心C(2，1)到直线l的距离为d= =√2，
√2
而圆C半径为6，因此只有4个点到直线l的距离等于1，A错误；
对于B，圆x2+ y2+12x+10 y+45=0的方程化为(x+6) 2+(y+5) 2=16，
其圆心为(−6，−5)，半径为4，两圆的圆心距为d'=√(2+6) 2+(1+5) 2=10=6+4，
两圆外切，因此它们有三条公切线，B正确.
{ y−3=0 {x=−2
对于C，直线l的方程为2x+ y+1+m(y−3)=0，由 ， ，直线l恒过定点
2x+ y+1 y=3
(−2，3)，C正确；
对于D，(−2−2) 2+(3−1) 2=20<36，即定点(−2，3)在圆C内，则直线l与圆C相交且有两个交
点，D正确；
4
学科网（北京）股份有限公司11．已知方程mx2+ y2=1表示的曲线为E，则（ ）
A．当01时，曲线E为焦点在x轴上的椭圆
C．当−11，曲线E为焦点在x轴上
m
m
的椭圆，故A正确；
x2
+ y2=1 1
对于B，根据题意知mx2+ y2=1，可化为 1 ，当m>1时，0< <1，曲线E为焦点在y轴上的
m
m
椭圆，故B错误；
x2
y2− =1 1
对于C，根据题意知mx2+ y2=1，可化为 1 ，当−11，曲线E为焦点
− m
m
在y轴上的双曲线，故C正确；
x2
y2− =1 1
对于D，根据题意知mx2+ y2=1，可化为 1 ，当m<−1时，则0<− <1，
− m
m
曲线E为焦点在y轴上的双曲线，故D正确.
故选：ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.过抛物线 的焦点 的直线 交于 两点，则抛物线的方程为____．
y2=2px(p>0) F y=−√3(x−1) A，B
答案： .
y2=4x
【详解】直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
y=−√3(x−1) (1,0) C:y2=2px(p>0) F(1,0)
p
所以 =1,p=2，2p=4，故抛物线的方程为y2=4x.
2
13.如图，已知E、F分别是四面体ABCD的棱AD、BC的中点，点G在
线段EF上，且EG=2GF，设向量⃗AB=a，⃗AC=b，⃗AD=c，则⃗AG=
(用{a,b,c}表示)
5
学科网（北京）股份有限公司1 1 1
【答案】 a+ b+ c．
3 3 6
1 1 1
【详解】⃗AG=⃗AF+⃗FG，⃗AF= (⃗AB+⃗AC)，⃗FG= ⃗FE，⃗FE=⃗AE−⃗AF，⃗AE= ⃗AD．
2 3 2
1 1 2 1
∴ ⃗AG=⃗AF+⃗FG =⃑AF+ ⃑FE =⃑AF+ (⃑AE−⃑AF) = ⃑AF+ ⃑AE
3 3 3 3
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= × (⃑AB+⃑AC)+ × ⃑AD = ⃗AB+ ⃗AC+ ⃗AD = a+ b+ c．
3 2 3 2 3 3 6 3 3 6
14.已知点 ，若圆 上存在点 满足 ，则实数
A(−1,0),B(3,0) (x−m−1) 2+(y−m+2) 2=1 P ⃗PA⋅⃗PB=5 m
的取值范围是 .
【答案】1−√7≤m≤0或2≤m≤1+√7.
