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江苏省泰州市2018年中考数学真题试题
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂再答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣（﹣2）等于（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．±2
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． + = B． =2 C． • = D． ÷ =2
3．（3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（ ）
A．
正方体
B．
四棱锥
C．
圆柱
D．
球
4．（3分）小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参
加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A．小亮明天的进球率为10%
1B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
5．（3分）已知x、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
1 2
A．x≠x B．x+x＞0 C．x•x＞0 D．x＜0，x＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
6．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为B，点P从原
点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q
同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是（ ）
A．线段PQ始终经过点（2，3）
B．线段PQ始终经过点（3，2）
C．线段PQ始终经过点（2，2）
D．线段PQ不可能始终经过某一定点
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写再答题卡相应位
置上）
7．（3分）8的立方根等于 ．
8．（3分）亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为 ．
9．（3分）计算： x•（﹣2x2）3= ．
10．（3分）分解因式：a3﹣a= ．
11．（3分）某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差
等数个统计量中，该鞋厂最关注的是 ．
12．（3分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 ．
13．（3分）如图， ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为 ．
▱
214．（3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中
点，∠D=α，则∠BEF的度数为 （用含α的式子表示）．
15．（3分）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得
到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的
边相切时，⊙P的半径为 ．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：π0+2cos30°﹣|2﹣ |﹣（ ）﹣2；
（2）化简：（2﹣ ）÷ ．
18．（8分）某软件科技公司20人负责研发与维护游戏、网购、视频和送餐共4款软件．投入市
场后，游戏软件的利润占这4款软件总利润的40%．如图是这4款软件研发与维护人数的扇
形统计图和利润的条形统计图．
3根据以上信息，网答下列问题
（1）直接写出图中a，m的值；
（2）分别求网购与视频软件的人均利润；
（3）在总人数和各款软件人均利润都保持不变的情况下，能否只调整网购与视频软件的研发
与维护人数，使总利润增加60万元？如果能，写出调整方案；如果不能，请说明理由．
19．（8分）泰州具有丰富的旅游资源，小明利用周日来泰州游玩，上午从A、B两个景点中任
意选择一个游玩，下午从C、D、E三个景点中任意选择一个游玩．用列表或画树状图的方法列
出所有等可能的结果，并求小明恰好选中景点B和C的概率．
20．（8分）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．
21．（10分）为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志题者的支援，实际工作效率
提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于
点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3 ，DF=3，求图中阴影部分的面积．
423．（10分）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间
距系数=L：（H﹣H），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H 为北侧楼房底层窗台至地
1 1
面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的
楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高
度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
24．（10分）平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．
（1）当m=﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线1⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点
A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m
的值．
525．（12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上
（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）
（1）根据以上操作和发现，求 的值；
（2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．
求证：∠HPC=90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有
一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）
26．（14分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y═ （x＞0）的图象上，
1
点A′与点A关于点O对称，一次函数y=mx+n的图象经过点A′．
2
（1）设a=2，点B（4，2）在函数y、y 的图象上．
1 2
①分别求函数y、y 的表达式；
1 2
②直接写出使y＞y＞0成立的x的范围；
1 2
（2）如图①，设函数y、y 的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的
1 2
值；
（3）设m= ，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y 的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作
2
正方形ADEF，试说明函数y 的图象与线段EF的交点P一定在函数y 的图象上．
2 1
67参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂再答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣（﹣2）等于（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．±2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣（﹣2）=2，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． + = B． =2 C． • = D． ÷ =2
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次
根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、 与 不能合并，所以A选项错误；
B、原式=3 ，所以B选项错误；
C、原式= = ，所以C选项错误；
