(206)--第二章：一元函数微分_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

【解】 
)
(x
f
1


x
0

x
在
和
不可导,故选（C）


x
n
nx
n
n
e
x
x
x
f
,
,1
max
e
|
|
1
lim
)
(

















0
e
0
1
1
1
x
x
x
x
x
,
max
lim
1
2
1
i
m
i
n
n
m
n
n
n
a
a
a
a









)
,
,2,1
(
0
m
i
ai



其中
.
1
)
(
2
1
2


dt
e
x
f
x
t
2
1

x
1

y
2
2
4
4
16
)
(
,
2
)
(
x
x
xe
x
f
e
x
f




)
(
1
)
(
x
f
y




dy
dx
x
f
dx
d
y




])
(
1
[
)
(

【解】 
知，
时
       
2
3
3
1
8
8
)]
2
1
(
[
)
2
1
(
)
1
(
e
e
e
f
f










)
(
1
)]
(
[
)
(
2
x
f
x
f
x
f






 由
【解】  
)
1
)(
2
(
1
1
2
1
1
)
(
2








x
x
x
x
x
f
]
)
2
(
1
)
1
(
1
[
3
!
)
1
(
)
(
1
1
)
(







n
n
n
n
x
x
n
x
f
)
2
1
1
1
(
3
1
1





x
x
a
x
x
x
x
x
f





4
3
2
)
(
2
3
4
)
1
2
)(
2
)(
1
(
2
4
6
6
4
)
(
2
3









x
x
x
x
x
x
x
f
0
)
(

x
f
.1
,
2
1
,2





x
x
x
【解】令
,则
令
,得
,4
)
1
(
)
2
(




a
f
f
4

a
a
f



16
17
)
2
1
(
a
x
x
x
x
x
f





24
6
8
3
)
(
2
3
4
)
1
)(
2
)(
1
(
12
24
12
24
12
)
(
2
3









x
x
x
x
x
x
x
f
0
)
(

x
f
.2
,1
,1




x
x
x
【解】令
,则
令
,得
,
8
)
2
(
,
13
)
1
(
,
19
)
1
(
a
f
a
f
a
f







,0
)
2
(
,0
)
1
(
,0
)
1
(




f
f
f
.8
13




a
 
 
.  
u
t
x









x
x
x
du
u
uf
du
u
f
x
du
u
f
u
x
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
【解】  
    （令
)



x
dt
t
x
tf
x
F
0
)
(
)
(
k
x
x
x
k
x
bx
x
du
u
uf
du
u
f
x
bx
x
x
F








0
0
2
0
2
0
2
1
)
(
)
(
lim
2
1
)
(
lim
1
0
0
)
(
)
(
)
(
lim







k
x
x
bkx
x
x
xf
x
xf
du
u
f
2
0
)
1
(
1
)
(
lim





k
x
x
k
bk
x
f
  
  
2
0
)
1
ln(
)
(
lim
x
x
x
xf
x



2
))
(
2
(
)
(
lim
2
2
2
0






x
x
x
x
x
xf
x

由
0

x
1

y
0
e
e
1
1







y
y
y
x
y
1
0 


x
y
【解】令
得.
0
)
1
(
e
1







y
y
y
y
.0
e
)
2
(
1
2







y
y
y
y
y
,
cos
)
sin
(ln
d
d











x
y
y
x
y
f
x
z
.
    
0
d
d
0


x
x
z
,
sin
)
(
)
sin
(ln
cos
)
sin
(ln
d
d
2
2
2
2
2
























x
y
y
y
y
x
y
f
x
y
y
x
y
f
x
z
1
)
1
2
)(
0
(
d
d
0
2
2





f
x
z
x
.
2
0 


x
y
【解】  
0
|)
6
(
)
0
(
,2
|)
2
3
(
)
0
(
0
0
2









t
t
t
x
t
x





t
y
u
u
t
1
0
d
e
2
t
,1
e
)
0
(


y
;
2
)
0
(
2
e
y


等式  
两端对
求导可得
 
,
2
1
0



e
dx
dy
t
2
e
d
d
2
0
2
2


t
x
y
则
u
tx 
2
du
u
f
x
du
u
f
x
x
x
x
x
x




sin
0
2
sin
0
2
2
2
)
(
1
)
(
1
)
(

)
0
(

x
.0
)
0
(


【解】 令
，则
         
由已知得
0

x







x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
du
u
f
x
x
sin
0
2
2
2
3
2
)
cos
sin
2
(
)
sin
(
1
)
(
2
)
(