【详解】设 ，则 ， ，
P(x,y) ⃗PA=(−1−x,−y) ⃗PB=(3−x,−y)
故 即为 即 ，
⃗PA⋅⃗PB=5 x2+ y2−2x−3=5 (x−1) 2+ y2=9
因为 也在圆 上，
P (x−m−1) 2+(y−m+2) 2=1
故 ，整理得到： ，
(3−1) 2≤m2+(m−2) 2≤(3+1) 2 ¿
解得1−√7≤m≤0或2≤m≤1+√7.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）2024年7月11日是郑和下西洋620周年纪念日，也是第20个中国航天日。设立“航
海日”对于我国开发海洋、维护海权、加强海防、实现建
设航天强国和海洋强国的目的，有着十分深远的战略意义。
在某次任务中，为了保证南沙群岛附近海域航行的安全，
我国航海部门在南沙群岛的中心岛屿O正西与正北两个方
向，分别设立了观测站A、B，它们与南沙群岛中心岛屿O
的距离分别为15海里和a(a>0）海里。某时段，为了检
测观察的实际范围（即安全预警区），派出一艘观察船M，始终要求巡第视15行题驶图过程中观察船
M
的位置到观测站A的距离与南沙群岛中心岛屿O的距离之商为4.
（1）求小船M的运动轨迹方程；
（2）为了探查更远的范围，航海部门又安排一艘巡艇，从观测站A出发，往观测站B方向直线
6
学科网（北京）股份有限公司行驶，规定巡艇不进入预警区，求a的取值范围.
【详解】（1）根据已知条件设以O为坐标原点，⃗AO，⃗OB为x,y轴的正方向，建立平面直角坐标
系，根据已知条件设M(x,y)且A(−15，0)，O(0，0)，
|MA|
由 =4有√(x+15) 2+ y2=4√x2+ y2，
|MO|
(x+15) 2+ y2=16(x2+ y2 )，
=x2+30x+225+ y2=16x2+16 y2；
∴15x2+15 y2−30x−225=0,
即x2+ y2−2x−15=0，
整理得(x−1) 2+ y2=16，它是以(1，0)为圆心，4为半径的圆．
所以小船M的运动的轨迹方程为：(x−1) 2+ y2=16．
（2）由（1）可知A(−15，0)，B(0，a)过AB的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，所以直线
x y
AB截距式方程为 + =1(a>0)，化为一般式方程为ax−15 y+15a=0(a>0)，
−15 a
|a−0+15a|
根据题意，
>4，解得a>15，所以综上可知a的取值范围为a>15．
|√a2+152|
x2 y2
16.（15分）已知椭圆C： + =1(a>b>0）的左、右焦点分别为F 、F ，P为椭圆C上一点.
a2 b2 1 2
（1）若焦距为4√2，点P的坐标为（−3，1)，求椭圆C的标准方程；
π √3
（2）若∠F PF = 且，长轴长为2√6，∆F PF 的面积为 ，求b的值.
1 2 3 1 2 2
【详解】（1）已知|F F |=4√2，因为|F F |=2c，所以c=2√2.
1 2 1 2
x2 y2
点P(−3，1)在椭圆上，将其带入椭圆的 + =1(a>b>0)，
a2 b2
(−3) 2 12 9 1
可得 + =1，即 + =1.①
a2 b2 a2 b2
7
学科网（北京）股份有限公司又因为c2=a2−b2，即a2−b2=8，②
联立①②，整理得b4−2b2−8=0，解得b2=4或−2（舍去）.
所以a2=b2+c2=4+8=12.
x2 y2
故椭圆C的标准方程为 + =1.
12 4
π 1 π √3
（2）因为∠F PF = ，所以∆F PF 的面积S= |PF ||PF |sin = ，则|PF ||PF |=2.
1 2 3 1 2 2 1 2 3 2 1 2
因为长轴长为2a=2√6，即a=√6，根据椭圆定义，|PF |+|PF |=2√6
1 2
.
有(|PF |+|PF |) 2=24，即|PF | 2+|PF | 2+2|PF ||PF |=24③
1 2 1 2 1 2
π
由余弦定理可得|F F |
2=|PF
|
2+|PF
|
2
−2|PF ||PF |cos ，
1 2 1 2 1 2 3
整理得 |F F |
2=|PF
|
2+|PF
|
2
−|PF ||PF | ④
1 2 1 2 1 2
3√2
联立③④得：|F F | 2 −24=−3|PF ||PF |，即|F F | 2=18，则|F F |=3√2，所以c= ，
1 2 1 2 1 2 1 2 2
3√2 2 √6
在椭圆中有b2=a2−c2，即b2=(√6) 2 −( ) ，解得b= .