D、原式= =2，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根
式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根
式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．（3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（ ）
A．
正方体
8B．
四棱锥
C．
圆柱
D．
球
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分
析．
【解答】解：四棱锥的主视图与俯视图不同．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三
视图中．
4．（3分）小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参
加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A．小亮明天的进球率为10%
B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【解答】解：根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛小亮明天有
可能进球．
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
95．（3分）已知x、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
1 2
A．x≠x B．x+x＞0 C．x•x＞0 D．x＜0，x＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x≠x，结论A正确；
1 2
B、根据根与系数的关系可得出x+x=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；
1 2
C、根据根与系数的关系可得出x•x=﹣2，结论C错误；
1 2
D、由x•x=﹣2，可得出x＜0，x＞0，结论D错误．
1 2 1 2
综上即可得出结论．
【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x≠x，结论A正确；
1 2
B、∵x、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
1 2
∴x+x=a，
1 2
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x、x 是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
1 2
∴x•x=﹣2，结论C错误；
1 2
D、∵x•x=﹣2，
1 2
∴x＜0，x＞0，结论D错误．
1 2
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等
的实数根”是解题的关键．
6．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（9，6），AB⊥y轴，垂足为B，点P从原
点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q
同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1：2，则下列说法正确的是（ ）
A．线段PQ始终经过点（2，3）
B．线段PQ始终经过点（3，2）
10C．线段PQ始终经过点（2，2）
D．线段PQ不可能始终经过某一定点
【分析】当OP=t时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（9﹣2t，6）．设直线PQ的解析式为
y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出PQ的解析式即可判断；
【解答】解：当OP=t时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（9﹣2t，6）．
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
将P（t，0）、Q（9﹣2t，6）代入y=kx+b，
，解得： ，
∴直线PQ的解析式为y= x+ ．
∵x=3时，y=2，
∴直线PQ始终经过（3，2），
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写再答题卡相应位
置上）
7．（3分）8的立方根等于 2 ．
【分析】根据立方根的定义得出 ，求出即可．
【解答】解：8的立方根是 =2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对立方根的应用，注意：a的立方根是 ，其中a可以为正数、负数和0．
8．（3分）亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为 4. 4 × 1 0 7
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
11对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：44000000=4.4×107，
故答案为：4.4×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（3分）计算： x•（﹣2x2）3= ﹣ 4 x 7 ．
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式计算得出答案．
【解答】解： x•（﹣2x2）3
= x•（﹣8x6）
=﹣4x7．
故答案为：﹣4x7．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
10．（3分）分解因式：a3﹣a= a （ a + 1 ）（ a﹣ 1 ） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
=a（a2﹣1），
=a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分
解，注意要分解彻底．
11．（3分）某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差
等数个统计量中，该鞋厂最关注的是 众数 ．
【分析】鞋厂最感兴趣的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的即这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的销售量最多的鞋号即这组数
据的众数．
故答案为：众数．
【点评】本题主要考查了学生对统计量的意义的理解与运用，要求学生对对统计量进行合理
12的选择和恰当的运用，比较简单．
12．（3分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 5 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第
三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．
13．（3分）如图， ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为 1 4 ．
▱
【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，
∵AC+BD=16，
∴OB+OC=8，
∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，
故答案为14．
【点评】本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
14．（3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中
点，∠D=α，则∠BEF的度数为 270°﹣3α （用含α的式子表示）．
13【分析】根据直角三角形的性质得到∠DAC=90°﹣α，根据角平分线的定义、三角形的外角的
性质得到∠CEB=180°﹣2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠D=α，结
合图形计算即可．
【解答】解：∵∠ACD=90°，∠D=α，
∴∠DAC=90°﹣α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α，
∵∠ABC=90°，EAC的中点，
∴BE=AE=EC，
∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α，
∴∠CEB=180°﹣2α，
∵E、F分别为AC、CD的中点，
∴EF∥AD，
∴∠CEF=∠D=α，
∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α，
