甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高三上学期第三次诊断考试数学试题_2024-2026高三（6-6月题库）_2024年12月试卷_1216甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高三上学期第三次诊断考试

2024-2025 学年度甘肃省兰州第一中学高三第三次诊断考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 设集合 ，则 （ ） B. C. D. A. 2. 己知命题p： ， ．则命题p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．设a＝，b＝ln，c＝sin，则（ ） A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 4. 已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 5.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世 代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述 累计感染病例数 随时间 （单位：天）的变化规律，指数增长率 与 近似满足 .有 学者基于已有数据估计出 .据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需 要的时间约为 （ ） A. 1.8天 B. 2.4天 C. 3.0天 D. 3.6天 6.在△ABC中，内角A，B，c所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ） A．a＝5，b＝4，A＝ B．a＝4，b＝5，A＝ C．a＝5，b＝4，A＝ D．a＝4，b＝5，A＝ 7.若存在常数 ，使得函数 对定义域内的任意 值均有 ，则 关于点 对称，函数 称为“准奇函数”.现有“准奇函数” 对于 ， ， 则函数 在区间 上的最大值与最小值的和为（ ） 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 第 1 页A.4 B.6 C.7 D.8 8.已知数列 ，若对任意的 ，则实数 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 二.多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.已知 且 ，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 10. 将函数 的图像向左平移 个单位，所得图像关于原点对称．若 ，则 下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的对称中心为 C. 对任意的 ，都有 D. 与 的公共点的纵坐标为 或 11．对于定义域为[0，＋∞)的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥0；②∀x≥0， y≥0，f(x＋y)≥f(x)＋f(y)，则称函数f(x)为“H函数”．下列结论正确的是 A．若f(x)为“H函数”，则其图象恒过定点(0，0) B．函数在[0，＋∞)上是“H函数” C．函数f(x)＝[x]在[0，＋∞)上是“H函数”([x]表示不大于x的最大整数) D．若f(x)为“H函数”，则f(x)一定是[0，＋∞)上的增函数 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知 ，则 _______. 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 第 2 页13.已知 ，设函数 的图象在点 处的切线为 ，则 与 轴交点的纵坐标为 ______． 14.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f′(－x)＞2f(x)，且f(3)＝0，则不等式f(x)＞0的解集 为 . 四.解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． (1)若C＝2A，a＝2，b＝3，求c； (2)若a2＋b2＝c2，求证：3tanA＝2tanC． 16．（15分）党的十九大以来，恩施州深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化对接帮扶，州委州政府 派恩施高中到杨家庄村去考察和指导工作.该村较为䏌困的有200户农民，且都从事农业种植，据了解， 平均每户的年收入为0.3万元.为了调整产业结构，恩施高中和杨家庄村委会决定动员部分农民从事白茶加 工，据估计，若能动员 户农民从事白杀加工，则㔞下的继续从事农业种植的农民平均每户的年 收入有望提高 ，而从事白杀加工的农民平均每户收入将为 万元. （1）若动员 户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事农业种植 的农民的总年收入，求 的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事白杀加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的 农民的总收入，求 的最大值. 17.（15分）如图，在三棱柱ABC－A B C 中，侧面AA C C⊥底面ABC，侧面AA C C是菱形，∠A AC＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 60°，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2． (1)若D为A C的中点，求证：AD⊥A B； 1 1 (2)求二面角A－A C－B 的正弦值． 1 1 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 第 3 页18.（17分）椭圆 的离心率是 ，且过点 . （1）求 的方程； （2）过点 的直线 与 的另一个交点分别是 ，与 轴分别交于 ，且 于点 ，是否存在定点 使得 是定值？若存在，求出点 的坐标与 的值； 若不存在，请说明理由. 19.（17分）设函数f(x)＝xlnx，g(x)＝． (1)若直线y＝x＋b是曲线f(x)的一条切线，求b的值； (2)证明：①当0＜x＜1时，g(x)f(x)＞x(x－1)； ②∀x＞0，g(x)－f(x)＜．(e是自然对数的底数，e≈2.718) 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 第 4 页学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 第 5 页2024-2025 学年度甘肃省兰州第一中学高三第三次诊断考试 数学参考答案 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C D D B B B 二.多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 题号 9 10 11 答案 BC AB AC 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13.（0,1） 14. 3,03， 四.