2 2
17．（15分）如图，已知在四棱锥S−ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，
AB//DC,
1
∠BAD=90°，在∆SAD中，SA=SD=√5，AB=AD= CD=2，点E是棱SC上靠近S端的三等分
2
点.
(1)证明：SA//平面BDE；
(2)求平面BDE与平 面S夹B角C的余弦值.
【详解】（1）取AD中点O，连接SO，过O点作OM//AB，交BC于点M，
由题可知，在∆SAD中，SA=SD=√5，AD=2，
所以SO=2，OA=OD=1，且SO⊥AD，
8
学科网（北京）股份有限公司1
因为AB=AD= CD=2，即CD=4，
2
又因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，所以SO⊥平面ABCD.
在四边形ABCD中，AB//DC， ∠BAD=90°，所以AB⊥AD，且OM//AB，则OM⊥AD，
以点O为坐标原点，OA，OM，OS分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0),B(1,2,0),C(−1,4,0),D(−1,0,0),S(0,0,2),H(0,0,1)，
⃗SC=(−1,4,−2),点E是棱SC上靠近S端的三等分点
1 1 1 4 2
∴⃗SE= ⃗SC= (−1,4,−2)=(− , ,− )
3 3 3 3 3
( 1 4 4)
因此E − , , .
3 3 3
2 4 4
⃗DB=(2,2,0),⃗DE=( , , )，
3 3 3
设平面BDE的一个法向量为⃗m=(x,y,z)，
{
x+ y=0
{⃗m∙⃗DB=0
则 ，即 2 4 4 ，
⃗m∙⃗DE=0 x+ y+ z=0
3 3 3
1 1
令x=1，得y=−1,z= ,则⃗m=(1,−1, ).
2 2
又⃗SA=(1,0,−2)，可得⃗SA∙⃗m=0，因为SA⊄平 面B，DE
所以SA//平 面B. DE
（ ）由（ ）易知⃗BC=(−2,2,0),⃗SC=(−1,4,−2)，设平 面SBC
的 2 一个法向 1 量为⃗n=(a,b,c)，
{⃗n∙⃗BC=0 { −2a+2b=0
则 ，即 ，令a=2，得b=2,c=3则
⃗n∙⃗SC=0 −a+4b−2c=0
,
⃗n=(2,2,3)
设 平 面 BDE与 平的夹面角SB为Cα，
.
3
2 √17
则cosα=|cos<⃗m,⃗n>|= =
3 17
∙√17
2
.
9
学科网（北京）股份有限公司√17
故平 面 BDE与 平的夹面角SB的C余弦值为
17
.
18．（17分）已知点N的坐标为(−1,2)，过点N的直线l与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A、B两
点，且⃗OA∙⃗OB=0， 连接ON，直线l斜率与直线ON的斜率之积为−2.
（1）求p的值；
（2）若线段AB的垂直平分线与抛物线C交于E，F两点，求∆OEF的面积.
【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
（1）由题可知，点O(0,0),N(−1,1)，则直线ON的斜率为：
2−0
k = =−2;令有直线l斜率为k;
ON −1−0
因为直线l斜率与直线ON的斜率之积为−2，有k ∙k=−2，
ON
解得k=1
又因为 点N(−1,2)，过点N的直线l与抛物线C
交于A、B两点，故直线l的方程为y−2=x+1，
即y=x+3.设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 2 2 2
{x2=2py(p>0)
联立 ，消去y可得x2−4 px−6p=0，∆=16p2+36p> ，
y=x+3
0
则x +x =2p，x x =−6p，
1 2 1 2
因为⃗OA∙⃗OB=0，所以x x + y y =0，
1 2 1 2
3
即3(x +x )+2x x +9=0，即9+6p−12p=0，解得p= .