故答案为：270°﹣3α．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形
的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15．（3分）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 3 ．
【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的
取值．
【解答】解：依题意得： ，
解得
14∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故a﹣3=0，
解得a=3．
故答案是：3．
【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公
式a2±2ab+b2=（a±b）2．
16．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得
到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的
边相切时，⊙P的半径为 或 ．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与
AB相切于点T时，
【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴ = ，
15∴ = ，
∴r= ．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴A′T= ，
∴r= A′T= ．
综上所述，⊙P的半径为 或 ．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分
线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：π0+2cos30°﹣|2﹣ |﹣（ ）﹣2；
（2）化简：（2﹣ ）÷ ．
【分析】（1）先计算零指数幂、代入三角函数值，去绝对值符号、计算负整数指数幂，再计算乘
16法和加减可得；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式=1+2× ﹣（2﹣ ）﹣4
=1+ ﹣2+ ﹣4
=2 ﹣5；
（2）原式=（ ﹣ ）÷
= •
= ．
【点评】本题主要考查分式和实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂、三角函数值、绝
对值性质、负整数指数幂及分式的混合运算顺序和运算法则．
18．（8分）某软件科技公司20人负责研发与维护游戏、网购、视频和送餐共4款软件．投入市
场后，游戏软件的利润占这4款软件总利润的40%．如图是这4款软件研发与维护人数的扇
形统计图和利润的条形统计图．
根据以上信息，网答下列问题
（1）直接写出图中a，m的值；
（2）分别求网购与视频软件的人均利润；
（3）在总人数和各款软件人均利润都保持不变的情况下，能否只调整网购与视频软件的研发
17与维护人数，使总利润增加60万元？如果能，写出调整方案；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据各类别百分比之和为1可得a的值，由游戏的利润及其所占百分比可得总利
润；
（2）用网购与视频软件的利润除以其对应人数即可得；
（3）设调整后网购的人数为x、视频的人数为（10﹣x）人，根据“调整后四个类别的利润相加
=原总利润+60”列出方程，解之即可作出判断．
【解答】解：（1）a=100﹣（10+40+30）=20，
∵软件总利润为1200÷40%=3000，
∴m=3000﹣（1200+560+280）=960；
（2）网购软件的人均利润为 =160元/人，
视频软件的人均利润 =140元/人；
（3）设调整后网购的人数为x、视频的人数为（10﹣x）人，
根据题意，得：1200+280+160x+140（10﹣x）=3000+60，
解得：x=9，
即安排9人负责网购、安排1人负责视频可以使总利润增加60万元．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件．
19．（8分）泰州具有丰富的旅游资源，小明利用周日来泰州游玩，上午从A、B两个景点中任
意选择一个游玩，下午从C、D、E三个景点中任意选择一个游玩．用列表或画树状图的方法列
出所有等可能的结果，并求小明恰好选中景点B和C的概率．
【分析】通过列表展示所有6种等可能的结果数，找出小名恰好选中B和C这两处的结果数，
然后根据概率公式求解．
【解答】解：列表如下：
A B
C AC BC
D AD BD
E AE BE
由表可知共有6种等可能的结果数，其中小明恰好选中景点B和C的结果有1种，
18所以小明恰好选中景点B和C的概率为 ．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还
要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．
【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明
△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证
明线段和角相等的重要工具．
21．（10分）为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志题者的支援，实际工作效率
提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？
【分析】设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵，根据题意可得等量关系：原计划
完成任务的天数﹣实际完成任务的天数=3，列方程即可．
【解答】解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵，
依题意得： ﹣ =3
解得x=200，
经检验得出：x=200是原方程的解．
所以 =20．
19答：原计划植树20天．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程
是解题关键．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于
点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3 ，DF=3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而
得出答案；
（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE=3 ，
20∴BD= =6，
∵sin∠DBF= = ，
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
∴sin60°= = = ，
∴DO=2 ，
则FO= ，
故图中阴影部分的面积为： ﹣ × ×3=2π﹣ ．
【点评】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题
关键．
23．（10分）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间
距系数=L：（H﹣H），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H 为北侧楼房底层窗台至地
1 1
面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的
楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
21（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高
度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【分析】（1）在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH=i=1：0.75= = ，设EH=4x，则
FH=3x，由勾股定理求出EF= =5x，那么5x=15，求出x=3，即可得到山坡EF的水平
宽度FH为9m；
（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式 ≥1.25，解不等式即可．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H=90°，
∴tan∠EFH=i=1：0.75= = ，
设EH=4x，则FH=3x，
∴EF= =5x，
∵EF=15，
∴5x=15，x=3，
∴FH=3x=9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，
H=AB+EH=22.5+12=34.5，H=0.9，
1
∴日照间距系数=L：（H﹣H）= = ，
1
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴ ≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