解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【详解】（1）C 2A，BπAC π3A，则sinBsinπ3AsinA2A sinAcos2AcosAsin2A，sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2 A1， sinBsinA  2cos2 A1  2sinAcos2 AsinA  4cos2 A1  ， 2 3 a b  由正弦定理，可得：  ，则 sinA sinA  4cos2 A1 ， sinA sinB 5 1 可得 ，解得cos2 A ，则cosCcos2A2cos2 A1 ， 8cos2 A23 8 4 1 由余弦定理，c2 a2b22abcosC 49223 10，故 . 4 c 10 1 1 1 （2）a2 b2 c2，a2c2  b2 ，c2a2  b2 ， 5 5 5 1 b2 b2 由余弦定理， c2b2a2 5 3 b①， cosA    2cb 2cb 5 c 1 b2 b2 a2b2c2 5 2 b ②， cosC     2ab 2ab 5 a cosA 3b 5a 3a 3sinA ①与②相除可得：     ， cosC 5c 2b 2c 2sinC 2cosAsinC 3sinAcosC，两边同除以cosAcosC，可得2tanC 3tanA. 16.【详解】（1）动员 户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 第 1 页农业种植的农民的总年收入. 则 ，解得 . （2）由于从事白茶加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民的总收入，则 ， 化简得 . 由于 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 ，所以 的最大值为11. 17.【详解】（1）∵侧面AACC是菱形，∴AA  AC， 1 1 1 ∵D为A 1 C的中点，∴AD A 1 C， ∵侧面AACC 底面ABC，侧面AACC底面ABC  AC，ACB90，BC底面ABC， 1 1 1 1 ∴BC 侧面AACC， 1 1 ∵AD侧面AA 1 C 1 C，∴BC  AD， ∵A 1 CBCC，∴AD平面A 1 BC， ∵AB平面ABC，∴AD AB. 1 1 1 （2）取A 1 C 1 中点E，连接CE，从而CE A 1 C 1 ， 又由AC AC，则CE  AC， 1 1 ∵侧面AACC 底面ABC，侧面AACC底面ABC  AC， 1 1 1 1 ∴CE底面ABC， 以C为坐标原点，以CA，CB，CE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图： 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 第 2 页由已知条件和上图可知，C(0,0,0)，A(2,0,0)，A(1,0, 3)，B(1,2, 3)， 1 1  由题意可知，CB(0,2,0)为平面AAC的一个法向量， 1  不妨设n(x,y ,z )平面ACB 的一个法向量， 1 1 1 1 1   因为CA (1,0, 3)，CB (1,2, 3)， 1 1 (cid:8)  CA n0  x  3z 0 从而(cid:8)1   1 1 ， CB 1 n0 x 1 2y 1  3z 1 0  令z  3，则x 3，y 3，即n(3,3, 3)， 1 1 1 设二面角AACB 为，由图可知为钝角， 1 1     |CBn| 21 从而cos|cosCB,n|  ，即 2 7 ，   7 sin |CB||n| 7 2 7 故二面角 的正弦值为 . AACB 7 1 1 18.【详解】（1）因为椭圆C： 的离心率是 ， 所以 ， 即a= b， 因为 过点P（2,1）， 有 ， 联立a= b解得 ， ， 故椭圆C的方程是 ． 法二： 因为椭圆C： 的离心率是 ， 所以 ， 联立 可得a= b， 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 第 3 页因为 过点P（2,1）， 所以 ， 联立a= b解得 ， ， 故椭圆C的方程是 ． （2）依题意，直线AB存在斜率，设直线AB方程是 ， 联立 ，消去y得， ， 设A（x，y），B(x，y)， 1 1 2 2 则x＋x ，xx ， 1 2 1 2 直线PA： ， 令x=0，得 ， 同理 ， 依题意知 ， 即 ， ， ， ， ， 整理得 ， 即 ， 若 ，则直线AB过点P（2，1），不合题意，舍去， 若 ，则直线AB过点（0 ,－3）， 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 第 4 页令D（0,－3），则点Q在以PD为直径的圆上， 所以当R为PD的中点，即以PD为直径的圆的圆心时，|RQ|等于圆的半径， 故存在定点 ，使得|RQ|为定值 . 19.【详解】（1）由 f xxlnx，则 f'(x)lnx1， 1 设y xb在 f x上的切点为(x ,x lnx )， 2 0 0 0 1  1 从而 f'(x )lnx 1  x e 2， 0 0 2 0 1  1 1  1 故y xb在 f x上的切点为(e 2, e 2)， 2 2  1 1  1 1 1  1 1  1  1 将(e 2, e 2)代入y xb得， e 2  e 2 bbe 2， 2 2 2 2 1 故b的值为e  2 . 1 1 （2）①当 时，gx f x xx12lnxx 0， 0x1 2 x 1 2 1 (x1)2 不妨令h(x)2lnxx ，则h'(x) 1  0， x x x2 x2 故h(x)在(0,1)上单调递减， 从而对x(0,1)，都有h(x)h(1)0， 1 故当 时，gx f x xx1 . 0x1 2 1 ②(i)由①知，当 时，gx f x xx1 ， 0x1 2 1 从而xlnx (x21)， 2 x 1 1 故gx f x  x2 ， x1 2 2 2 x 1 1 2 欲证gx f x ，只需证(x)  x2  ， e x1 2 2 e 1 1x(x1)2 则'(x) x ， (x1)2 (x1)2 令(x)1x(x1)2，则'(x)(x1)22x(x1)0， 从而(x)在(0,1)上单调递减， 1 1 1 1 1 9 19 1919  2 66139 因为( )1 ( 1)2 1 ( 1)2 1 0， 1  1 1 0， e e e e 2 4e 40 4040  64000 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 第 5 页1 19 由零点存在的基本定理可知，x  , ，使得 ， 0 e 40 (x )1x (x 1)2 0 0 0 0 x 从而 0 x2(x 1)， x 1 0 0 0 结合(x)在(0,1)上单调递减可知，'(x)00xx ；'(x)0x x1， 0 0 故(x)在(0,x )上单调递增，在(x ,1)上单调递减， 0 0 x 1 1 1 1 1 1 从而(x) (x ) 0  x2 x2(x 1) x2 x3 x2  ， max 0 x 1 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 19 1 19 1 2 故(x) ( )3 ( )2 0.72 ， max 40 2 40 2 e 2 即当 时，gx f x ； 0x1 e 1 1 (ii) 由 f'(x)lnx10x ，从而 在[ ,)上单调递增， e f(x) e 故当x1时， f(x) f(1)0， x 1 又因为gx 1 在 上单调递增， x1 x1 (0,) x x e 2 故当 时，gx f x  f(x)   ， 1xe x1 x1 e1 e 1 2 当 时， ，此时gx f x1 e<0 ， xe f(x) f(e)e x1 e 2 综上所述， ，gx f x . x0 e 学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 第 6 页