1 2 1 2 2
（2）由题可知，直线EF垂直平分线段AB，设线段AB的中点为
M(x ,y )，直线EF的斜率为k ；
0 0 EF
x +x 3 3 9 (3 9)
由（1）知x = 1 2=p= ，所以y =x +3= +3= ，则M , ；且k =−1，所以
0 2 2 0 0 2 2 2 2 EF
9 3
直线EF的方程为y− =−(x− )，即y=−x+6，
2 2
10
学科网（北京）股份有限公司{ x2=3 y
联立 ，消去y可得x2+3x−18=0，∆=9+72=81> ，
y=−x+6
0
设E(x ,y ),F(x ,y )，则x +x =−3，x x =−18，
3 3 4 4 3 4 3 4
所以|EF|=√1+k2∙√(x +x ) 2−4x x =√1+(−1) 2∙√(−3) 2−4×(−18)=9√2，
3 4 3 4
|−6|
又点O到直线EF的距离为 =3√2，
√2
1
所以∆OEF的面积为 ×9√2×3√2=27.
2
19．（17分）已知 ， 分别为双曲线 x2 y2 的左,右焦点，与 轴分别交于点
F F M: − =1(a>0,b>0) x
1 2 a2 b2
√3
A，B，它的一条渐近线的斜率为 ，且右焦点F 到该渐近线的距离为√3.
2 2
(1)求双曲线M的方程；
(2)若过T(4，0)的直线与曲线M交于C，D两点(C，D不与两个顶点重合)，记直线AC，BD的
斜率为 ， ，证明：k 为定值．
k k 1
1 2 k
2
(3)若动点 在曲线 的左支上，定点 ，点 为圆 上一动点，则求
H M F (√7,0) P Q:x2+(y+3) 2=1
2
|HP|+|H F |的最小值．
2
√3
【详解】解：(1)因为双曲线M的一条渐近线的斜率为 ，
2
b √3
所以 = ，2b=√3a，
a 2
则双曲线M的一条渐近线的方程为√3x−2y=0，
√7
因为c=√a2+b2= a，
2
所以右焦点F (c,0)到渐近线√3x−2y=0的
2
11
学科网（北京）股份有限公司|√3c|
距离为
=√3⟹c=√7，
√(√3) 2+22
x2 y2
所以a=2，b=√3，所以双曲线M的方程为 − =1．
4 3
（2）依题意可知，A,B 表示双曲线M的两个顶点，由（1）可知A(−2,0)，B(2,0)，设C(x ,y )，
1 1
D(x ,y )．
2 2
因为C,D不与A,B重合，所以可设直线CD:x=ty+4．
{x2 y2
− =1
联立 4 3 ,消x得：(3t2−4)y2+24ty+36=0，
x=ty+4
2
故t≠± ，Δ=144t2+576>0，
√3
−24t 36 36t 3
y + y = ，y y = ，t y y = =− (y + y )，
1 2 3t2−4 1 2 3t2−4 1 2 3t2−4 2 1 2
y
1 −3 (y + y )+2y
k x +2 y (x −2) y (t y +2) 2 1 2 1 1
∴ 1= 1 = 1 2 = 1 2 = =− ．
k y y (x +2) y (t y +6) −3 3
2 2 2 1 2 1 (y + y )+6 y
x −2 2 1 2 2
2
由 可知，设 ， 为曲线 的左右焦点，圆 半径为 ，圆心 ，
(3) F (−√7,0) F (√7,0) M E r=1 E(0,−3)
1 2
(1)
∴|H F |=|H F |+2a=|H F |+4，
2 1 1
|HP|≥|H E|−|PE|=|H E|−1，
(当且仅当H，E，P共线且P在H，E之间时取等号)，
|HP|+|H F |≥|H E|−1+|H F |+4
2 1
=|H F |+|H E|+3≥|EF |+3
1 1
，
=√(−√7) 2+32+3=7
当且仅当H是线段EF 与双曲线的交点时取等号．
1
∴|HP|+|H F |的最小值是7．
2
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