x
x
x
x
x
x
x
f
du
u
f
x
sin
0
2
3
2
)
cos
sin
2
)(
sin
(
)
(
2
（1）当
时，有
x
x
x
)
0
(
)
(
lim
)
0
(
0










x
x
x
du
u
f
x
sin
0
3
0
2
)
(
1
lim
)
(
sin
lim
3
2
0

f
x
x
x
x

.2
)
0
(

f











.0
,2
;0
),
cos
sin
2
)(
sin
(
)
(
2
)
(
sin
0
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x
f
du
u
f
x
x
x
x













x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
du
u
f
x
x
sin
0
2
3
0
0
2
)
cos
sin
2
)(
sin
(
)
(
2
lim
)
(
lim
)
0
(
2
)
0
(
3
)
0
(
2






f
f
【解】 
,0
2
3
2








x
y
y
x
y
y
y
y
0

y
x
y 
0
1
2
2
3


x
x
1

x
,0
1
2
)
1
3
(
2
)
2
3
(
2
2










y
y
y
y
x
y
y
0
2
1
)
1,1
(


y
【解】
令
，得
，将此代入原方程有
.
,1
2
d
d

t
x
y
3
2
2
1
d
d
t
x
y


【解】（I）由于
（II） 
),
1
(
1
2
)
4
(
2
0
0
2
0
0












t
x
t
t
t
y
.0
,1



y
x
0
2
0
2
0


t
t
1
0 
t
2
0


t
令
，得
解得
或
（舍去）.
切线方程为
1

x
y
.






2
1
2
1
d
d
)
1
(
x
y
x
x
S
.
3
7
d
)
4
(
2
2
9
1
0
3
2





t
t
t





1
0
2
2
)
1
d(
)
4
(
2
9
t
t
t
)
0
(,
sin
)
(
3






x
x
x
x
x
f
【解】令
x
x
x
f
f
cos
1
3
)
(
,0
)
0
(
2














)
(
lim
,0
2
)
0
(
x
f
f
x
0
sin
6
)
(




x
x
x
f
)
,0
(


x
由于
      
        
  
       
),
,0
(
0


x
0
)
(
0 
x
f
则存在唯一的
使
，且
)
,0
(
0
x
x
)
(
,0
)
(
x
f
x
f


;0
)
(

x
f
 当
时,
单调减,
)
,
(
0 
x
x
)
(
,0
)
(
x
f
x
f


 当
时,
单调增,又
0
)
(
0 
x
f




)
(
lim
x
f
x
,
d
e
)
(
3
0
2
x
x
t
x
f
x
t




)
(x
f
)
,
(


【解】 令
则
是
上的奇 
)
0,
(
)
,0
(

)
,0
(

函数, 从而, 原方程在区间
和
上实根个数相同，
上实根个数。
因此, 只需讨论
1
3
)
(
,0
)
0
(
2
2






x
e
x
f
f
x








)
(
lim
,0
2
)
0
(
x
f
f
x
0
6
2
)
(
2






x
xe
x
f
x
)
,0
(


x
又     
      
        
  
       
),
,0
(
0


x
0
)
(
0 
x
f
则存在唯一的
使
,且
)
,0
(
0
x
x 
0
)
(

x
f
 当
时，     
)
,
(
0 
x
x
0
)
(

x
f
0
)
(
0 
x
f




)
(
lim
x
f
x
当
时，    
)
,0
(
0
x
)
,
(
0 
x
则原方程在区间
上无实根，在区间
上有唯一实根。故原方程共有三个实根.
,
1
e
2
a
x
x 

.
1
e
)
(
2
a
x
x
f
x 


【解】  原方程变形得   
令
0
)
2
(
e
)
2
(
e
)
(
2








x
x
x
x
x
f
x
x
2
,0


x
x
令
得
)
0,
(

x
)
(
,0
)
(
x
f
x
f


当  
时，
单调减.
)
2,0
(

x
)
(
,0
)
(
x
f
x
f


当  
时，
单调增.
)
,2
(


x
)
(
,0
)
(
x
f
x
f


当  
时，
单调减.