22【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学
问题是解题的关键．
24．（10分）平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．
（1）当m=﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线1⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点
A在直线l上），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m
的值．
【分析】（1）与x轴相交令y=0，解一元二次方程求解；
（2）应用配方法得到顶点A坐标，讨论点A与直线l以及x轴之间位置关系，确定m取值范围．
（3）在（2）的基础上表示△ABO的面积，根据二次函数性质求m．
【解答】解：（1）当m=﹣2时，抛物线解析式为：y=x2+4x+2
令y=0，则x2+4x+2=0
解得x=﹣2+ ，x=﹣2﹣
1 2
抛物线与x轴交点坐标为：（﹣2+ ，0）（﹣2﹣ ，0）
（2）∵y=x2﹣2mx+m2+2m+2=（x﹣m）2+2m+2
∴抛物线顶点坐标为A（m，2m+2）
∵二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上）
23∴当直线1在x轴上方时
不等式无解
当直线1在x轴下方时
解得﹣3＜m＜﹣1
（3）由（1）
点A在点B上方，则AB=（2m+2）﹣（m﹣1）=m+3
△ABO的面积S= （m+3）（﹣m）=﹣
∵﹣
∴当m=﹣ 时，S =
最大
【点评】本题以含有字母系数m的二次函数为背景，考查了二次函数图象性质以及分类讨论、
数形结合的数学思想．
25．（12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上
（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）
（1）根据以上操作和发现，求 的值；
（2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．
求证：∠HPC=90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有
一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）
24【分析】（1）依据△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE= BC，由图②，可得CE=CD，而
AD=BC，即可得到CD= AD，即 = ；
（2）①由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依据勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2，进而得出AP=BC，
再根据PH=CP，∠A=∠B=90°，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），进而得到∠CPH=90°；
②由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A
落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，由
∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，进而得到CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，
使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．
【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE= ∠BCD=45°，
又∵∠B=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴ =cos45°= ，即CE= BC，
由图②，可得CE=CD，而AD=BC，
∴CD= AD，
∴ = ；
（2）①设AD=BC=a，则AB=CD= a，BE=a，
∴AE=（ ﹣1）a，
如图③，连接EH，则∠CEH=∠CDH=90°，
25∵∠BEC=45°，∠A=90°，
∴∠AEH=45°=∠AHE，
∴AH=AE=（ ﹣1）a，
设AP=x，则BP= a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，
∴AH2+AP2=BP2+BC2，
即[（ ﹣1）a]2+x2=（ a﹣x）2+a2，
解得x=a，即AP=BC，
又∵PH=CP，∠A=∠B=90°，
∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），
∴∠APH=∠BCP，
又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC=90°，
∴∠APH+∠BPC=90°，
∴∠CPH=90°；
②折法：如图，由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，
故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；
折法：如图，由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，
由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，
又∵∠DCH=∠ECH，
∴∠BCP=∠PCE，即CP平分∠BCE，
故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．
【点评】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的
26判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小
不变，对应边和对应角相等．解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质
用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出
答案．
26．（14分）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y═ （x＞0）的图象上，
1
点A′与点A关于点O对称，一次函数y=mx+n的图象经过点A′．
2
（1）设a=2，点B（4，2）在函数y、y 的图象上．
1 2
①分别求函数y、y 的表达式；
1 2
②直接写出使y＞y＞0成立的x的范围；
1 2
（2）如图①，设函数y、y 的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的
1 2
值；
（3）设m= ，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y 的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作
2
正方形ADEF，试说明函数y 的图象与线段EF的交点P一定在函数y 的图象上．
2 1
【分析】（1）由已知代入点坐标即可；
（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；
（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．
【解答】解：（1）①由已知，点B（4，2）在y═ （x＞0）的图象上
1
∴k=8
∴y=
1
∵a=2
27∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）
把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y=mx+n
2
解得
∴y=x﹣2
2
②当y＞y＞0时，y= 图象在y=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方
1 2 1 2
∴由图象得：2＜x＜4
（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO
∵O为AA′中点
S = S =8
△AOB △AOA′
∵点A、B在双曲线上
∴S =S
△AOC △BOD
∴S =S =8
△AOB 四边形ACDB
由已知点A、B坐标都表示为（a， ）（3a， ）
∴
解得k=6
（3）由已知A（a， ），则A′为（﹣a，﹣ ）
把A′代入到y=
﹣
28∴n=
∴A′B解析式为y=﹣
当x=a时，点D纵坐标为
∴AD=
∵AD=AF，
∴点F和点P横坐标为
∴点P纵坐标为
∴点P在y═ （x＞0）的图象上
1
【点评】本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化
方法、待定系数法和数形结合思想．
29