)
1
e
(
lim
)
(
lim
2
a
x
x
f
x
x
x
a
f
a
f
1
e
4
)
2
(
,0
1
)
0
(
2 




0
1
)
1
e
(
lim
)
(
lim
2









a
a
x
x
f
x
x
x
1）
,
4
e
0
2

a
一个根；2）
,
4
e2

a
两个根； 3）
,
4
e2

a
三个根.
x
x
x
x
f




e
)
1
ln(
)
(
x
x
x
x
x
x
x
x
f
e
1
1
1
e
e
1
1
)
(











0
e)
1
(
1
e
2





x
x
x
x
)
0
(

x
【证】 令
     
,0
)
0
(

f
)
0
(
,0
)
(


x
x
f
 则

)
(x
f
.
4
sin
2
x
e
e
x
x
x




.4
cos
2
)
(





x
x
e
e
x
x
f
.
sin
2
)
(
x
x
e
e
x
x
f






.0
cos
2
)
(






x
x
e
e
x
f
.0
)
0
(
)
0
(
)
0
(





f
f
f
【证】令
则
a
x
a
x
a
a
ln
)
(
)
ln(



)
ln(
ln
)
(
)
(
x
a
a
a
x
a
x
f




,0
ln
)
(





x
a
a
a
x
f
【证】只需证
设  
，则
b
a
ab
a
ln
ln
2 
.
ln
ln
2
b
b
a
ab

b
b
a
a
ln
ln

.
ln
ln
b
b
a
a

x
x
x
g
x
x
x
f
ln
)
(
,
ln
)
(


【证】只要证
和
即
和
分别证明
单调增即可.
【证】由



1
3
2
1
0
)
(
3
)
(
dx
x
f
dx
x
f
得，





1
3
2
1
3
2
3
2
0
)
(
3
)
(
)
(
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
则



1
3
2
3
2
0
)
(
2
)
(
dx
x
f
dx
x
f
，由积分中值定理得
)
(
3
2
)
(
3
2

f
c
f

)
1,
3
2
(
),
3
2
,0
(



c
           
从而
)
(
)
(

f
c
f

令
)]
(
)
(
[
)
(
)
(

f
x
f
e
x
F
x
g


)
,
( 

c

0
)
(


F
则存在
, 使     
).
(
)
(
)
(
2
2
x
f
x
f
x
F



)
0,2
(
)
(
)
2
(
0
)
2
(
)
0
(








a
a
f
f
f
【证】令
    由拉格朗日定理知：
)
2,0
(
)
(
0
2
)
0
(
)
2
(





b
b
f
f
f
,1
|)
)
2
(
|
|)
0
(
(|
2
1
|)
(
|





f
f
a
f
1
|)
)
2
(
|
|)
0
(
(|
2
1
|)
(
|




f
f
b
f
.2
)
(
)
(
)
(
.2
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2








b
f
b
f
b
F
a
f
a
f
a
F
而
4
)
0
(
)
0
(
)
0
(
2
2




f
f
F
)
(
),
,
(
x
F
b
a



]
,
[
b
a
0
)
(


F
则
在
点取到它在
上的最大值,则
2)
(
!2
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
c
x
f
c
x
c
f
c
f
x
f








2
1
4
)
(
c
f



)
,0
(
1
c


2
2
)
1
(
4
)
(
c
f




)
1,
(
2
c


              
         
【证】    
2
1
)
0
(
!2
)
(
)
0
)(
(
)
(
)
0
(
x
f
x
x
f
x
f
f








         （1）
2
2
)
2
(
!2
)
(
)
2
)(
(
)
(
)
2
(
x
f
x
x
f
x
f
f








         （2）
（2）式减（1）式得
)
)
(
)
2
)(
(
(
2
1
)
(
2
)
0
(
)
2
(
2
1
2
2
x
f
x
f
x
f
f
f










    
)
|)
(
|
)
2
(|)
(
(|
4
1
2
|)
2
(
|
|)
0
(
|
|)
(
|
2
1
2
2
x
f
x
f
f
f
x
f










2
4
4
1
1
]
)
2
[(
4
1
1
2
2








x
x